laporan praktikum metnum 2

7/24/2019 Laporan Praktikum Metnum 2

http://slidepdf.com/reader/full/laporan-praktikum-metnum-2 1/16

LAPORAN PRAKTIKUM METODE NUMERIK

TENTANG:

Metode Newton dan Metode Secant

Disusun oleh :

Nama : Samodo !isnu Mu"ti

NIM : M#$#%#&'

(URUSAN IN)ORMATIKA

)AKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETA*UAN ALAM

UNI+ERSITAS SE,ELAS MARET

SURAKARTA

'#-$



-. Pela/sanaan P"a/ti/um

Hari, Tanggal :

Tempat :

Tema Praktikum : Metode Newton Raphson dan Secant

'. Dasa" Teo"i

Pada pertemuan kali ini membahas mengenai penerapan perhitungan

metode Newton Rapshon dan metode Secant dalam menyelesaikan

persamaan non linear. edua metode ini termasuk dalam metode open

method.

a. Metode Newton ! Raphson

Metode Newton banyak diman"aatkan untuk mencari akar dari sebuahpersamaan non linier. Metode ini dirasa lebih e"ekti" dibandingkandengan metode biseksi. Hal ini karena nilai kon#ergensi dari metodenewton yang bersi"at kuadratik. Metode ini menggunakan turunan dari "ungsi

$ % & $ ( ( untuk menentukan akar penyelesaian dari persamaan non linier.

Nilai '( diperoleh dari :

dimana i)*,(,+, . . .

b. Metode Secant

Metode Secant merupakan perbaikan dari metode Newton. Hal inidikarenakan metode secant hanya dapat digunakan ika suatu "ungsinon linier memiliki nilai turunan sedangkan tidak semua "ungsi dapatditurunkan. -engan adanya permasalahan tersebut, metode Newtondapat enyebabkan resiko teradinya root umping. Metode Secantmengganti perhitungan "/0$ pada metode Newton dengan pendekatan bedahingga /1$.

Nilai '( diperoleh dari :

dimana i)*,(,+, . . .

(



0. Al1o"itma

Metode Newton

2lgoritma Program :

a. Tentukan "ungsi 0*, toleransi, dan umlah iterasi maksimum

b. Hitung ) 3 &/ *$/(*$

c. 4ika nilai mutlak 5 , diperoleh sebagai hasil perhitungan

d. 4ika tidak, lanutkan ke langkah berikutnya

e. 4ika umlah 6 , akhiri program". ) dan kembali ke langkah /b$

+



Metode Secant

2lgoritma Program :

a. tentukan * dan (, toleransi , dan umlah iterasi maksimum

b. hitung ) (! (($(( 3 *$7 (($ 3 (*$

c. ika nilai mutlak ( 3 ($ 5 , diperoleh sebagai hasilperhitungan

d. ika tidak, lanutkan ke langkah berikutnya

e. ika 8 6 , akhiri program

". ) dan kembali ke langkah /b$

9. 2nalisis Hasil

2T;H2N di <2S

(. Mencari akar penyelesaian dari persamaan $ ) (

−

3 dengan ) * , ) ( dengan metode Newton.

a. Menuliskan kode program dibawah ini dalam editor dan menyimpannyadalam "ormat .m/MethodNewton.m$

=



2nalisa:

Menuliskan "ungsi dengan nama metode newton. >ungsitersebut membutuhkan 9 buah parameter yaitu sebagai "ungsi $, ( *

sebagai inisialisasi nilai awal, n sebagai umlah iterasi maksimal, tol sebagainilai toleransi. Nilai akar penyelesaian dari suatu persamaan non linierditemukan ika nilai "a kurang dari nilai toleransi /tol$, atau iterasitelah mencapai nilai maksimal.

b. Memanggil "ungsi MethodNewton.m pada comman window

9



2nalisa :

-iinisialisasikan sebuah "ungsi ) / $ 3 ? „ − . emudianmenginisialisasi " sama dengan * $ ( dengan perintah "*)inline/char/"$$.Selanutnya menginisialisas nilai g sama dengan turunan dari "ungsi $ (

menggunakan perintah

g)inline/char/di@/sym/"$$$$.emudian memanggil "ungsi MethodNewton

dengan menginisialisasi " dengan ) / $ 3 , * $ ) *, ) (A − ( , dan nilai

toleransi /tol$ ) *.*****(.

