vektor web

7/23/2019 Vektor Web

1/42

Vektor

Vektor memiliki besaran dan arah.Beberapa besaran fsika yang

dinyatakan dengan vektorseperti :

perpindahan, kecepatandanpercepatan.

Skalar hanya memiliki besaran saja,contoh : temperatur, tekanan, energi,

massadan waktu.


2/42

Susunan Koordinat Ruang-n

a. Ruang dimensi satu (R

!

R O P E A

Titik O mewakili bilangan nol ditulis O(0),titik E mewakili bilangan 1 ditulis E(1).

P(2/5) atin!a P mewakili bilangan 2/5 dan Pdiletakkan ke aa" E (aa" #ositi#)se"ingga OP $ 2/5 satuan.


3/42

b. Ruang dimensi dua (R"!

Setiap pasangan bilangan riel(koordinat titik! dapat di#akili oleh

sebuah titik pada suatu bidang rata,

yang membentuk susunan koordinat

di dalam ruang dimensi dua, ditulis R".


4/42

c. Ruang dimensi tiga (R$!


5/42

d. Ruang dimensi n (Rn!

Secara umum untuk Rn

adalahpengembangan lebih lan%ut dari R$

dengan n adalah bilangan bulat

positip, maka suatu titik di dalam Rn

dinyatakan sebagai n-urutan bilangan

riel.

&ontoh : 'itik (%1,%2, &&&.%n)


6/42

)eometri dan *l%abar Vektor)eometri dan *l%abar Vektor

Vektor dalam Bidang (R"!'idang atesian %, !

*e+nisi gais !ang memiliki aa", !ang men!atakan #e#inda"an satu titik (A) ke titik !ang lain (').

otasi

Titik A titik awal atau eko

Titik ' titik ak"i atau ke#ala

Y

B

A

x

AB


7/42

um#ulan titik-titik dalam bidang meu#akan kum#ulanekto !ang be#angkal #ada titik awal di titik asal O.

Pada umumn!a untuk men!atakan ekto denganmenggunakan koodinat.

onto" titik A$(,2), maka #enulisan ekto a + $(,2)

ekto b + $(-

1,)

ekto c +$(2,-1)

OA

OB

OCA

B

C

O


8/42

en%umlahan ektor

s a b= +


9/42

engikuti hukum :

omutati

a b b a+ = +


10/42

Assosiati

( ) ( )a b c a b c+ + = + +


11/42

ekto adala" ekto !angmemiliki besaan !ang samadengan ekto teta#ibelawanan aa", bila

di3umla"kan akanmeng"asilkan

b

( ) ( ) 0b b+ =

b


12/42

om#onen ekto

meu#akan #o!eksi ekto #ada sumbusistem koodinat

om#onen ekto a cos dan sinx ya a a a = =

disebut komponen skalar atau

komponen


13/42

Pen3umla"an ekto dengankom#onen , setia# kom#onen

sama dengan kom#onen

s a b= + s

a b+

x x x

y y y

z z z

s a b

s a b

s a b

= +

= +

= +


14/42

'esa ekto

"usus untuk #en3umla"an 2 ekto (), besa ekto da#at di4ai

dengan umus

*alam #e"itungan ekto dibutu"kan umustigonometi

*alil 4osinus

*alil sinus

a 2 2 dan tan xx yy

aa a a

a= + =

s2 2 2 coss a b ab = + +

dana b

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 cos

2 cos

2 cos

a b c bc

b a c ac

c a b ab

= +

= +

= +

sin sin sin

a b c

= =

a

b

c

/

0

1


15/42

Vektor satuan:Koordinat Kartesius

ekto satuan #ada aa" #ositi sumbux,ydanzdibei tanda , dani j k


16/42

ita da#at tulis ekto dan sebagai

beikut

a b

disebut kom#onen ekt x ya a i a j= +

x yb b i b j= +


17/42

erkalian ektor : Perkalian vektor dengan skalar :

ika ekto dikalikan dengan skala sakanmeng"asilkan ekto bau dengan besanilai absolute s dengan aa" 3ika s#ositi, dan belawanan aa" 3ika snegati.ekto dibagi dengan sbeati kita

mengkalikan dengan 1/s.

Perkalian vektor dengan vektor :6eng"asilkan skala 74ala Podu4t

*ikenal sebagai: 2ot product

a

aa

a


18/42

Pekalian titik dan #ekalian silanganta ekto satuan dalam koodinat

katesius i . i $ 3 . 3 $ k . k $ 1

i . 3 $ 3 . k $ 8 . k $ 0

i % i $ 3 % 3 $ k % k $ 0

i % 3 $ k 9 3 % i $ - k

i % k $ - 3 9 k % i $ 3

k % 3 $ - i 9 3 % k $ i


19/42

2ituliskan secara komponen bagiansebagai berikut :

. ( cos )( ) ( )( cos )a b a b a b = =

Scalar product berlaku hukum komutati3

4ika ditulis dalam ektor satuan, maka perkalian scalar :

2iperoleh hasil akhir sebagai berikut :. .a b b a=

. ( ).( )x y z x y z

a b a i a j a k b i b j b k

= + + + +

. x x y y z za b a b a b a b= + +


20/42

enghasilkan ektor :

Dengan besar cadalah :

sinc ab =

xa b c=

Besaran xa b ditulis x 0a b =

jika //a b

dan maksimum jika a b


21/42

Aa" dai ekto tegak luus bidang !angbeisi ekto

c

dana b

dikenal sebagai hukum tangan kanan.

x ( x )b a a b=


22/42

Penulisan dalam ekto satuan

x ( ) x ( )x y z x y za b a i a j a k b i b j b k = + + + +

x ( x ) 0x x x xa i b i a b i i= =

x ( x )x y x y x ya i b j a b i j a b k = =

Hasil akhir :

x ( ) ( ) ( )y z y z z x z x x y x ya b a b b a i a b b a j a b b a k = + +


23/42

aa muda" untuk #ekalian silangdengan mengunakan metode

deteminan

x y z

x y y

i j k

a x b = a a a

b b b


24/42

aa lain eduksi mati%

% 2%2


25/42

Vektor dalam ruang (R$!

Pen3umla"an ekto dengan kom#onen

ekto satuan


26/42

onto"

*iketa"ui u3ung ekto A teletak #ada titik (2,2,2),ekto ' #ada titik (1,2,) dan masing-masingbe#angkal di titik (0,0,0) #ada uang katesius dimensi di bawa" ini


27/42

awab ekto a dan b diuaikan #ada sumbu%, ! dan :


28/42


29/42

erkalian titik (dot product!


30/42

ika v$ (1, 2, 0) dan w$ (w1, w2, w0)adala" 2 ekto tak nol. *an ; adala" sudut

antaa vdan w, maka "ukum 4osinusmeng"asilkan


31/42


32/42


33/42


34/42

onto"

aila" u " v dengan u$ (1, 2, -2) dan v$

(, 0, 1)awab 1 2 -2

3 0 1

( )

2 -2 1 -2 1 2 x ! , ,

0 1 3 1 3 0

2, ", #

=

=


35/42


36/42


37/42

Vektor di ruang dimensi n (Rn!


38/42

onto" soal

1 *ua bua" ekto betitik tangka#sama saling menga#it dengan sudut . ikabesa ekto

dua kali ekto dan , "itung

vektor web

Documents