bab 6 gelombang.pptx

7/21/2019 bab 6 gelombang.pptx

http://slidepdf.com/reader/full/bab-6-gelombangpptx 1/82

Dosen Mata KuliahAndhy Setiawan, M.Si



Menu Utama

Pendahuluan

Persamaan Maxwell

Pandu Gelombang

Pemantulan dan Pembiasan GelombangElektromagnetik

Gelombang Elektromagnetik dalam Medium

Persamaan Gelombang ElektromagnetikTransversalitas Gelombang Elektromagnetik

Vektor Poynting dan Kekekalan Energi

Gelombang dalam Medium Konduktif

Elektron bebas dalam Konduktor dan Plasma

Hukum nelliusPersamaan !resnel

Pandu Gelombang dengan Penam"ang egi Em"at

Pandu Gelombang #alur Transmisi Koaksial



Energi dan Momentum gelombang elektromagnetik dibawaoleh medan listrik E dan medan magnet B yang menjalarmelalui vakum.

Sumber gelombangnya berupa muatan-muatan listrik yangberosilasi dalam atom, molekul, atau mungkin juga dalamsuatu antene pemancar radio.

Untuk medan listrik E dan medan magnet B yang berubahdengan waktu, keberadaan E selalu disertai B, dansebaliknya. eterkaitan antara E dan B dituangkan dalampersamaan Ma!well yang mendasari teori medan magnetik.

A. PENDAHULUAN



B. PERSAMAAN MAXWELL

"ersamaan Ma!well dirumuskan dalam besaran medan

listrik E dan medan magnet B. Seluruh persamaan

Ma!well terdiri dari # persamaan medan, yang masing-masing dapat dipandang sebagai hubungan antara medandan distribusi sumber, baik sumber muatan ataupunsumber arus.



t

D J xH b

∂∂+=∇

→

→

"ersamaan-persamaan Ma!well

0. =∇ B

0. =∇ E

t

B xE

∂∂

−=∇

t

E xB o ∂

∂=∇ 0ε µ

VakumMedium

b D ρ =∇ →

.

0. =∇ B

t

B xE

∂∂

−=∇

$%

&%

'%

(%

)li*k angka untuk mengetahui "enurunan rumus masing+masing

"ersamaan di atas



Persamaan Maxwell pertama merupakan ungkapan dari

hukum Gauss, yang menyatakan bahwa:

“ Jumlah garis gaya medan listrik yang menembus suatu

permukaan tertutup, sebanding dengan jumlah muatan yang

dilingkupi permukaan tersebut.”

Secara matematis Hukum Gauss dituliskan dengan:

∫ ∑=∧→

o

qdAn E ε

..

∫ ∫ =

∧→

dqdAn E

oε

1..

∫ ∫ =• ∧→

dV dAn E o

ρ ε

1.



( )∫ ∫ +=∧→

dV dAn E b f

o

ρ ρ ε

1..

( )∫ ∫ +•∇−=• ∧→ dV P dAn E b

o

ρ ε

1.

∫ ∫ =

•∇+

•∇

→→

dV dv P E bo ρ ε

D E P E o ==+ →→→ε ε

b D ρ =•∇ →

"ersamaan Ma!well $%& dalam Medium

( )∫ ∫ +•∇−=•∇ dV P dV E b

o ρ ε

1

'ari teorema divergensi ∫ ∫ •∇=• ∧→

dV E dAn E .



Untuk ruang vakum, karena tidak ada sumber maka0= ρ

sehingga(

0ε

ρ b E =•∇

0=•∇ →

E

"ersamaan Ma!well $%& untuk ruang vakum,

tanpa sumber muatan



Persamaan Maxwell kedua merupakan )ukum *aussmagnetik, yang menyatakan +luks medan magnetik yangmenembus suatu permukaan tertutup sama dengan nol,

tidak ada sumber medan berupa muatan magnetik. taudengan kata lain, garis gaya medan magnet selalutertutup, tidak ada muatan magnet monopole.

Melalui teorema *auss, persamaan Ma!well kedua dapat

dituliskan dalam bentuk integral(

∫ == ∧→

0. dAn B Bφ

'ari teorema divergensi dV BdAn B∫ ∫ →∧→

∇= .. maka

∫ =∇ →

0. BdV

0. =∇ →

B "ersamaan Ma!well $/& dalam medium dan vakum



Persamaan Maxwell ketiga merupakan ungkapan )ukum0araday-1en2, yang menyatakan bahwa +pengaruh medanmagnet yang berubah dengan waktu.