-ari perhitungan diatas diperoleh nilai ) *.ABC( . hasil tersebutdiperoleh dari :

i$ etika ) *, ) *.A*** , maka diperoleh nilai ) * $ ) */*.A***$ ) (.**** (

sedangkan ) $ ) /*.A***$. ( karena nilai yang masih lebih besar darinilai toleransi maka mencari dengan ) 3 $. (/ -iperoleh $ ) (

*.ABB=.

ii$ Nilai i di increent dengan perintah i ) i'()*'()(, kemudian inisilisasi nilaidengan sebelumnya . Dakni ) *.ABB= . Maka diperoleh nilai ) * $ ) (

*/*.ABB=$ ) *.(*BA sedangkan ) $ ) /*.ABB=$. ( arena nilai lebih besar dari nilai toleransi maka cari mencari nilai . $ (

) ! $ (/ . -iperoleh nilai $ ) *.ABC( ( .

iii$ Nilai i diincrement. i ) ('()+, 0 ) *.ABC(, maka diperoleh nilai"a)"*/0$)"*/*.ABC($)*.**(=, sedangkan "b ) g/0$ ) g/*.ABC($. arena nilai

A



"a lebih besar dari nilai toleransi maka inisialisasi 0 /baru$. 0 /baru$) 0E/"a7"b$)*.ABC(. i#$ Nilai i diincrement. i ) +'()=, 0) *.ABC(,maka ) * $ ) (

*/*.ABC($ ) *.**** sedangkan ) $ ) /*.ABC($. (

arena nilai "a kurang dari nilai tol /toleransi$ atau dapat

dikatakan nilai "a ) * maka nilai 0 dikembalian 0 ) 0* )*.ABC(.Sehingga diperoleh akar penyelesaian non linear "/0$)e0p/E0$E0adalah *.ABC(.

#$

Ferikut hail perhitungan dengan matlab :

+. Mencari akar penyelesaian dari persamaan $ ) ( −! dengan ) * , dan ) ( dengan metode Secant.

a. Menuliskan kode program dibawah pada editor dan menyimpannyadalam "ormat .m/MethodSecant.m$.

B



2nalisa :

ode program tersebut digunakan untuk menghitung akar penyelesaiandari sebuah persamaan linier untuk "ungsi tertentu. >ungsi tersebut memiliki9 paramater.Dakni parameter untuk mendeskripsikan sebuah "ungsi $, (

* untuk inisialisasi nilai awal pertama dan

0( untuk inisialisasi nilai awal ke dua , dan tol untuk nilaitoleransi.emudian menginisialisasi #ariabel i. Selanutnya menginisialisasi

nilai "a sama dengan *$, ( samadengan ) ($, ( dan i sama dengan *.etika absolute 0*E0( 6 toleransi maka ) (*$, ) (($. 4ika "a samadengan * atau umlah iterasi i sama dengan iterasi maksimal atau n makanilai 0 hasil pencarian sebagai akar penyelesaian persamaan linier yangdicari.

