limit dan kontinuitas fungsi matematika kelas 3 sd

7/25/2019 Limit Dan Kontinuitas Fungsi Matematika kelas 3 Sd

http://slidepdf.com/reader/full/limit-dan-kontinuitas-fungsi-matematika-kelas-3-sd 1/40

3.1. Pendahuluan Limit

Limit dan Kontinuitas Fungsi 1



Materi tentang limit merupakan materi yang

membedakan antara kalkulus dari cabang-cabang

matematika yang lain.Dalam beberapa perkataan yang sering kita ucapkan

sehari-hari, misalkan :

. Saya mendekati batas kesabaran saya

. Mobil itu melaju mendekati batas kecepatan

Misalnya terdapat fungsi yaitu

( )24

2

−−= x x x f

Perhatikan bahwa fungsi tersebut tidak terdefinisi pada

2= x , karena di titik ini ( ) x f berbentuk 0

0

, dimana 0

0

itu

bentuk yang tidak mempunyai arti, tetapi kita masih

bisa menanyakan apa yang terjadi jika x mendekati2 ?

atau apakah ( ) x f mendekati beberapa bilangan tertentu

bilamana x mendekati2 ?

Ada tiga hal untuk menjawab pertanyaan itu.

1. Menghitung beberapa nilai ( ) x f untuk x dekat2

Misalkan kita mengambil nilai-nilai x dekat 2 yaitu

antara lain :




Dari table di atas, terlihat jika nilai-nilai x diambil dari

nilai x yang semakin mendekati2, maka dapat dilihat

nilai ( ) x f kelihatanya menunjuk ke suatu titik yaitu 4

2. Menunjukan nilai-nilai ini dalam sebuah diagram

Jika nilai-nilai tersebut di gambar dalam bentuk

diagram, misalnya :


4,54,1

4,01

4,001

.

.

.

?

.

.

.

3,9993,98

3,9

3,1

2,52,1

2,01

2,001

.

.

.

2.000

.

.

.

1,9991,98

1,9

1,1

?2

3,1

3,9

3,98

1,1

1,9

1,98

2,5

4,5

4,1

2,1 4,01

3,999

2,01

Y X

1,999

2,001 4,001



Dari diagram dia atas, terlihat untuk nilai x dari atas

semakin mendekati nilai 2, maka hasilnya pun

semakin menuju ke angka4, demikian jika nilai x dari

bawah mendekati nilai2, maka terlihat juga hasilnyapun semakin menuju ke angka 4, hal ini dapat

dikatakan bahwa jika nilai x mendekati angka2, maka

hasilnya atau nilai ( ) x f mendekati nilai4

3. Mensketsakan grafik ( ) x f y =

Jika kita sketsa gafik fungsi( )

2

42

−−

= x

x x f

untuk nilai x

mendekati2 dapat dilihat pada sketsa grafik di bawah

ini


x 2 x

○

2

4



Dapat dijelaskan dengan menggunakan sketsa grafik,

yaitu jika x mendekati2 dari sebelah kiri, maka nilai

fungsi( )

242

−−=

x x x f

akan mendekati angka 4 dari bawah,

sebaliknya jika x mendekati2 dari sebelah kanan, maka

nilai fungsi( )

2

42

−−

= x

x x f

akan mendekati angka4 dari atas

Hal demikian yang telah digambarkan dalam tiga bentuk

adalah menggambarkan sebuah Limit, dalam lambang

matematika dituliskan sebagau berikut :

42

42

2=

−

−

→ x

x Lim x

Dibaca “ Limit dari 2

42

−−

x

x

untuk x mendekati 2 adalah 4 “

Perlu kita cermati untuk memahami sebuah limit yaitu

kata“mendekati”

, kata“x mendekati 2”

mempunyai artinilai x belum sama dengan 2, karena jika 2= x maka nilai

( )2

42

−−

= x

x x f

tidak punya arti, lalu berapa nilai x ?.

Dari penjelasan di atas dikatakan bahwa x mendekati2

dari kiri dan dari kanan.

1. jika x mendekati 2 dari kiri, maka nilai x yang

paling mendekati angka 2 antara lain 1,99, 1,9923,

1,99997, 1,999999, 1,999999998 dan lain-lain

Jika nilai-nilai x yang mendekati 2 dari kiri kita

masukan ke dalam( )

2

42

−−

= x

x x f

, maka akan diperoleh

nilai-nilai yang semakin mendekati4

2.jika x mendekati 2 dari kanan, maka nilai x yang

paling mendekati angka 2 antara lain 2,1, 2,0023,

2,00012, 2,000033, 2,000000012 dan lain-lain




Jika nilai-nilai x yang mendekati2 dari kanan kita

masukan ke dalam

( )2

42

−

−=

x

x x f

, maka akan diperolehnilai-nilai yang semakin mendekati4

Demikian pengertian dari sebuah limit

Definisi :

Untuk mengatakan bahwa( ) L x f Lim

a x=

→ berarti bahwa bila

x mendekatia tetapi bukan a, maka ( ) x f dekat ke L

3.2. Menghitung Nilai Limit

Karena untuk menentukan nilai x yang paling dekat

dengan sebuah bilangan a tidak dapat dilakukan, maka

kita gunakan saja nilaia untuk menentukan nilai fungsi( ) x f asalkan nilai tersebut hanyalah nilai pendekatan.