Secara matematis dituliskan(

t ∂∂

−= φ

ε

dAn Bt

dl E ∧→→

∫ ∫ ∂∂

−= ..

'ari teorema Stokes ∫ ∫

∧→→

∇= dAn E xdl E ..

∫ ∫ ∧→∧→

∂∂

−=∇ dAn Bt

dAn E x ..

t

B E x

∂

∂−=∇

→

→ "ersamaan Ma!well $3& dalam medium

'an vakum.

∫ ∧→

= dAn B .φ dengan

karena dl E .

∫

→

=ε maka



Persamaan Maxwell keem"at merupakan )ukum mpere(

∫ =→

I dl B µ .

∫ = I dl H .

dAn J J dl H f b ..∧

∫ ∫

+=

( ) dAnt

E J dAn xH b ..

∧

→→

∧

∫ ∫

∂∂

+=∇ ε

t

E J xH b

∂∂+=∇

→→

ε

t

D J xH b

∂

∂+=∇

→→

"ersamaan Ma!well $#& dalam medium

→→

= H B

µ dAn J I ∫

→∧

= .dengan

f b J J J →→→

+=

4

dan



I dl B 0. µ =∫ →

dAn B xl d B ∧→→ ∫ ∫ ∇= ..

dAn J dAn B x→→∧→

∫ ∫ =∇ .. 0 µ

→→

=∇ J B x 0 µ

t

E B x

∂∂

=∇→

→

00ε µ

Untuk persamaan Ma!well $#& dalam vakum, yaitu(

'ari teorema Stokes maka

"ersamaan Ma!well $#& dalam 5akum,6anpa sumber muatan



t

B E

∂∂

−=×∇

→→

×∇

∂

∂−=

×∇×∇ →→

B

t

E

→→→

∇−

∇∇=

×∇×∇ E E E 2.

B.1. PERSAMAAN GELOMBANG

ELEKTROMAGNETK

ME'7 18S698'ari persamaan Ma!well $3&(

9uas kanan dan ruas kiri dideerensialkan denganoperasi rotasi, maka(

'ari vektor identitas



02

2

00

2=

∂

∂−∇

→→

t

E E ε µ

2

2

00

2

t

E E

∂∂

=∇→→

ε µ

×∇

∂∂

−=∇−

∇∇

→→→

Bt

E E 2.

2

2

00

2

t

E E

∂∂

−=∇−→

→

ε µ

Maka(

'engan 0. =∇ →

E t

E B

∂∂

=×∇→→

00ε µ dan sehingga

dengan00

1

ε µ =c

0

12

2

2

2

=∂

∂

−∇

→

→

t

E

c E



0

12

2

22

2

2

2

2

2

=

∂∂

−∂∂

+∂∂

+∂∂ →

x E t c z y x

01

2

2

22

2

2

2

2

2

=

∂∂

−∂∂

+∂∂

+∂∂ →

y E t c z y x

01

2

2

22

2

2

2

2

2

=

∂∂

−∂∂

+∂∂

+∂∂ →

z E t c z y x

Sehingga persamaan gelombang medan listrikdalam bentuk dierensial(

Solusi paling sederhana(

( ) ( )t kz E t z E ω −= →→

cos, 0



ME'7 M*7E6

'ari persamaan Ma!well $#&(

t

E

xB o ∂∂

=∇ 0ε µ

→→→ ∇−

∇∇=

×∇×∇ B B B 2.

(

t

E B B

∂×∇∂

=∇−

∇∇

→→→ )

. 00

2 ε µ

0. =∇ →

Bt

B

E ∂

∂

−=×∇

→→

t

E

B ∂

×∇∂

=

×∇×∇

→→ )(

00ε µ

'engan operasi rotasi(

arena vektor identitas

'an persamaan Ma!well $/& serta $3&(

dan



01

2

2

2

2 =∂

∂−∇

→→

t

B

c B

2

2

2

2 1

t

B

c B

∂∂

=∇→→

2

2

00

2

t

B B

∂∂

=∇

→→

ε µ

Maka persamaan gelombang medan magnet dalambentuk dierensial(

sehingga

01

2

2

22

2

2

2

2

2

= ∂∂−∂∂+∂∂+∂∂ →

x Bt c z y x

01

2

2

22

2

2

2

2

2

=

∂∂

−∂∂

+∂∂

+∂∂ →

y Bt c z y x



01

2

2

22

2

2

2

2

2

=

∂∂

−∂∂

+∂∂

+∂∂ →

z Bt c z y x

Solusinya( ( ) ( )t kz Bt z B ω −= →→cos, 0

Solusi persamaan gelombang elektromagnet untukmedan 1istrik dan medan magnet merupakan contoh