Selain itu cari nilai dengan (! G ( 3 *$7 3 $ ( ( ( . emudian hasil

perhitungan , iterasi ke i, dan nilai perhitungan "a di display ke layar

command window. Selanutnya inisialisasi nilai * dengan ( , dan ( dengan

. emudian nilai i diincrement.

b. Mengetikan perintah dibawah pada command window

C



2nalisa :

Pertama menginputkan "ungsi non linier yang dicari akarpenyelesaiannya. emudian menginisialisasi nilai dari " dengan perintah " )inline /char "$. Selanutnya memanggil "ungsi MetodeSecant diikuti denganparameter yang disedialkan seperti ", 0*, 0(, n ,dan tol secara berututanbernilai e0p /E0$ !0, *, (, (A, *.*****(. instruksi ini menandakan bahwanilai "ungsi yang dicarai adalah e0p/E0$E0, nilai awal atau 0* adalah *,

nilai 0( adalah (,umlah iterasi maksimal adalah (A, dan nilaitoleransinya adalah *.*****(.-ari perintah diatas diperoleh nilai akarpermsamaan dari "ungsi e0p/E0$E0 adalah *.ABC(. 2kar tersebut diperolehdari perhitungan dibawah ini :

a. etika i )* , 0*)* , 0( ) (, maka "a ) "/0*$ ) "/*$ ) (.****, sedangkan "b

)"/0($ ) "/(.****$. arena nilai absolute 0*E0( lebih dari toleransi, maka cari

nilai 0baru, dimana nilai 0 baru sama dengan nilai 0/n'($. 0 ) 0( !/"a/0(E0*$7

/"bE"a$. -ari perhitungan ini maka diperoleh nilai 0 sama dengan *.B(+C.

b. Nilai i diincrement sehingga i ) (, 0( )(.****, dan 0+ ) *.B(+Csama dengan nilai 0= ) 0+ ! /"a/0+E0($7/"bE"a$. ) *.AB= sehinggadiperoleh "a ) E*.B=+(. arena absolute dari 0(E0+ lebih dari toleransi makalanut ke iterasi berikutnya.

c. Nilai i diincrement. i ) +, 0+)*.B(+C, 0= ) *.AB=, 09 ) 0) 0= ! /"a/0=E0+$7/"bE"a$ ) *.ABC+ sehingga diperoleh nilai "a ) "/0+$ ) E*.C*. arenaabsolute dari 0=E0+ lebih dari nilai toleransi maka cari nilai 0 barudimana nilai 0 baru sama dengan 09



d. Nilai i diincrement. i ) =, 0=) *.AB=, 09 ) *.ABC+, "a ) "/0=$ ) *.**A+.absolute 0=E09 ) I*.AB=E*.ABC+I ) *.**99, maka cari nilai 0baru,0)0A) 09 ! /"a/09E0=$7/"b"a$)*.ABC(.

e. Nilai i diincrement. i ) 9, 09)*.ABC+, 0A)*.ABC(, "a ) "/09$)*.****. arena

nilai "a sama dengan nol maka nilai 0 /akar pernyelesaian$ sama dengan 0A.

Sehingga diperoleh nilai 0 sama dengan *.ABC(.

". Ferikut hasil perhitungan hasil perhitungan dengan matlab:

LATI*AN di RUMA*

(. Mencari akar persamaan dari persamaan linier "/0$) 0J=E=K0E+*dengan metode newton.

a. Memanggil "ungsi MethodNewton.m dengan kode program seperti dibawah ini :

L



b. -iinisialisasikan sebuah "ungsi ") 0J='0J+E=K0E=. emudian

menginisialisasi " sama dengan "*/0$ dengan perintah "*)inline/char/"$$.Selanutnya menginisialisas nilai g sama denganturunan dari "ungsi "/0$ menggunakan perintah g

)inline/char/di@/sym/"$$$$.emudian memanggil "ungsi MethodNewtondengan menginisialisasi " dengan " ) 0J='0J+E=K0E=, "*/0$)(,n)+*,dan nilai toleransi /tol$ ) *.*****(.