Dalam menentukan nilai limit, maka ada dua hal, yaitu

nilai limit untuk x mendekati sebuah bilangan a dan

nilai limit untuk x mendekati bilangan∞ (tak terhingga)

1. Nilai Limit untuk x mendekati sebuah bilangana

Jika diketahui sebuah limit yaitu( ) L x f Lim

a x=

→ , maka

langkah untuk menentukan nilai limit tersebut adalah

a x = dimasukan ke ( ) x f sehingga diperoleh ( )a f :

. jika ( ) La f = , dengan L merupakan sebuah bilangan

Misalkan diketahui sebuah limit yaitu( ) L x f Lim

a x=

→ ,

prinsipnya adalah kita memasukan a x = ke dalamfungsi ( ) x f yang dilimitkan yaitu ( )a f , jika




menghasilkan sebuah bilangan yaitu ( ) La f = , maka

itulah nilai limitnya atau nilai pendekatanya.

Contoh 3.1 :

Hitung nilai limit berikut :( ) =−

→12

3 x Lim

x 5

Penyelesaian 3.1 :

Dari limit di atas, diketahui ( ) 12 −= x x f dan x

mendekati 3, jika 3= x dimasukan ke dalam( ) 12 −= x x f , maka diperoleh ( ) 5161)3(23 =−=−= f ,

sehingga diperoleh nilai( ) 512

3=−

→ x Lim

x

Contoh 3.2 :

Hitung nilai limit berikut :=

−−

→ 1

3222 x

x Lim x

Penyelesaian 3.2 :

Dari limit di atas, diketahui( )

1

32

2 −

−= x

x x f

dan x

mendekati 2, jika 2= x dimasukan ke dalam

( )1

322 −−

= x

x x f

, maka diperoleh( )

( )

( ) 3

1

14

34

12

3222

2 =

−−

=−−

= f

,

sehingga diperoleh nilai 3

1

1

3222

=−−

→ x

x Lim x

Contoh 3.3 :

Hitung nilai limit berikut : 12

123 2

1 −−+

−→ x

x x Lim x

Penyelesaian 3.3 :


•

•

•



Dari limit di atas, diketahui 12

123 2

1 −−+

−→ x

x x Lim x dan x

mendekati 1− , jika 1−= x dimasukan ke dalam

=−

−+−→ 12

123 2

1 x

x x Lim x , maka diperoleh :

( ) ( )( )

03

0

12

123

112

11213

12

123 22

1=

−=

−−−−

=−−

−−+−=

−−+

−→ x

x x Lim x

Jadi0

12

123 2

1=

−−+

−→ x

x x Lim x

. jika( )

0

0=a f atau

( )0

ca f =

Jika a x = dimasukan dalam fungsi ( ) x f yang

dilimitkan yaitu ( )a f akan menghasilkan( )

0

0=a f atau

( )0

ca f =

, maka :

1). ( ) x f difaktorkan atau

2). ( ) x f dikalikan dengan akar sekawannya

Contoh 3.4 :

Hitung nilai limit berikut :

=−

−

→ 2

42

2 x

x Lim x

Penyelesaian 3.4 :

Dari limit di atas diketahui( )

2

42

−−

= x

x x f

, dan x


( )2

42

−−

= x

x x f

akan diperoleh( )

( )( ) 0

0

22

44

22

422

2

=−−

=−−

= f

, karena


•



( )0

02 = f

yaitu hasil yang tidak mempunyai arti, maka

( )24

2

−−= x x x f

harus difaktorkan, yaitu :

( ) ( )2

22

2

4

2

2

2 −+−

=−−

→→ x

x x Lim

x

x Lim

x x

( )( )2

22

2 −+−

=→ x

x x Lim x

( )22

+=→

x Lim x

Setelah difaktorkan, maka( )

2

42

−−

= x

x x f

berubah

menjadi ( ) 2+= x x f , sehingga jika 2= x dimasukan ke

dalam ( ) 2+= x x f akan diperoleh ( ) 4222 =+= f ,

sehingga diperoleh4

2

42

2=

−

−

→ x

x Lim x

Contoh 3.5 :


−−

→ 1

1

1 x

x Lim x

Penyelesaian 3.5 :


1

1

−−

= x

x x f

dan x

mendekati 1, jika1

= x

dimasukan ke dalam( )

1

1

−−

= x

x x f

akan diperoleh( )

0

0

11

0

11

111 =

−=

−−

= f

, karena

( )0

01 = f


( )1

1

−−

= x

x x f

harus difaktorkan, yaitu :

( )( )1

11

1

1

11 −

+−=

−

−

→→ x

x x Lim

x

x Lim

x x


•



( 11

+=→

x Lim x

Setelah difaktorkan, maka( ) 1

1

−−

= x

x x f

berubah

menjadi ( ) 1+= x x f , sehingga jika 1= x dimasukan ke

dalam ( ) 1+= x x f akan diperoleh ( ) 2111 =+= f ,

sehingga diperoleh2

1

1

1=

−−

→ x

x Lim x




Contoh 3.6 :