eksplisit dari gelombang datar $"lan :ave&)( t kz f ω −

k v ω =

Bentuk umum(

ecepatan(

Bentuk muka gelombangnyategak lurus vektor satuan k,maka(

tan. kons z k =→∧



Siat-siat gelombang datar(%. Mempunyai arah jalar tertentu $dalam persamaan, arah 2&./. 6idak mempunyai komponen pada arah rambat.3. 6idak ada komponen E dan B yang bergantung pada koordinat transversal $pada contoh, koordinat transversalnya ! dan y&.

Sehingga solusi persamaan gelombangnya menjadi(

),(),( t z E jt z E i E y x

∧∧→

+=

),(),( t z B jt z Bi B y x

∧∧→ +=

),(),( t x E k t x E j E z y

∧∧→

+=

),(),( t x Bk t x B j B z y∧∧→ +=



B.!. TRANS"ERSALTAS GELOMBANG ELEKTROMAGNETK

t

E B

∂∂=×∇

→→

00ε µ

t

E

y

B

x

B z z y

∂

∂=

∂

∂−

∂

∂ →→→

00ε µ 0),(

=∂

∂ →

t

t z E z

ME'7 18S698Untuk membuktikan siat dari gelomabng datar yaitutransversalitas,dari persamaan Ma!well $%& dan $#&(

E2 tidak bergantung pada 2 $sisi spatial&

Sisi temporal

0. =∇ →

E

0),(),(),( =

∂∂+

∂∂+

∂∂

→→→

z

t z E

y

t z E

x

t z E z y x

0),(

=∂

∂ →

z

t z E z



;ang berarti E2 tidak bergantung pada t

<adi E2 $2,t& = konstan =>, yang berarti arah getardari gelombang medan listrik tegak lurus pada arah

rambatnya, karena medan listrik E hanya mempunyaikomponen-komponen pada arah yang tegak luruspada arah rambat.

0. =∇ →

B

0),(),(),( =∂∂+∂∂+∂∂

→→→

z t z B

yt z B

xt z B z y x

0),(

=∂

∂ →

z

t z B z

ME'7 M*7E6 'ari persamaan Ma!well $/&(

Sisi spatial, yang berarti B2 tidak bergantung

pada 2.



t

B E x

∂∂

−=∇→

→

t

t z B

y

E

x

E z x y

∂∂

=∂

∂−

∂∂ →→→

),(

0),(

=∂

∂ →

t

t z B z

'an dari persamaan Ma!well $3&(

Sisi temporal, yang berarti B2tidak bergantung pada t.

;ang berarti arah getar gelombang medan magnet tegaklurus terhadap arah rambatnya.

'engan demikian maka gelombangElektromagnetik merupakan gelombang transversal.



y x E j E i E ∧∧→

+=

)cos()cos( 00 t kz E jt kz E i E y x ω ω −+−=

∧∧→

y x B j Bi B∧∧→

+=

)cos()cos( 00 t kz B jt kz Bi B y x ω ω −+−= ∧∧→

t B E x∂

∂−=∇→

→

+−−=

−−

∧∧∧∧

yoxoxoy jB Bit kz jE E it kz k 0)sin()sin( ω ω ω

+−= − ∧∧∧∧

yoxoxoy jB Bi jE E ik 0ω

( ) →

−=×− B E k ω

Bk

E ω = cB E =

)ubungan E dan B, misal menjalar dalam arah 2(

B E ⊥



)ubungan vektor propogasi k, medan listrik E,dan medan magnet B ditunjukkan dengan gambar(



B.#. "EKTOR PO$NTNG DAN KEKEKA

ENERG

Energi medan elektromagnetik merupakan jumlah dariEnergi Medan listrik dan energi medan magnet.

