metode runge kutta orde 4 untuk pdb fo

7/23/2019 Metode Runge Kutta Orde 4 Untuk PDB FO

1/9

A. Metode Runge Kutta Orde 4 Untuk Persamaan Differensial Biasa Orde

Pertama

Metode Runge Kutta orde 4 merupakan salah satu metode numeric yangdigunakan untuk menyelesaikan persamaan differensial biasa orde pertama yang

berbentuk: =(,), ()=

Penggunaan metode ini didasarkan pada ekspansi deret Taylor untuk lima

suku pertama yaitu:

= + |, ( ) +1

2!

|,( )

+1

3!

|, ( )+

1

4!

|,( )

(1)

dimana diketahui bahwa =(,) dan = , sehingga untukpersamaan (1) diperoleh:

= + .(,) +

2!(,) +

3!

(,) +

4!(,) (2)

Disamping itu metode Runge Kutta orde 4 juga didasarkan pada bentuk:

= ( + ) (3)Kemudian dari persamaan (2) dan (3) diperoleh bentuk umum untuk

metode Runge Kutta orde 4 yaitu:

= +

( + + +) (4)

dimana:=(,)

= + ,+

= + ,+ =(+ ,+ )

B. Aplikasi Metode Runge-Kutta Orde 4 Untuk ODE Orde Pertama

Misalkan terdapat ODE orde pertama sebagai berikut: + 2=

;(0

)= = 0.75Dengan menggunakan Metode Runge-Kutta orde 4, maka akan ditentukan

solusi numerik dari ODE orde pertama tersebut sehingga dapat diketahui nilai

fungsi pada saat tertentu. Diketahui bahwa: +2=

= 2 (,) = 2, = 0.75 = + 6(+ 2+ 2+ )

dengan

=

(

,

)


2/9

= + 2,+2

= + 2,+ 2=(+ ,+ )sehingga dengan menggambil banyak segmen = 4, = 0,dan= 5, maka

= ( ) =(5 0)

4 = 1.25

Untuk

= 0, = 0,= 0.75,=(,) =(0,0.75)= 2(0.75)= 0.5;

= + 2, + 2 =(0.625,0.4375)= . 2(0.4375)= 0.33973857= + 2, +

2

=(0.625,0.537663393)= . 2(0,537663393)= 0.54006536

=(+ , + ) =(1.25, 0.0749183)= . 2(0.0749183)= 0.136669819

= + ( + + + )= .

Untuk = 1,= + = 0 +1.25 = 1.25,= 0.30772090,=(,)=(1.25,0.30772090)= . 2(0.30772090)= 0.32893701= + 2, +

2

=(1.875,0.10213)= . 2(010213)= 0.5091558

= + 2, +2

=(1.875,0.01050)= . 2(0.01050)= 0.39844237

=(+ , + ) =(2.5,0.190332062)= . 2(0.190332062)= 0.46274911

= +

( + + + )= .

Untuk = 2,= + = 1.25 +1.25 = 2.5,= 0.14836595,=(,) =(2.5,0.14836595)= . 2(0.14836595)= 0.21464689= + 2, +

2

=(3.125, 0.014211643)= . 2(0.014211643)= 0.01551366

= + 2, +2

=(3.125,0.158061987)= . 2(0.158061987)= 0.27218703

=

(

+

,

+

)

=

(3.75,

0.021750943)

= . 2(0.021750943)= 0.40725344


3/9

= + ( + + + )= .

Untuk = 3,= 2.5 + 1.25 = 3.75,= 0.08154507,=(,) =(3.75,0.08154507)= . 2(0.08154507)= 0.13957239= + 2, +

2

=(4.375,5.68767375x10)= . 2(5.68767375x10)= 0.02396349

= + 2, +2

=(4.375, 0.096522251)= . 2(0.096522251)= 0.18045637

=(+ , + ) =(5,0.031240161)= 2(0.031240161)= 0.29478872 = + ( + + + )= .

Jadi diperoleh solusi numerik untuk (5) = 0.04867644. Diketahuibahwa solusi analitik untuk ODE

+ 2= ;(0)= = 0.75adalah

()= 0.25sehingga nilai solusi analitik untuk (5)adalah

(5)= 0.00672260Maka diperoleh nilai Galat yaitu: = | |= |0.04867644 0.00672260|= 0.04195384

Sedangkan Galat Relatif yaitu:

= 100= 0.04195384

0.00672260 100

= 623.700522%

Jadi diperoleh dengan = 4, ternyata solusi numerik mampu mendekatisolusi analitik namun dengan nilai galat yang cukup besar. Tetapi nilai galat inidapat diperkecil dengan menanbah jumlah segmen dalam hal ini memperkcil step

size antar titik . Namun jika ingin dilakukan perhitungan dengan jumlah segmenyang banyak, maka dapat dilakukan dengan suatu bentuk pemrograman dengan

menggunakan bahasa pemrograman tertentu misalkan Pascal. Adapun source codeuntuk menghitung solusi ODE dengan menggunakan metode Runge-Kutta orde 4

yaitu:


4/9

Output:


5/9

Kemudian source code untuk melihat perbandingan nilai solusi numerik dengan

jumlah segmen yang beragam yaitu:


6/9

Output

Jadi terlihat bahwa dengan jumlah segmen yang semakin banyak, maka nilai

perhitungan numerik akan semakin dekat dengan nilai perhitungan analitik (nilai

sebenarnya).


7/9

Lampiran

Solusi Analitik (Metode Faktor Integrasi)

Diberikan PDB yaitu+ 2= ;(0)= = 0.75 (a)

Diketahui bahwa Persamaan (a) berbentuk ()= () (b)

sehingga (b) dapat dinyatakan sebagai

() ()()= ()() (c)dimana faktor integrasi ()dinyatakan sebagai

()= () (d)Diketahui bahwa ()= 2dan ()= , sehingga()= () = = (e)Untuk (c) diperoleh

+ 2= () 2 =

()= = = +

= + = ()= +

Untuk (0)= 0,75, diperoleh(0) = 0,75 () () = 0,75

(1) + (1) = 0,751 = 0,75

= 0,75 1 = 0,25sehingga solusi PDB untuk Persamaan (a) yaitu

()= 0,25 (f)

Misalkan diberikan PDB yaitu

2 = 1,3 ;(0)= 5 (1)Diketahui bahwa Persamaan (1) berbentuk

()= () (2)sehingga (2) dapat dinyatakan sebagai

() ()()= ()() (3)dimana faktor integrasi ()dinyatakan sebagai

()= () (4)Diketahui bahwa ()= 2dan ()= 1,3, sehingga

(

)

= ()

=

=

(5)


8/9

Untuk (3) diperoleh

+ 2= (1,3) 2 = 1,3 ()= 1,3

= 1,3 = 1,3+ = 1,3

+ = 1,3 ()= 1,3+

Untuk (0)= 5, diperoleh(0) = 5

1,3() + () = 51,3(1) + (1) = 5

1,3

= 5

= 5 1,3 = 3,7Jadi solusi PDB untuk Persamaan (a) yaitu

()= 1,3+ 3,7 (6)


9/9

DAFTAR PUSTAKA

Kaw, A. Dan Kalu, E Eric., 2007, Numerichal Methods with Applications: AbridgedSecond Edition, USA.

metode runge kutta orde 4 untuk pdb fo

Documents