Hitung nilai limit berikut : x

x x Lim x

322

0

−−+

→

Penyelesaian 3.6 :


x

x x x f

322 −−+=

dan x


( ) x

x x x f

322 −−+=

akan diperoleh

( ) ( )

0

0

0

22

0

032200 =

−=

−−+= f

, karena( )

0

00 = f

yaitu

hasil yang tidak mempunyai arti, maka

( ) x

x x x f

322 −−+=

harus difaktorkan, tetapi karena

( ) x f sulit difaktorkan, maka( )

x

x x x f

322 −−+=

dikalikan dengan akar sekawan dari pembilangnya,

yaitu x x

x x

322

322

−++−++

, sehingga limitnya menjadi

seperti berikut :

=−−+

→ x

x x Lim x

322

0

−++−++

−−+=

→ x x

x x

x

x x Lim x 322

322322

0

( ) ( )

( )

−++

−−+=

→ x x x

x x Lim x 322

322

0

( )

−+++−+

=→ x x x

x x Lim x 322

322

0

( )

−++=

→ x x x

x Lim x 322

4

0

( )

−++= → x x Lim x 322

4

0


•




x

x x x f

322 −−+=

berubah

menjadi( )

x x x f

3224

−++=

, sehingga jika 0= x


x x x f

322

4

−++=

akan

diperoleh,( ) 2

2

2

22

4

22

4

)0(3220

40 ===

+=

−++= f

sehingga diperoleh2

322

0=

−−+→ x

x x Lim x

Contoh 3.7 :


+−−

→ 624

25 2

5 x

x Lim x

Penyelesaian 3.7 :


624

25 2

+−−

= x

x x f

dan x


( )624

25 2

+−−

= x

x x f

akan diperoleh :

( ) ( )

( ) 0

0

44

0

164

0

6104

2525

6524

5255

2

=−

=−

=+−

−=

+−−

= f

, karena( )

0

05 = f


( )624

25 2

+−−

= x

x x f

harus difaktorkan, tetapi karena ( ) x f

sulit difaktorkan, maka( )

624

25 2

+−−

= x

x x f

dikalikan

dengan akar sekawan dari penyebutnya, yaitu


•



624

624

++++

x

x

, sehingga limitnya menjadi seperti

berikut :

++++

+−−

=

+−−

→→ 624

624

624

25

624

25 2

5

2

5 x

x

x

x Lim

x

x Lim

x x

++++

+−−

=→ 624

624

624

25 2

5 x

x

x

x Lim x

( )( )

( )

+−

++−=

→ 624

624252

2

5 x

x x Lim x

( )( ) ( )

−−+++−

=→ 6216

62455

5 x

x x x Lim x

( )( ) ( )

−+++−

=→ x

x x x Lim x 210

62455

5

( )( ) ( )

( )

−

+++−=

→ x

x x x Lim x 52

62455

5

( ) ( )

+++=

→ 2

6245

5

x x Lim x


624

25 2

+−−

= x

x x f

berubah

menjadi

( ) ( ) ( )

2

6245 +++=

x x x f

, sehingga jika5= x


( ) (2

6245 +++=

x x x f

akan

diperoleh( )

( ) ( ( ) ( )40

2

610410

2

6)5(24555 =

++=

+++= f

sehingga diperoleh40

624

25 2

5=

+−−

→ x

x Lim x




Soal Latihan

1.

=

+

→ x

x Lim x

12

3 8.

=

+

++

−→ 1

122

1 x

x x Lim x

2.=

+→ x

x x Lim x

2

0

9.=

+

−+−→ 3

352 2

3 x

x x Lim x

3.=

+−

−→ 53

4

2

2

2 x

x Lim x

10.=

−−

−−→ 42

52

2

3 x x

x x Lim x

4.=

+

−

→ x x

x x Lim x 4

162

3

0 11.

=

−

−

→ 9

3

9 x

x Lim x

5.=

−−

→ 2

83

2 x

x Lim x

12.=

+−−−

→ 65

22

2

2 x x

x x Lim x

6.=

−−

→ 1

33

1 x

x Lim x

7.

=

−−+→ 1210 x x

x Lim x




2. Nilai limit untuk x mendekati bilangan ∞ (tak

terhingga)

Jika diketahui sebuah limit yaitu( ) L x f Lim

x=

∞→ , maka

langkah untuk menentukan nilai limit tersebut adalah

sebagai berikut :

. jika ( ) x f berbentuk fungsi rasional( )

( )( ) x g

xh x f =

Jika fungsi( ) x f

berbentuk fungsi rasional

( ) ( )

( ) x g

xh x f =

dimana ( ) c x g ≠ dengan c suatu bilangan, maka

tentukan pangkat tertinggi dari ( ) xh dan ( ) x g ,

misalkan pangkat tertinggi dari fungsi ( ) xh adalahm,

sedangkan pangkat tertinggi dari fungsi ( ) x g adalah

n, jika nm > , maka setiap suku yang ada di dalam ( ) xh

dan ( ) x g harus dibagi denganm

x , sebaliknya jika nm <

, maka setiap suku yang ada di dalam( ) xh

dan( ) x g

harus dibagi dengann x dan jika nm = , maka setiap

suku yang ada di dalam ( ) xh dan ( ) x g harus dibagi

dengann x

Contoh 3.8 :