E B uuu +=

2

0

2

0 2

1

2

1 E Bu ε

µ +=

t

E E t

B Bdt

du

∂∂

•+∂∂

•=

→→

→→

0

0

1

ε µ

t

B

E x ∂

∂

−=∇

→→

1aju perubahan rapat energi atau perubahan rapat energiterhadap waktu(

'ari persamaan Ma!well $3& dan $#&, maka(

dan t

E B

∂

∂

=×∇

→→

00

ε µ



×∇•+

×∇−•=

→→→→

B E E Bdt

du

00

11

µ µ

( ) ×∇•− ×∇•=×•∇ →→→→

B E E B B E

×∇•−

×∇•−=

→→→

B E E Bdt

du

0

1

µ

( ) B E dt

du ×•∇−=

0

1

µ 0=•∇+

→

S dt

du

Sehingga

'ari vektor identitas

maka

( ) B E S

×=→

0

1

µ dengan disebut vektor poynting

)ukum ekekalan Energi

mengungkapkan besarnya energi persatuan

waktu per satuan luas yang dibawa oleh

medan elektromagnetik



%. GELOMBANG ELEKTROMAGNETK DALAM MEDUM

t

D J H

t B E

B

D

b

b

∂∂

+=×∇

∂∂−=×∇

=∇=∇0.

. ρ

ersamaan!persamaan "a#well



%. 1 GEM DALAM MEDUM KONDUKT&

'alam medium kondukti yang bebas sumber, dan dari hubungan B = ? ) dan ' = @ E, persamaan

Ma!well # dapat ditulis(

,)(

),()(

2

2

t

E

t

J E

t

B E dengan

t

E J

t

B

t

t

E J B

t

D J H b

∂∂

+∂∂

=×∇×∇−∂

∂−=×∇

∂

∂+

∂

∂=×∇

∂

∂∂∂

+=×∇∂

∂+=×∇

µε µ

εµ µ

εµ µ



maka

0

0

)).((

2

2

2

2

22

2

22

=∂∂−∂∂−∇

∂∂

+∂∂

=∇+

∂∂

+∂∂

=∇−∇∇−

t E

t E E

t

E

t

E E

t

E

t

E

E E

µσ µε

µε µσ

µε µσ

'engan solusi ( E$2, t& = E> cos $κ 2 - At&

tau dalam bentuk kompleks (E$2, t& = E> e

-i $κ 2 - At &

E J dan E E E σ =∇−∇∇=×∇×∇ 2).()(



Sehingga (

E e E it

E

E ie E it

E

t z i

t z i

2)(

0

22

2

2

)(

0

ω ω

ω ω

ω κ

ω κ

−==∂

∂

==∂

∂

−−

−−

E$2, t& = E> e-i $κ 2 - At & 0

2

22 =

∂∂

−∂∂

−∇t

E

t

E E µσ µε

( ) E e E ie E z

E t z it z i 2)(

0

22)(

02

22 κ κ ω κ ω κ −==

∂∂

=∇ −−−−

-κ /E ?@A/E C ?DiAE = >

κ /E - ?@A/E ?DiAE = >

κ /

= ?@A/

C i?DA



Misal ( κ = a ib

κ / = $a ib&/ = a/ C b/ /abi

'ari pers κ /= ?@A/ C i?DA, maka (

a/ C b/ = ?@A/ dan /ab = - ?D $

222

222

)2(

)2

(

µεω

µσω

µεω µσω

=−

=−−

aa

aa a

b2

µσω −=

kalikan dengan #a/

#$a/&/ C #?@A/a/ C $?DA&/ = >



'engan menggunakan rumus akar kuadrat, diperoleh (

2222

2,1

22222

2,1

2222

2

2,1

22222

2,1

)(12

1)(

2

1)(

2

1)(

2

1)(

)()(2

1

2)(

8

))(4(4)4(4)(

εω

σ ε µω µεω

σ ω ε µω µεω

µσω µεω µεω

µσω µεω µεω

+±=

+±=

+±=

+−±=

a

a

a

a

#$a/&/ C #?@A/a/ C $?DA&/ = >



++=2

22 11)(2

1

εω

σ µεω a

arena a bilangan riil, maka a/ harus positisehingga dipilih(

2222

2,1 )(12

1)(

2

1)(

εω

σ ε µω µεω +±=a

+±=

2

22

2,1 11)(2

1

)( εω

σ

µεω a



++−=

++−=

−

++=

−

++=

222

2

22

2

22

2

2

22

112

12

1

2

1

1121

21

112

1

εω

σ µεω

εω

σ µεω

εω σ µεω

µεω εω

σ µεω

b

b

b

b

a/ C b/ = ?@A/

b/ = a/ - ?@A/

++=

2

22 11)(2

1

εω

σ µεω a



222

22222

222

2

)(1

)(11

2

1)(11

2

1

))((*

εω

σ µεω κ

εω

σ µεω

εω

σ µεω κ

κ κκ κ

+=

++−+

++=

+=

−+==

baibaiba

κ merupakan ungsi dari A. 'an karena k berkaitandengan cepat rambat, maka pada medium kondukti,cepat rambat gelombang bergantung pada rekuensi.Medium tersebut seperti medium dispersi.