(*



-ari perhitungan diatas diperoleh ) *.ABC(. hasil tersebutdiperoleh dari :

i$ etika i ) *, 0 ) =, maka diperoleh nilai "a ) "*/0$ ) "*/=$ )E9sedangkan "b ) g/0$ ) g/=$. karena nilai "a yang masih lebih besar

darinilai toleransi maka mencari 0baru dengan 0) 0E/"a7"b$. -iperoleh0/baru$ )+.+***.

ii$ Nilai i diincrement dengan perintah i ) i'()*'()(, kemudian inisilisasinilai 0 dengan 0 sebelumnya. Dakni 0 +.+***. Maka diperoleh nilai "a)

"*/0$)"*/+.+***$)+9.**** sedangkan "b ) g/0$ ) g/+.+***$.

arena nilai "a lebih besar dari nilai toleransi maka cari mencari

nilai 0 baru. 0 /baru$ ) 0 ! /"a7"b$. -iperoleh nilai 0 /baru$ ) (.=*+.

iii$ Nilai i diincrement. i ) ('()+, 0 ) (.=*+, maka diperoleh nilai "a

)"*/0$)"*/(.=*+$)A.*, sedangkan "b ) g/0$ )

g/(.=*+$.arena nilai "a lebih besar dari nilai toleransi makainisialisasi 0/baru$.0 /baru$) 0E/"a7"b$)(.C=C.

i#$ Nilai i diincrement, i ) ('+)=, 0 ) (.C=C, maka diperoleh nilai "a

)"*/0$)"*/(.C=C$)*.LL*, sedangkan "b ) g/0$ ) g/(.C=C$.arena nilai "a lebih besar dari nilai toleransi makainisialisasi 0 /baru$. 0 /baru$) 0E/"a7"b$)(.C=+(.

#$ Nilai i diincrement. i ) ='()9, 0 ) (.C=+(, maka diperoleh nilai

"a)"*/0$)"*/(.C=+($)*.*A9B, sedangkan "b ) g/0$ ) g/(.C=+($. arena nilai

"a lebih besar dari nilai toleransi maka inisialisasi 0/baru$. 0 /baru$) 0E

/"a7"b$)(.C=+(.

#i$ Nilai i diincrement, i ) 9'()A, 0)(.C=+(,maka "a ) "*/0$ )"*/(.C=+($) *.***+ sedangkan "b ) g/0$)g/(.C=+($. arena nilai "a lebih besardari nilai toleransi maka inisialisasi 0 /baru$. 0 /baru$) 0E/"a7"b$)(.C=+(.

#ii$ Nilai i diincrement, i ) 9'()A, 0) (.C=+(,maka "a ) "*/0$ )"*/(.C=+($) *.****. arena nilai "a sama dengan nilai tol /toleransi$ atau dapatdikatakan nilai "a ) * maka nilai 0 dikembalian 0 ) 0*)(.C=+(.Sehingga diperoleh akar penyelesaian non linear "/0$ ) 0J='0J+E=K0E=?adalah (.C=+(.

#iii$ Ferikut hasil perhitungan:

((



+. Mencari akar penyelesaian dari persamaan "/0$) 0J='0J+E=K0E= dengana ) ( , dan b ) + dengan metode Secant.

a. Mengambil "ungsi MetodeSecant. Ferikut kode programnya:

(+



2nalisa :

ode program tersebut digunakan untuk menghitung akar penyelesaian

dari sebuah persamaan linier untuk "ungsi tertentu. >ungsi tersebut

memiliki 9 paramater. Dakni parameter " untuk mendeskripsikan sebuah

"ungsi "/0$, 0* untuk inisialisasi nilai awal pertama dan 0( untuk

inisialisasi nilai awal ke dua ,dan tol untuk nilai

toleransi.emudian menginisialisasi #ariabel i. Selanutnya menginisialisasinilai "a sama dengan "/0*$, "b samadengan "b)"/0($, dan i sama dengan *.etika absolute 0*E0( 6 toleransi maka "a ) "/0*$, "b)/0($. 4ika "a samadengan * atau umlah iterasi i sama dengan iterasi maksimal atau n makanilai 0 hasil pencarian sebagai akar penyelesaian persamaan linier yangdicari.