Hitung nilai limit berikut : =

+−

−∞→ 14

32

2

2

x x

x x

Lim x

Penyelesaian 3.8 :


14

322

2

+−−

= x x

x x x f

artinya( ) x x xh 32 2 −= dengan pangkat tertingginya adalah 2

sedangkan ( ) 14 2 +−= x x x g dengan pangkat tertingginya

adalah 2, maka setiap suku yang ada di dalam( ) xh

dan ( ) x g harus dibagi dengan2 x , sehingga diperoleh :


•



=

+−

−∞→ 14

322

2

x x

x x Lim x

+−

−∞→

222

2

22

2

14

32

x x

x

x

x

x

x

x

x

Lim x

+−

−=

∞→

2

114

32

x x

x Lim x

∞+

∞−

∞−=

2

114

3

2

+−−

=004

02

2

1=

Jadi 21

1432

2

2=

+−−

∞→ x x x x Lim

x

Contoh 3.9 :


+−+

∞→ 22

122 x x

x Lim x

Penyelesaian 3.9 :


22

122 +−

+=

x x

x x f

artinya( ) 12 += x xh dengan pangkat tertingginya adalah 1

sedangkan ( ) 222 +−= x x x g dengan pangkat

tertingginya adalah 2, karena pangkat tertinggi ( ) xh

lebih kecil dari pangkat tertinggi ( ) x g , maka setiap

suku dalam( ) xh

dan( ) x g

harus dibagi dengan

2

x ,sehingga diperoleh :


•



=+−+

∞→ 22

122 x x

x

Lim x 222

2

22

22

12

x x

x

x

x

x x

x

Lim x

+−

+

∞→

2

2

221

12

x x

x x Lim x

+−

+=

∞→

2

2

221

12

∞+∞−

∞+

∞=

001

00

+−+

=

0

22

122

=+−

+∞→ x x

x Lim x

. jika

( ) x f

bukan fungsi rasionalMisalkan ( ) x f bukan fungsi rasional atau fungsi yang

tidak mempunyai penyebut atau fungsi yang

penyebutnya 1, maka langkahnya adalah :

1. ( ) x f diubah menjadi menjadi fungsi rasional

( ) ( )

( ) x g

xh x f =

dengan cara dikalikan dengan

( )( ) xk

xk

dimana ( ) xk adalah akar sekawan dari ( ) x f

2. ( ) x f yang sudah berbentuk fungsi rasional atau

yang sudah dikalikan dengan akar sekawan yaitu

( ) ( )

( ) x g

xh x f =

masing-masing suku dalam ( ) x g dan ( ) xh

dibagim

x dimanam pangkat tertinggi

Contoh 3.10 :

Limit dan Kontinuitas Fungsi 18•



Hitung nilai limit berikut :( =+−+

∞→42 x x Lim

x

Penyelesaian 3.10 :

Dari limit di atas diketahui ( ) 42 +−+= x x x f artinya( ) x f bukan fungsi rasional, oleh karena itu ( ) x f

diubah menjadi fungsi rasional dengan cara

dikalikan dengan akar sekawan, yaitu :

( =+−+∞→

42 x x Lim x

( ) (( )42

4242

++++++

+−+∞→ x x

x x x x Lim

x

( ) ( )( )42

42

++++−+=

∞→ x x

x x Lim x

( )42

42

+++−−+

=∞→ x x

x x Lim x

( )42

2

+++−

=∞→ x x

Lim x

Setelah dikalikan akar sekawan, maka ( ) x f berubah

menjadi fungsi rasional yaitu :( )

42

2

+++−

= x x

x f

dimana ( ) 2−= xh dengan pangkat0 x , dan

( ) 42 +++= x x x g dengan pangkat tertingginya2/1 x

sehingga masing-masing suku dalam ( ) 2−= xh dan

( ) 42 +++= x x x g dibagi2/1 x dan diperoleh :

( )42

2

+++−

∞→ x x Lim x

+++

−=

∞→

x x

x

x x

x

x Lim x 42

22/1

+++

−

=∞→

x x

x

x x

x

x Lim x 42

22/1




+++

−

=∞→

x x

x Lim x 4

12

1

22/1

∞++

∞+

∞−

=4

12

1

22/1

( )0101

0

+++=

( )11

0

+=

0=

Jadi diperoleh( 042 =+−+

∞→ x x Lim

x

Contoh 3.11 :

Hitung nilai limit berikut : ( 322 22 −−

∞→ x x Lim

x

Penyelesaian 3.11 :

Dari limit di atas diketahui ( ) 322 22 −−= x x x f artinya( ) x f

bukan fungsi rasional, oleh karena itu( ) x f

diubah menjadi fungsi rasional dengan cara

dikalikan dengan akar sekawan, yaitu :

( 322 22 −−∞→

x x Lim x

( )( )322

322322

22

2222

−+

−+−−=

∞→ x x

x x x x Lim

x


•



( ) ( )( )322

322

22

22

−+

−−=

∞→ x x

x x Lim x

( )322

3

22 −+

−=∞→ x x

Lim x

Setelah dikalikan akar sekawan, maka ( ) x f berubah

menjadi fungsi rasional yaitu :( )

