limit dan kontinyuitas

7/24/2019 Limit Dan Kontinyuitas

1/17

LIMIT DAN KONTINYUITAS

Pada fungsi bilangan riil y= f(x) , jika nilai x ditentukan bergerak mendekati suatu

bilangan tertentu c, nilai f(x) akan mendekati bilangan L, maka dikatakan bahwa limit f(x)

untuk x mendekati c sama dengan L dan ditulis

limx c

f(x )=L

Sebagai ilustrasi fungsi y=x2

yang grafiknya seperti pada gambar 3.

Gambar 2.1

4

2

!ilai f(x )=x2

jika x mendekati " dari arah kiri

x ,# ,$# ,$$ ,$$# ,$$$ ,$$$$

f(x) % x" ","# 3,& 3,$' 3,$& 3,$$' 3,$$$'

!ilai f(x )=x2

jika x mendekati " dari arah kanan

x 3 ",# ",# ", ",# ", ",

f(x) % x" $ ',"# ,"# , ," , ,

*ika nilai x begerak mendekati " maka nilai x"akan semakin besar mendekati , dan jika x

mendekati se dekat+dekatnya dengan ", nilai x"akan dekat sekali dengan . ikatakan bahwa

limit x"untuk x mendekati " sama dengan , diltulis

limx 2

x2=4


2/17

efinisi ".

Suatu fungsi f(x) yang ditentukan pada setiap bilangan dalam suatu inter-al terbuka yang

memuat a, kecuali a itu sendiri. /aka limit dari f(x) ketika x mendekati a adalah L, secara

matematis ditulis

limx a

f(x )=L

*ika untuk setiap bilangan p0sitip kecil bagaimanapun kecilnya, ada bilangan p0sitip

sedemikian hingga berlaku |f(x )L|


3/17

limx a

f(x )=L

*ika untuk setiap bilangan p0sitip kecil bagaimanapun kecilnya, ada bilangan

p0sitip sedemikian hingga berlaku |f(x )L|


4/17

ari pernyataan di atas kita bisa menemukan = agar memenuhi |(4x1 )11|


5/17

*ika ditentukan bilangan p0sitip ! bagaimanapun besarnya ada bilangan sedemikian

hingga |f(x)|>N dimana 0


6/17

*ika ditetapkan bilangan p0sitip kecil , maka ada bilangan p0sitip / sedemikian hingga

|f(x )L|0

, kemudian dicari bilangan p0sitip / sebagai

fungsi dari , sedemikian hingga | 1x20|M . 9arena x" p0sitip

berarti1

x21

atau1 , sehingga M=1 dengan demikian

terbukti bahwalim

x

1

x2=0

efinisi 1

Suatu fungsi f(x) dikatakan menuju tak hingga, jika x (atau :x) mendekati tak hingga

juga, ditulis

limx

f(x )=

*ika ditetapkan bilangan p0sitip ! bagaimanapun besarnya dapat ditentukan bilangan p0sitip

/ sedemikian hingga |f(x)|>N , dimana x>M (atau x>M )

efinisi tersebut dapat digambarkan sebagai berikut1


7/17

N atau x>N . erhubung x>M ,

berarti M=N . engan demikian terbukti bahwalim

x

x2=

.

5e0rema+te0rema limit fungsi

5e0rema 1

*ika m dan b sebarang k0nstanta, makalimx a

mx+b=ma+b

5e0rema "1

*ika c k0nstanta , maka untuk setiap bilangan alimx a

c=c

5e0rema 31

8ntuk setiap bilangan a ,limx a

x=a

5e0rema 1

*ikalimx a

f(x )=Ldan

limx a

g(x)=M, maka

limx a

[ f(x ) g (x )]=L M

5e0rema #1


8/17

*ikalimx a

f1(x)=L1,

limx a

f2(x)=L2,

limx a

f3(x)=L3, ..., dan

limx a

fn(x )=Ln, maka

limx a

f1(x ) f

2(x ) f

3(x ) f n(x )=L1 L2 L3 Ln

5e0rema '1

*ikalimx a

f(x )=Ldan

limx a

g(x)=M, maka

limx a

f(x) . g (x )=M . L

5e0rema >1

*ikalimx a

f1(x)=L1,

limx a

f2(x)=L2,

limx a

f3(x)=L3, ..., dan

limx a

fn(x )=Ln, maka

limx a

f1(x ) . f

2(x ) . f

3(x ) . . f n(x )=L1. L2. L3 . . Ln

5e0rema &1

*ikalimx a

f(x )=Ldan

limx a

g(x)=Mdan M 0 , maka

limx a

f(x )g(x )

= L

M

5e0rema $1

*ikalimx a

f(x )=L, maka

limx a

nf(x)=

nL

5e0rema 1

|limx a f(x )|= limx a |f(x)|

Pada uruaian sebelumnya telah dibahas beberapa definisi tentang limit fungsi dan beberapa

aturan atau dalil+dalil tentang limit fungsi, dan bagaimana membuktikan bahwa nilai limit

fungsi mempunyai nilai tertentu yang telah diketahui, sepertilimx a

f(x)=L.