Selain itu cari nilai 0 baru dengan 0( ! /"bK/0(E0*$7/"bE"a$. emudianhasil perhitungan 0baru ,iterasi ke i ,dan nilai perhitungan "a di display kelayar command window.

Selanutnya inisialisasi nilai 0* dengan 0(,dan 0( dengan 0. emudiannilai i diincrement.

(=



b. Mengetikkan kode di bawah ini pada command window :

2nalisa :

Pertama menginputkan "ungsi non linier yang dicari akarpenyelesaiannya.emudian menginisialisasi nilai dari " dengan perintah " ) inline/char "$. Selanutnya memanggil "ungsi MetodeSecant diikutidengan parameteryang disedialkan seperti ", 0*, 0(, n ,dan tol secaraberututan bernilai0J='0J+E=K0E=, (, +, (A, *.*****(. instruksi inimenandakan bahwa nilai "ungsi yang dicari adalah 0J='0J+E=K0E=, nilaiawal atau 0* adalah (, nilai0(adalah +, umlah iterasi maksimal adalah(A, dan nilai toleransinya adalah *.*****(.-ari perintah diatas diperolehnilai akar permsamaan dari "ungsi e0p/E0$E0 adalah *.ABC(. 2kar tersebutdiperoleh dari perhitungandibawah ini:

a. etika i )* , 0*)* , 0( ) (, maka "a ) "/0*$ ) "/($ ) E9.****,

sedangkan "b )"/0($ ) "/+.****$. arena nilai absolute 0*E0( lebih

dari toleransi, maka cari nilai 0 baru dimana nilai 0 baru sama dengan

nilai 0/n'($. 0 ) 0( ! /"a/0(E0*$7/"bE"a$.-ari perhitungan ini maka

diperoleh nilai 0 sama dengan (.AC(9.b. Nilai i diincrement sehingga i ) (, 0( )+.****, dan 0+ ) (.AC(9 sama

dengan nilai 0= ) 0+ ! /"a/0+E0($7/"bE"a$. ) (.C*A9 sehingga diperoleh

"a )=.****. karena absolute dari 0(E0+ lebih dari toleransi maka lanut

ke iterasi berikutnya.

c. Nilai i diincrement. i ) +, 0+)(.AC(9, 0= ) (.C*A9, 09 ) 0) 0= !/"a/0=E0+$7/"bE"a$ )

(9



(.C=A( sehingga diperoleh nilai "a ) "/0+$ ) E(.=B99. arenaabsolute dari 0=E0+ lebih dari nilai toleransi maka cari nilai 0 barudimana nilai 0 baru sama dengan 09

d. Nilai i diincrement i ) =, 0=) (.C*A9, 09 ) (.C=A(, "a ) "/0=$ ) E*.+9CC.karena nilai absolute dari 0=E09 lebih dari toleransi maka cari 0/baru$.

0/baru $ sama dengan 0A) 0) 09 ! /"a/09E0=$7/"bE"a$ ) (.C=+(.e. Nilai i diincrement sehingga i ) 9, 09 )(.C=A(, dan 0A ) (.C=+( sama

dengan nilai 0B ) 09 ! /"a/0AE09$7/"bE"a$. ) (.C=+( sehingga diperoleh "a )

E*.***A. arena nilai absolute 0AE0B kurang dari toleransi maka akar dari

persamaan non linier yang dicarisama dengan 0B ) (.C=+(.

". Ferikut hasil perhitungan :

$. Kesim2ulan

-ari percobaanEpercobaan diatas dapat disimpulkan bahwa metodeSecant lebih cepat mencapai kon#ergensi daripada metode Newton. Halini disebabkan karena metode Secant menggunakan + inisiasi nilaiawal. 4ika nilai awal yang diinisialisasimerupakan akar dari persamaan

yang dicari, kemungkinan untuk mencapai kon#ergensi akan lebih cepat.

(A

laporan praktikum metnum 2

Documents