322

3

22 −+

−=

x x x f

dimana ( ) 3−= xh dengan pangkat0 x , dan

( ) 322 22 −+= x x x g

dengan pangkat tertingginya

1 x

sehingga masing-masing suku dalam ( ) 3−= xh dan

( ) 322 22 −+= x x x g dibagi1 x dan diperoleh :

( )322

3

22 −+

−∞→ x x

Lim x

−+

−

=∞→

22

2

2

2 322

3

x x

x

x

x

x Lim x

−+

−=

∞→

x

x Lim x 3

22

3

∞−+

∞−

=3

22

3

( )022

0

−+=

( )22

0

+=

0=

Jadi diperoleh

( 0322 22 =−−∞→

x x Lim x




3. Soal-Soal Latihan

Tentukan limit di bawah ini :

1.=

+∞→ 1

22

3

x

x Lim x

6.=

+++

∞→ 12

122

2

x

x x Lim x

2.( =+−−+

∞→13 22 x x x Lim

x 7.

=

++∞→ x

x x Lim x

92

3.=

+− −∞→ 532

2 x x Lim

x

8.= −−−∞→ 42

52

2

x x x x Lim

x

4.

=

+−∞→ x

x x Lim x 2

22

9.

=

−−

∞→ 32

34 2

x

x Lim x

5.

=

−−∞→ x

x x Lim x 3

142 2

3.4. Kontinuitas Suatu Fungsi

Kata kontinu dalam kehidupan biasa digunakan untuk

menyatakan suatu proses yang berkelanjutan tanpa

perubahan yang mendadak, jika kita hubungkan dengan

sebuah fungsi, pandang tiga buah grafik seperti pada

Gambar 3.1.




Keterangan :

1. Gambar 3.1(a) menunjukan nilai( ) =

→ x f Lim

c x tidak ada

Misalnya :

( )

=≠

−=1

1

21

1

x

x x x f

, maka dapat diketahui bahwa ( ) 21 = f

( ) =−= →→ 11

11 x Lim x f Lim x x tidak ada, jadi kesimpulannya :

( )c f ada dan( ) =

→ x f Lim

c x tidak ada

2. Gambar 3.1(b) menunjukan nilai( ) =

→ x f Lim

c x ada dan ( )c f

juga ada, tetapi( ) ( )c f x f Lim

c x≠

→

Misalnya :

( )

=

≠

−

−

= 2

2

22

42

x

x

x

x

x f , maka dapat diketahui bahwa ( ) 22 = f dan

( ) ( )( )

( ) 422

22

2

4

22

2

22=+=

−+−

=−−

=→→→→

x Lim x

x x Lim

x

x Lim x f Lim

x x x x jadi( ) 4

2=

→ x f Lim

x

sehingga dapat dikatakan bahwa( ) =

→ x f Lim

c x ada dan ( )c f

juga ada, tetapi( ) ( )c f x f Lim

c x≠

→

3. Gambar 3.1(c) menunjukan nilai( ) =

→ x f Lim

c x ada dan ( )c f

juga ada, serta ( ) ( )c f x f Limc x =→


Gambar 3.1(c)

y

xc

Gambar 3.1(b) ada

c

y

x

○

Gambar 3.1(a) tidak ada

y

xc

○



Misalnya :

( )

=≠−−

=33

33

32

x x x

x x x f

, maka dapat diketahui bahwa ( ) 33 = f

dan( )

( )( ) 3

3

3

3

3

33

2

33==

−−

=−−

=→→→→

x Lim x

x x Lim

x

x x Lim x f Lim

x x x x jadi( ) 3

3=

→ x f Lim

x

sehingga dapat dikatakan bahwa( ) =

→ x f Lim

c x ada dan ( )c f

juga ada, serta( ) ( )c f x f Lim

c x=

→

Definisi :

Kita katakan bahwa f kontinu di c jika beberapa

selang terbuka di sekitarc terkandung daerah asal f

dan( ) ( )c f x f Lim

c x=

→

Dari definisi di atas dapat kita katakan bahwa :

1. ( ) x f Limc x→ ada

2. ( )c f ada

3.( ) ( )c f x f Lim

c x=

→

Jika salah satu tidak dipenuhi, maka dikatakan f tidak

kontinu atau diskontinu dic

3.4.1. Limit Kiri dan Limit Kanan

Dalam pembahasan diatas, lambang matematika untuk

limit dituliskan sebagai berikut :

42

42

2=

−

−

→ x

x Lim x

Dibaca “ Limit dari 24

2

−−

x x

untuk x mendekati 2 adalah 4 “




Perlu kita cermati untuk memahami sebuah limit yaitu

kata“mendekati”, kata“x mendekati 2” mempunyai arti

nilai x mendekati2 dari kiri dan x mendekati2 dari

kanan,

1. jika x mendekati2 dari kiri

Berarti nilai-nilai x yang dekat dengan 2 misalnya

1,991, 1,9993, 1,9999, dan seterusnya

Limitnya kita sebut Limit Kiri dan ditulis=

−

−

−→ 2

42

2 x

x Lim x

2.jika x mendekati2 dari kanan

Berarti nilai-nilai x yang dekat dengan 2 misalnya

2,534, 2,302, 2,134, 2,012, 2,003, dan seterusnya.