9/17

x22x+5= lim

x 3

x22lim

x 3

x+ limx 3

5=322.3+5=8

limx 3

20nt0h "1

limx 2x33x+6x22 = 233.2+6222 =82=4=2

20nt0h 31

limx 2

x38

x2

*ika disubstitusikan secara langsung tidak diper0leh nilai limitnya karena

x38

x2=

23822

=0

0

limx 2

merupakan bentuk tak tentu.

8ntuk itu fungsinya disederhanakan dulu sehingga menjadi

x38

x2= lim

x 2

(x2 )(x2+2x+4 )x2

limx 2

% lim

x 2

x2+2x+4=22+2.2+4=12

20nt0h 1

limx4

x2x4

8ntuk menentukan limit tersebut juga tidak dengan cara mensubstitusikan langsung karena

juga akan menghasilkan bentuk tak tentu ?, limit penyebutnyalimx 4

x4=0. 8ntuk itu

pembilang dan penyebutnya harus dikalikan dengan sekawan dari pembilang, yaitu x+2

sehingga menjadi

(x2) (x+2)(x4 )(x+2)

= x4

(x4 )(x+2)=

1

x+2

Sehingga limitnya menjadi


10/17

1

x+2=

1

4+2=

1

4

limx 4

x2x4

= limx 4

20nt0h #1

limx

6x3x2+4x+32x

3x5

8ntuk mencari limitnya dengan membagi pembilang dan penyebutnya dengan -ariabel

pangkat tertinggi yaitu x3, sehingga diper0leh

limx

2 limx

1

x2 lim

x

5

x3=

60+020+0

=3

limx

6x3x2+4x+3

2x3x5

=limx

61

x+4

x2+3

x3

2 1

x25

x3

=

limx

6 limx

1

x+ lim

x

4

x2+ lim

x

3

x3

Limit 9anan dan Likit 9iri

Pada pendefinisianlimx a

f(x )sebelum ini perhatian kita pada nilai x dalam inter-al terbuka

yang memuat a tetapi tidak termasuk a itu sendiri. 5etapi bagaimana jika nilai x ditutupdengan a , yaitu jika x lebih besar dari a atau x lebih kecil dari a. /isalkan diketahui fungsi f,

katakan, f(x )=x4 . 9arena f(x) tidak ada jika x 6 , maka f tidak ditentukan

pada sebarang inter-al terbuka yang memuat . 7leh karena itulimx 0

x4tidak

mempunyai arti. @alaupun begitu jika nilai x terbatas pada nilai yang lebih besar dari ,

maka nilai x4 akan berakhir pada . Aal ini berarti nilai x harus lebih besar dari dan

terakhir adalah sebagai pembatas. alam hal ini dikatakan bahwa x mendekati dari kanan,

dikatakan limit satu arah dari arah kananatau lebih singkat limit kanan. Btau secara

matematis dapat didefinisikan sebagai berikut 1

efinisi 1

*ika f merupakan fungsi yang ditentukan pada setiap bilangan dalam inter-al terbuka

(a , c ) . /aka limit dari f(x) , x mendekati a dari arah kanan adalah L, ditulis

x a+

f(x)=Llim . *ika ditentukan bilangan p0sitip kecil , bagaimanapun kecilnya,

maka akan dapat ditentukan bilangan >0 sedemikaian hingga |f(x )L|


11/17

0a .

erdasarkan definisi berarti

x 4+x4=0lim

Sebaliknya limit fungsi dengan -ariabel bebas x yang terbatas pada x kurang a , dikatakan

bahwa x mendekati a dari arah kiri

Limit fungsi trig0n0metri dan limitnya disebut limit satu arah dari arah kiri atau lebih singkat

limit kiri, dan didefinisikan secara f0rmalnya sebagi berikut1

efinisi 1

*ika f merupakan fungsi yang ditentukan pada setiap bilangan dalam inter-al terbuka