Besarnya bilangan gelombang



Untuk medium yang berkonduktivitas tinggi, , --maka

2

2

1

12

1

112

1

22

2

22

222

µσω

εω

σ µεω

εω

σ

µεω

εω

σ µεω

=

=

+=

++=

a

a

a

a



Sehingga (

2

22

2

µσω

µσω

µσω

µσω

−=

−=

−=

b

b

ab

<ika maka µσω δ

2=

δ

1=−= ba

'engan besaran . disebut tebal kulit $skin depth&



<adi

δ κ

)1( iiba

−=+=

merupakan bilangan gelombang untuk mediumdengan konduktivitas tinggi, pada rekuensi rendahmaka solusinya (

[ ]

)(

0

)1(

0

)(

0

),(

),(

),(

t z

i z

t z i

i

t z ibai

ee E t z E

e E t z E

e E t z E

ω δ δ

ω δ

ω

−−−

−

−−

−+−

=

=

=



Untuk medium yang konduktivitasnya rendah$konduktor buruk&, jauh lebih kecil dari /0. MakaSkin depthnya (

++= 2

22 )(11

2 εω

σ µεω a

'iuraikan dengan deret Maclaurin

+−−+−++=+ !3)2)(1(!2)1(1)1(

32 x

nnn

x

nnx x

n



jika 2)(εω

σ = x maka (

..........)12

1(

2

1.

!2

1

2

11)1( 22

1

+−++=+ x x x

........)(

2

11)(1

......))(21(

41)(

211)(1

22

1

2

422

1

2

−+=

+

+−++=

+

εω

σ

εω

σ

εω σ

εω σ

εω σ

12



<adi,

ε

µ σ

ε

µσ

ε

µσ εω

σ µεω

εω

σ µεω

2

4

4

.......)(2

12

2

.......)(2

111

2

2

22

22

2

22

2

=

=

=

+

+=

+

++=

a

a

a

a

a

ε µ σ

2=−= ba dengan

µ ε

σ δ 2=

yang disebut skin depthδ

1=−= ba



'ari solusi persamaan gelombang pada mediumkondukti yaitu (

)(

0),(t

z i

z

ee E t z E ω

δ δ −−−

= yang dapat ditasirkan setelah menempuh jaraksebesar , maka amplitudo gelombang berkurang

menjadi dari amplitudo semula.e

1

<ika 2 1 maka

)1(0

)1(1

0

),(

),(

t i

t i

ee

E t z E

ee E t z E

ω

ω

−−

−−−

=

=

κ



EBωκ

=Medan Magnet :

<adi medan listrik $E& dan medan magnet $B&tidak lagi mempunyai ase yang sama

[ ]t z ibai

o e E

iba

t z B

ω

ω

−+−+

= )(

),(

θ ieiba −=+arena dengan

=+= −

a

bba 122 tandan, θ

maka[ ]θ ω

ω

+−+−+= t z ibai

o e E ba

t z B )(22

),(

[ ]t z ibaie E t z E ω −+−= )(

0),(



2

1

2

22

2

22

2

)(112

)(11

2

)(112

++=

++=

++=

εω

σ

εω

σ

εω

σ µεω

k a

k a

a

dengan kv = /, dan karena a F k , maka kecepatan asepada medium kondukti G v di udaraHnon kondukti

ecepatan ase(



Besarnya vektor poynting untuk mediumkondukti, yaitu (

)(1 B E S

×= µ dengan E Bω

κ =

= )(1

E E S

ω

κ

µ

21 E S κ

µω =

)(22

0)(1 t z ie E ibaS ω κ

µω −−+=



+−+−

+= 2)(2

2

0

22 θ ω

µω

t z ibai

e E ba

S

0aktor

merupakan aktor redaman dalam perambatan energi.