Limitnya kita sebut Limit Kanan dan ditulis=

−

−

+→ 2

42

2 x

x Lim x

Definisi :

Untuk mengatakan bahwa ( ) L x f Limc x =+→ berarti bahwa jika x

dekat dengan c dari kanan, maka ( ) x f dekat dengan L,

demikian juga bahwa( ) L x f Lim

c x=

−→ berarti bahwa jika x

dekat dengan cdari kiri, maka ( ) x f dekat dengan L.


AB

Gambar 3.2

y

xc

○



Pandang Gambar 3.2, maka : Limit kanan adalah

( ) A x f Limc x

=+→

Limit kiri adalah( ) B x f Lim

c x=

−→

Hal ini menujukan limit kanan ( ( ) A x f Lim

c x=

+→ ) tidak sama

dengan limit kiri ( ( ) B x f Lim

c x=

−→ ), akibatnya limit untuk x

mendekatic ( ( ) x f Lim

c x→ ) juga tidak ada

Contoh 3.12 :

Diketahui fungsi sepotong-potong

( )

≥<<

≤

+=

1

10

0

1 2

2

x

x

x

x

x

x

x f

sketsakan grafiknya

Penyelesaian 3.12 :

Sketsa grafik fungsi di atas seperti Gambar 3.3


Teorema A

( ) L x f Limc x

=→

( ) L x f Limc x

=+→

•

Gambar 3.3 1

○

xy



Dari hal tersebut dapat ditentukan beberapa hal :

( ) 00 =→ x f Lim x , karena ( ) =+→ x f Lim x 0 ( ) 00 =−→ x f Lim x

( ) 00 = f

Karena( ) ( )0

0 f x f Lim

x=

→ , maka ( ) x f kontinu di 0= x

;

( ) =→

x f Lim x 1 tidak ada, karena :

1.( ) x f Lim

x +→1 ( 2

1

1 x Lim x

+=+→

211+=

2=

2.( ) x f Lim

x −→1 ( ) x Lim

x −→=

1

1=

Karena( ) x f Lim

x +→1

( ) x f Lim x −→1 , maka ( ) x f tidak kontinu di 1= x

Contoh 3.13 :


( )

≥<<

≤

−−−

=2

21

1

5

1

1

2 x

x

x

x

x

x

x f

sketsakan grafiknya

Penyelesaian 3.13 :


•





;

( ) 01

=→

x f Lim x , karena :

1. ( ) x f Lim x +→1 ( ) x Lim x −= +→ 11

11−=

0=

2.( ) x f Lim

x −→1 ( )1

1

−=−→ x Lim

x

11−=

0=

Karena

( ) x f Lim x +→1

=

( ) x f Lim x −→1

, maka

( ) x f

kontinu di1= x

dan( ) 01 = f

;

( ) 12

=→

x f Lim x , karena :

1.( ) x f Lim

x +→2 ( 2

2

5 x Lim x

−=+→

225 −=

45 −=

1=

2. ( ) x f Lim x −→2 ( )12 −= −→ x Lim x


Gambar 3.4

xy1

21



12 −=

1=

Karena ( ) x f Lim x +→2 = ( ) x f Lim

x −→2 , maka ( ) 12 =→ x f Lim x serta ( ) x f kontinu

di 2= x dan juga ( ) 12 = f

; Karena ( ) x f kontinu di 1= x dan 2= x , maka ( ) x f kontinu

di mana-mana

Contoh 3.14 :

Diketahui fungsi sepotong-potong( )

≥

<=1

1

1 x

x x x f

sketsakan grafiknya

Penyelesaian 3.14 :



;

( ) 11

=→

x f Lim x

, karena :


•

Gambar 3.5

xy

1

1



1.( ) x f Lim

x +→1 ( )1

1+→=

x Lim

1=

2.( ) x f Lim

x −→1 ( ) x Lim

x −→=

1

1=

Karena( ) x f Lim

x +→1 =( ) x f Lim

x −→1 =1, maka( ) 1

1=

→ x f Lim

x dan ( ) x f

kontinu di 1= x

Contoh 3.15 :


>≤+

=1

1

1

12

x

x x x f

sketsakan grafiknya

Penyelesaian 3.15 :



( ) 21 = f , karena ( ) 211111 2 =+=+= f


•

Gambar 3.6

xy

○

1



; Uji Limit Kiri dan Limit Kanan

1. Limit Kanan :

( ) x f Lim x +→1 ( )11+→= x

Lim

1=

2. Limit Kiri :( ) x f Lim

x −→1 ( )12

1+=

−→ x Lim

x

112 +=

2=

Karena( ) ≠

+→ x f Lim

x 1( ) x f Lim

x −→1 , maka( ) =

→ x f Lim

x 1 tidak ada

Karena( ) ( ) x f x f Lim

x≠

→1 di x dekat1, maka ( ) x f diskontinu di1= x




3.4.2. Soal-Soal Latihan

Selidiki apakah fungsi-fungsi di bawah ini kontinu ?

1.( )

>≤

=1

1

1

2

x

x x x f

8.

( )

≥<<

<

+=

1

10

0

1 2

2

x

x

x

x

x

x

x f

2.

( )

><<−

−≤

−−=

1

11

1

2

2

x

x

x

x

x x f

9.

( )

≥<<−

−<

−−−−

=1

11

1

2

22

x

x

x

x

x

x

x f

3.