(d , a) . /aka limit dari f(x) , x mendekati a dari arah kiri adalah L, ditulis

x a

f(x)=Llim . *ika ditentukan bilangan p0sitip kecil , bagaimanapun kecilnya,

maka akan dapat ditentukan bilangan >0 sedemikaian hingga |f(x )L|


12/17

7 x 2 B

ari gambar diper0leh bahwa

Luas segitiga 72 C Luas juring 7B C Luas segitiga 7B

1

2

OC. CD1

2

r2

x 1

2

OA.AB

*ika jari+jari lingkaran adalah r maka OC=r cosx , CD=r sinx , AB=r tanx ,

sehingga

1

2r cosx . r sinx

1

2r2

x 1

2r .r tanx

*ika dibagi

1

2

r2

sinx

, dengan syarat

sinx 0

(atau

x 0

), maka deper0leh

cosx x

sinx

1

cosx sehingga

limx 0

cosx limx 0

x

sinx lim

x 0

1

cosx

1 lim

x 0

x

sinx

1

engan demikian diper0leh

limx 0

x

sinx=1

ataulimx 0

sinx

x =1

ari rumus di atas kita juga bisa menghitung

limx 0

x

tanx=lim

x 0

x cosx

sinx =lim

x 0

x

sinx. lim

x 0

cosx=1.cos0=1


13/17

limx 0

x

tanx=1 atau lim

x 0

tanx

x =1

Limit n-ers fungsi trig0n0metri

*ika y=sin1x berarti x=siny . *ika x menuju maka y juga menuju , lihat grafik

fungsi in-ers trig0n0metri. engan dengan menggunakan rumus limit fungsi trig0n0metri

sebelumnya maka diper0leh limx 0

sin1

x

x =lim

y 0

y

siny=1

*adi limx 0

sin1

x

x =1 atau

limx 0

x

sin1

x=1

Kontinuiatas Fungsi

efinisi1

Suatu fungsi f(x) dikatakan k0ntinyu pada x=a jika memenuhi 1

(a) f(a ) terdefinisikan dalam arti fungsi f(x) ada untuk x % a

(b)limx a

f(x )ada, dalam arti limit kanan sama dengan limit kiri

(c) 8ntuk x mendekati a ,limx a

f(x )=f(a)

*ika tidak memenuhi ketiga syarat tersebut maka dikatakan f(x) tidak k0ntinyu atau

disk0ntinyu.

*ika fungsi f(x) k0ntinyu pada setiap titik pada suatu inter-al maka dikatakan fungsi

f(x) k0ntinyu pada inter-al itu.

20nt0h 1

. Bpakahf(x )=x21

x k0ntinyu padax=2

9ita carif(2 )=22

1

2=

7

2 berartif(2 ) ada atau terdefinisikan.

Sedangkanlimx 2

x2

1

x=22

1

2=

7

2=f(2)

erarti fungsi f(x) k0ntinyu pada x % "


14/17

". Selidiki k0ntinyuitas fungsi f(x )=

x21

x1 pada titik x %

f(1 )=12111

=0

0merupakan bentuk tak tentu, sehingga f(x ) disk0ntinyu.

9ita cari limx 1

x21

x1=lim

x 1

(x+1 )(x1)x1

=limx 1

x+1=1+1=2

9arena limitnya ada, sebenarnya fungsi f(x) tersebut dapat dibuat k0ntinyu

dengan memberi syarat f(1 )=2 sehingga fungsinya menjadi

x21

x1 untuk x D

f(x ) %

2 untuk x %

an f(x) k0ntinyu pada x %

Bilangan e

alam sub bab ini akan kita hitung limx

(1+

1

x

)

x

entuk (1+ 1x )x

diuraikan dengan menggunakan rumus bin0mium !ewt0n

(a+b )n=k=0

n

(nk)ank

bk=(n0)an b0+(n1)an1 b1+(n2)an2b2++(nn)ann bn

an+n a

n1b

1 +

n (n1)an2 b2

2 +

n (n1 ) (n2) an3 b3

3 ++bn

Sehingga diper0leh

(1+ 1x )x

=1+

x(1x )1

+

x (x1 )( 1x )2

2 +

x (x1)(x2)( 1x )3

3 +

1+1+

11

x2 +

13

x+2

x

2

3 +


15/17

Sehingga

limx

(1+ 1x )x

= limx

(1+1+ 11x2

+

13

x+ 2

x2

3 +)

1+1+ 1

2 + 1

3 +

!

*adilim

x (1+ 1x )

x

=!

ilangan e adalah bilangan irasi0nal yang biasanya digunakan sebagai bilangan p0k0k

l0garitma asli yang nilainya e % ",>&"&....

L0garitma dengan bilangan p0k0k e ditulis el0gx% lnx, dengan demikian ln e%

arilim

x (1+ 1x )

x

=!, jika dimisalkan

1

x=y

ataux=

1

y , maka

(1+y )1

y=!

limx (1+

1x )

x

=limy 0

*adi(1+x )

1

x=!limx 0

ari rumus tersebut dapat dikembangkan rumus+rumus lain, sebagai berikut

() limx 0

ln (1+x )x =1

(") limx 0

loga(1+x )

x =

1

ln a

(3) limx 0

ax1x =ln a

() limx 0

!x1x =1

Eungsi /0n0t0n


16/17

Suatu fungsi f(x) dinamakan fungsi m0n0t0n naik dalam suatu inter-al, jika x1


17/17

x1=f1(y1) dan x2=f

1(y2) . 9arena in-ersnya m0n0t0n naik, y1x

2 yang berarti harusy

1>y

2 . 7leh karena itu haruslahx

1

limit dan kontinyuitas

Documents