[ ]t z ibaie E iba

S ω

µω

−+−+= )(22

0

)(

Untuk medium kondukti

δ

1=−= ba

+−−−

+= 2

222

0

22 θ ω

δ δ

µω

t z

i z

ee E ba

S

maka

δ

z

e2−



%. ! ELEKTRON BEBAS D DALAMKONDUKTORDAN PLASMA

Elektron bebas di dalam konduktor tidak terikatpada atom dan molekul sehingga dapat digunakanpersamaan Ma!well 3, yaitu (

t

B E

∂

∂−=×∇

t

J

t

E E

∂∂

−∂∂

−=∇− 02

2

00

2 µ ε µ

-

002

2

00

2 =∂

∂−

∂

∂−∇

t

J

t

E E µ ε µ $%&

* k l kt



*erakan elektron :

E q

dt

dv! e= dengan v = kecepatan elektron

9uas kiri dan ruas kanan dikalikan dengan 7Ie

E q "

t

" vq! e

e 2)()(

=

∂

∂

)2........()( 2 E q " t

J ! e=∂

∂

Substitusi persamaan $/& ke persamaan $%&

0)(

2

02

2

00

2 =−∂

∂−∇ E

!

"q

t

E E e µ ε µ

dan < = vIe7, maka (



Sehingga (

0)(

2

02

2

00

2 =−∂∂

−∇ E !

q "

t

E E e µ ε µ

dan )(

0),( t kz ie E t z E

ω −−=

E k e E k i E t kz i 2)(

0

222 −==∇ −− ω

E ie E it

E t kz iω ω

ω ==

∂

∂ −− )(

0

E e E it

E t kzi 2)(

0

22

2

2

ω ω ω −==∂

∂ −−

maka,



0)(

)(2

0

2

00

2=−+− E

!

q " E E k e

µ ω ε µ

!

q " k e

2)(0

2

00

2 µ ω ε µ −=

2

0

2

2

00

2 )(1

ω ε ω ε µ !

q " k e−=

karena00

2 1ε µ =c dan

22

2

1v

k =ω

2

0

2

2

2

00

)(1

1

ω ε ω ε µ !

q " k e−= dengan 22)(

#e

!

q " ω

ε =

−=

2

2

2

2

1

ω

ω #

v

cmaka



Berdasarkan deinisi indeks bias (v

cn =

−=

2

2

2 1ω

ω #n

2

2

1ω

ω #n −= 8ndeks Bias "lasma



Bila ω<ωp maka nilai indeks bias n

berupa bilangan imajiner yang berarti

gelombang di dalam plasma tsb akanteredam.

Bila ω ≥ ωp, maka nilai indeks bias nberupa bilangan nyata (real) sehingga

gelombang akan diteruskan.

D. PEMANTULAN DAN PEMBASAN



D.1 HUKUMSNELLUS6injau untuk kasus 6ransverse Electric $6E&

D. PEMANTULAN DAN PEMBASANGELOMBANG ELEKTROMAGNETK

E1 k1

B1

E2

k2B2

E3

k3

B3

Med1

Med2μ2ε2

μ1ε11α 2α

3α

x

x

x



'ari gambar tersebut diperoleh persamaanuntuk gelombang medan magnet

)(

011011

1

)cos(),(

t k i

e Bt k Bt B

ω

ω

−•

=−•=)(

0220222)cos(),(

t k ie Bt k Bt B ω ω −•=−•=

)(

033033

3)cos(),( t k i

e Bt k Bt B ω ω −•=−•=

dengan

k% = k% J i sin $K%& C j cos $K%&L

k/ = k/ J i sin $K/& j cos $K/&Lk3 = k3 J i sin $K3& C j cos $K3&L

"ersamaan %

"ersamaan /

b k



])cos()sin([

011111),( t y xk ie Bt B ω α α −−

=

])cos()sin([

033333),( t y xk ie Bt B

ω α α −−=

])cos()sin([

022222),(

t y xk ie Bt B ω α α −+= "ersamaan 3

Syarat batas di y = > 4 maka

B%! C B/! = B3!

B% cos K% C B/ cos K/ = B3 cos K3

'an persamaan 3 menjadi (

)sin(

303

)sin(

202

)sin(

101332211 .cos.cos.cos

α α α α α α xk i xk i xk ie Be Be B =−

Substitusi persamaan % ke persamaan /(

"ersamaan



"ersamaan

dapat dipandang sebagai ea! Beb! = ec!

dengan menggunakan deret eksponensial(

++++

++++

+++ .....

!21.....

!21.....

!21

222222 xccx$

xbbx B

xaax A

dengan mengabaikan suku ke tiga, diperoleh (

B =

a! Bb! = c!

a! Bb! = $ B& c!