( )

≥<<

<+=

1

10

0

1

1

x

x

x

x

x

x f

10.

( )

≥<<−

−<++

=1

11

1

1

1

12

x

x

x

x

x

x f

4.

( )

><<

≤

−

−=

1

10

0

2 x

x

x

x

x

x

x f

11.

( )

><<

≤

−+−−−

=2

20

0

2

12

2

x

x

x

x

x x

x f

5.

( )

≥<<−

−<

+−

++=

1

11

1

23

0

23

2

2

x

x

x

x x

x x

x f

12.

( )

><<−

−≤

+−++

=1

12

2

82

42

422

x

x

x

x

x x

x

x f

6.

( )

><≤<<

≤

+−−+

=

3

31

10

0

1

34

1

1

2

x

x

x

x

x x

x

x

x f

13.

( )

≥<<≤<−

−<

−−

+

=

3

31

11

1

1

2

22

x

x

x

x

x

x

x

x f

7.

( )

><≤<<

≤

−−

=

4

42

21

1

3

3

1

2

x

x

x

x

x

x

x

x f

14.

( )

><≤<<−

−≤

−−++

=

2

20

02

2

2

2

2

2

2

2

x

x

x

x

x

x x

x x

x

x f

3.5. Menentukan Suatu Fungsi Menjadi Kontinu




Seperti yang telah kita sebutkan di atas, bahwa suatu

fungsi dikatakan kontinu di c x = , jika memenuhi ketiga

syarat yaitu :

1. ( ) Lc f =

2.( ) L x f Lim

c x=

→ , jika dan hanya jika( ) ( ) L x f Lim x f Lim

c xc x==

−+ →→

3.( ) ( )c f x f Lim

c x=

→

Sekarang bagaimana jika sebuah fungsi belum diketahui

kontinu atau diskontinu yang disebabkan adanya beberapa konstanta yang belum diketahui, misalnya

seperti contoh di bawah ini :

Misalkan :

Diketahui fungsi :( )

≥<

−+

=1

1

3 x

x

x

a x x f

fungsi ini belum

diketahui apakah ( ) x f kontinu atau diskontinu, karena

nilaia belum diketahui nilainya.

Misalkan :

Diketahui fungsi :

( )

≥<<−

−≤

−−−

=1

12

2

1

3

x

x

x

ax

axb x f

fungsi ini belum

diketahui apakah ( ) x f kontinu atau diskontinu, karenanilaia danb belum diketahui nilainya.

Untuk menentukan nilai-nilaia dan b agar ( ) x f kontinu

digunakan limit kiri dan limit kanan, yaitu agar ( ) x f

kontinu di c x = , maka( ) ( ) x f Lim x f Lim

c xc x −+ →→=

Contoh 3.16 :

Limit dan Kontinuitas Fungsi 33•




≥<

−+

=1

1

3 x

x

x

a x x f

tentukan

nilaia agar ( ) x f menjadi kontinu

Penyelesaian 3.16 :

Akan ditentukan agar ( ) x f kontinu di 1= x , yaitu dengan

menentukan

( ) ( ) x f Lim x f Limc xc x

−+

→→

=

; Limit Kanan

( ) x f Lim

c x +→( )a x Lim

x

+=+→1

a+=1

Jadi Limit Kanan adalah :( ) a x f Lim

c x+=

+→1

; Limit Kiri

( ) x f Lim

c x −→( ) x Lim

x−=

−→3

1

13−=

3=

Jadi Limit Kanan adalah :( ) 3=

−→ f Lim

c x

Agar ( ) x f kontinu di 1= x , maka( ) ( ) x f Lim x f Lim

c xc x −+ →→=

, diperoleh :

( ) ( ) x f Lim x f Limc xc x −+ →→

=

31 =+ a

2=a




Jadi agar ( ) x f kontinu di 1= x , maka nilai 2=a , sehingga

fungsi diatas akan menjadi fungsi kontinu yaitu :

( ) ≥

<−+=

1

1

3

2

x

x

x

x x f

Contoh 3.17 :


( )

≥<<−

−≤

−−−

=1

12

2

1

3

x

x

x

ax

axb x f

tentukan nilaia danb agar ( ) x f menjadi kontinu

Penyelesaian 3.17 :

Akan ditentukan agar ( ) x f kontinu , maka ( ) x f harus

kontinu di 2−= x dan di 1= x .

1). ( ) x f kontinu di 2−= x , maka ( ) ( ) x f Lim x f Lim x x −+ −→−→ = 22

; Limit Kanan

( ) x f Lim

x +−→ 2( )axb Lim

x−=

+−→ 2

)2(−−= ab

ab 2+=

Jadi Limit Kanan adalah : ( ) ab x f Lim x

22 +=+−→

; Limit Kiri

( ) x f Lim

x −−→ 2( )3

2−=

−−→ x Lim

3−=

Jadi Limit Kiri adalah :

( ) 32

−=−

−→

x f Lim x


•



Agar ( ) x f kontinu di 2−= x , maka( ) ( ) x f Lim x f Lim

x x −+ −→−→=

22

sehingga diperoleh :

32 −=+ ab ………pers(1)