)sin(

303

)sin(

202

)sin(

101332211 .cos.cos.cos

α α α α α α xk i xk i xk ie Be Be B =−

'alam bentuk matriks (



[ ] [ ]

=

cx

cx B A

bx

ax B A

diperoleh a = b = c

maka k% sin K% = k/ sin K/

arena gelombang datang dan gelombang pantul

berada dalam medium yang sama yaitu medium %maka ( k% = k/

sehingga K% = K/

k% sin K% = k3 sin K3'ari a = c maka

'alam bentuk matriks (

ccω



n

cv

v

cn

vk =⇒=⇒=

ω

nk c

n

n

ck ≈⇒==

ω ω

maka k% dan k3 sebanding dengan n% dan n3

sehingga n% sin K% = n/ sin K3

Persamaan nellius

D ! PERSAMAAN



D.!. PERSAMAAN&RESNELLSetelah memahami tentang hukum Snellius, selanjutnya

akan ditunjukkan perbandingan mplitudo gelombangpantul dan gelombang bias terhadap amplitudo gelombangdatang yang disebut dengan persamaan 0resnell

asus 6ransverse Magnetik $6M&

B1 k1

E1 k2B2

B3*

k3

E3

1

2μ2ε2

μ1ε1

x

E/α α

θ

⋅•

•

'engan memasukkan batas di y = > $berdasarkan gambar&



'engan memasukkan batas di y = > $berdasarkan gambar&

Untuk medan listrik (

E 1x + E 2x = E 3x

( ) ( ) ( )θ α coscos 321 E E E =+

Untuk medan magnet (

B1 – B2 = B3

( ) 3

2

21

1

11 E

v E E

v=−

'engan B=EHc di 5akum atau B= EHv di medium

sehingga dan n=cHv maka %Hv N n

maka n% $E%-E/& = n/ E3

( )

2

2113

n

E E n E

−=

OOO %

OOO /.%

OOO /./

"ersamaan /./ disubstitusikan kedalam



m mpersamaan %,maka akan diperoleh (

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

−=

+

−=+

α θ θ α

θ α

coscoscoscos

coscos

2

11

2

12

21

2

121

n

n E

n

n E

E E n

n E E

Maka diperoleh koeisien releksi yaitu

perbandingan antara medan pantul terhadap medandatang $E/HE%&.

dikali n/

maka

( ) ( )

( ) ( )α θ

α θ

coscos

coscos

2

1

2

1

1

2

+

−==

n

n

n

n

E

E %&

( ) ( )

( ) ( )α θ

α θ

coscos

coscos

21

21

1

2

nn

nn

E

E %& +

−== OOO 3

'ari persamaan /.% kita peroleh persamaan$E E & E



n% $E%-E/& = n/ E3

1

32112

n

E n E n E

−= OO #

"ersamaan # disubstitusikan ke persamaan %, maka (

( ) ( )

( ) ( ) ( )θ α α

θ α

coscoscos2

coscos

33

1

21

3

1

32111

E E nn E

E n

E n E n E

=−

=

−+

dikali n%

maka ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )α θ α

θ α α

coscoscos2

coscoscos2

21311

313211

nn E E n

E n E n E n

+==−

'ari persamaan diatas dapat dicari koeisien transmisi,;aitu perbandingan antara E3HE%

( )

( ) ( )α θ

α

coscos

cos2

21

1

1

3

nn

n

E

E t %& +

==

asus 6ransver Elektrik $6E&



$ &

B1

k1

E1

k2

E2

B3k3

E3

1

2μ2ε2

μ1ε1

x

B/

α α

θ

⋅•

•

Berdasarkan gambar diatas apabila digunakan syarat

batas di y=> Maka akan diperoleh hubungan (Untuk meda magnet

B%!-B/! = B3!

( ) θ α coscos 321 B B B =− OOO %

Untuk medan listrik



E 1 + E 2 = E 3

'ari hubungan E B

ω

κ = B E

κ

ω =

κ

ω =v

v

cn =

maka

v1 (B1 + B2 ) = v2 B3 v N %Hn

....... /.%

( )21

1

2

3

B Bn

n B += ....... /./

( ) 3

2

21

1

11 B

n B B

n=+

%

% % %

E 1 + E 2 = E 3

"ersamaan /./ disubstitusikan ke pesamaan %



θ α

θ α

coscos

coscos

1

2

1

2

1

2

n

nn

n

B B %E

+

−

==θ α θ α

coscoscoscos

21

21

nnnn %E +−=

( ) ( )