2). ( ) x f kontinu di 1= x , maka( ) ( ) x f Lim x f Lim

x x −+ →→=

11

; Limit Kanan

( ) x f Lim

x +→1( )1

1−=

+→ax Lim

x

1)1( −= a

1+= a

Jadi Limit Kanan adalah :( ) 1

1+=

+→a x f Lim

x

; Limit Kiri

( ) x f Lim x −→1 ( )axb Lim

x −= −→1

)1(ab −=

ab −=

Jadi Limit Kiri adalah :( ) ab x f Lim

x−=

−→1


x x −+ →→=

11 sehingga

diperoleh :

aba −=+1 12 −=− ba ………pers(2)

Agar ( ) x f kontinu, maka pers(1) dan pers(2) dilakukan

eliminasi atau substitusi untuk memperoleh nilaia danb

, yaitu :

32 −=+ ab

………pers(1)




12 −=− ba ………pers(2)

44 −=a

1−=a

jika 1−=a disubstitusikan ke 32 −=+ ab akan diperoleh 1−=b

, sehingga diperoleh agar ( ) x f kontinu, maka nilai 1−=a

dan 1−=b , sehingga fungsinya menjadi :

( )

≥

<<−−≤

−−

+−−

=

1

12

2

1

1

3

x

x

x

x

x x f

Contoh 3.18 :


( )

≥<<−

−≤

−+−+

=1

12

2

12

62

x

x

x

ax

bxax

ax

x f

tentukan nilai a dan b agar ( ) x f

menjadi kontinu

Penyelesaian 3.18 :

Akan ditentukan agar ( ) x f kontinu , maka ( ) x f harus

kontinu di 2−= x dan di 1= x .

1). ( ) x f kontinu di 2−= x , maka( ) ( ) x f Lim x f Lim

x x −+ −→−→=

22

; Limit Kanan

( ) x f Lim x +−→ 2

( )bxax Lim x

+−=+−→

2

2


•



)2()2( 2 −+−−= ba

ba 24 −−=

Jadi Limit Kanan adalah :( ) ba x f Lim

x24

2−−=

+−→

; Limit Kiri

( ) x f Lim

x −−→ 2( )6

2+=

−−→ax Lim

x

6)2( +−= a

62 +−= a

Jadi Limit Kiri adalah :( ) 62

2+−=

−−→a x f Lim

x

Agar ( ) x f kontinu di 2−= x , maka( ) ( ) x f Lim x f Lim

x x −+ −→−→=

22

sehingga diperoleh :

6224 +−=−− aba atau 622 =−− ba ………pers(1)

2). ( ) x f kontinu di 1= x , maka( ) ( ) x f Lim x f Lim

x x −+ →→=

11

; Limit Kanan

( ) x f Lim

x +→1( )12

1−= +→

ax Lim x

12)1( −= a

12−= a

Jadi Limit Kanan adalah :( ) 12

1−=

+→a x f Lim

x

;

Limit Kiri




( ) x f Lim

x −→1( )bxax Lim

x+−=

−→

2

1

)1()1( 2

ba +−=

ba +−=

Jadi Limit Kiri adalah :( ) ba x f Lim

x+−=

−→1


x x −+ →→=

11 sehingga

diperoleh :

baa +−=−12 atau 122 =− ba ………pers(2)

Agar ( ) x f kontinu, maka pers(1) dan pers(2) dilakukan

eliminasi atau substitusi untuk memperoleh nilaia danb

, yaitu :

622 =−− ba

………pers(1) 122 =− ba ………pers(2)

183 =− b

6−=b

jika 6−=b disubstitusikan ke 622 =−− ba akan diperoleh

3=a , sehingga diperoleh agar ( ) x f kontinu, maka nilai 3=a

dan 6−=b , sehingga fungsinya menjadi

( )

≥<<−

−≤

−−−+

=1

12

2

123

63

632

x

x

x

x

x x

x

x f




3.5.1. Soal-Soal Latihan

Diketahui fungsi-fungsi berikut, tentukan nilaia dan b

agar fungsi ( ) x f menjadi kontinu, kemudian sketsakan

grafiknya

1.

( )

≥<<

≤++

+=

3

31

1

2

5

12

x

x

x

bxax

ax

x f

6.

( )

≥<<−

−≤

+=

1

11

112

x

x

x

bax

ax x f

2.

( )

−≥<<− −≤

−+−=

1

111

4

2

x

x x

ax

b xax

x f

7.

( )

≥<<≤+=1

100

1

x

x x

ax

bax x f

3.

( )

≥<<

≤

−+−

+=

2

20

0

2

32

x

x

x

x

a x x

b x

x f

8.

( )

≥<<

≤+

−=

4

40

0

2 x

x

x

bax

ax

x f

4.

( )

≥

<<−−≤

−

−−+

=

2

22

2

2

22

x

x

x

ax

b x

ax

x f

9.

( )

≥

<<−−≤

−

+−+

=

1

12

2

12

62

x

x

x

ax

bxax

ax

x f

5.

( )

−≥<<−

−≤

+−++

=1

11

1

8

22

x

x

x

ax

bxax

ax

x f

10.

( )

−≥<<−

−≤

+−++

=1

12

2

8

42

x

x

x

ax

bxax

ax

x f

limit dan kontinuitas fungsi matematika kelas 3 sd

Documents