α θ θ α

θ α

coscoscoscos

coscos

1

21

1

22

21

1

221

−

=

+−

+=−

n

n B

n

n B

B B

n

n B B

θ α

α θ

coscos

coscos

1

2

1

2

1

2

n

n

n

n

B

B '%E

+

−

=−=

p

Sehingga diperoleh (

maka

'ari persamaan /.% kita peroleh



p p

( ) 3

2

21

11 B

n B B

n=+

13

2

12 B B

n

n B −= ....... 3

"ersamaan 3 disubstitusi ke persamaan %

θ α α

θ α

coscoscos2

coscos

33

2

11

313

2

11

B B

n

n B

B B Bn

n B

=−

=

−−

( )θ α α coscoscoscos2 21312 nn B Bn +=

θ α

α

coscos

cos2

21

2

1

3

nn

n

B

Bt %E +

==

pabila sudut bias 090 maka,



pa a su ut as maka,

'ari hukum Snellius diperoleh hubungan

1

21

211

3211

sin

90sinsin

sinsin

n

n

nn

nn

o

=

=

=

α

α

α α

Sudut datang yang menghasilkan sudut bias 090

sudut kritis

Bila sudut datang lebih besar dari sudut kritis,maka terjadi pemantulan total.

maka n% F n/



pabila o

90=+θ α

dari hukum Snellius diperoleh hubungan(

( )1

2tannn=α

Sudut datang yang menghasilkano90=+θ α

Sudut Brewster

α α

α α

θ α

cossin

)90sin(sin

sinsin

1

2

21

21

n

n

nn

nn

o

=

−=

=

E. PANDU GELOMBANG



Selubung konduktor kosong yangujung-ujungnyadibatasi oleh permukaan disebut rongga $cavity&.

Sedangkan bila ujung-ujungnya tidak dibatasioleh permukaan disebut dengan pandu gelombang

'iasumsikan bahwa pandu gelombang benar-benarkonduktor sempurna Sehingga bahan material



konduktor sempurna, Sehingga bahan materialtersebut berlaku E = > 'an B = >

Misalkan gelombang elektromagnetik merambat denganBentuk ungsi sebagai berikut (

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )t kxi

o

t kxi

o

e z y Bt z y x B

e z y E t z y x E

ω

ω

−

−

=

=

,,,,

,,,,

"ersamaan ini disubstitusikan ke dalam persamaan Ma!well 3dan # ,Maka akan diperoleh (

x

y z Bi

z

E

z

E ω =

∂

∂−

∂

∂

y z x BiikE z

E ω =−

∂∂

z y x BiikE y

E ω −=−

∂

∂

x

y z E c

i

z

B

y

B2

ω −=

∂

∂−

∂∂

OOO %

OOO /./ OOO /.#

OOO /.3OOO /.%

x Ei

ikB B ω

−=−∂

/ P



y z E c

ikB z

2−=−

∂

z y

x E c

iikB

y

B

2

ω =−

∂

∂

'ari persamaan /.%, /./, /.3, /.#, /.P, /.Q, akan menghasilkanSolusi Untuk E y, E2, B y, dan B2 sebagai berikut

( )

∂

∂+∂

∂

−= z

B

y

E k

k c

i E x x y ω

ω 22/

( )

∂∂

−∂

∂−

= y

B

z

E k

k c

i E x x

z ω ω 22/

( )

∂∂−∂∂−=

z E

c y Bk

k ci B x x

y 222/ω

ω

( )

∂

∂+

∂∂

−=

y

E

c z

Bk

k c

i B x x

z 222/

ω

ω

OOO /.P

OOO /.Q

OOO 3.%

OOO 3./

OOO 3.3

OOO 3.#



'engan n̂ adalah vektor satuan normal pada



konduktor, maka akan kita peroleh

E x = 0 'i permukaan

0=∂∂n

B x 'i permukaan

Bila E! = >, disebut gelombang 6E $6ransverse elektrik

Bila B! = >, disebut gelombang6M $6ransverse Mgnetik&,'an E! = > dan B! = >, disebut gelombang 6EM $6ransverse

Electric Magnetik&"ada pandu gelombang yang terselubung, kasus 6EM tidak

pernah terjadi hal ini dapat ditunjukkan sebagai berikut (Bila E! = >, maka menurut hukum gauss haruslah berlaku hukum

0=

∂

∂+

∂

∂

z

E

y

E z y

OOO Q.%

OOO Q./

OOO R

'an bila B! = >, maka menurut hukum 0araday



yBerlaku hubungan

0=∂

∂−

∂

∂

z

E

y

E y x

arena E = > di permukaan logam, maka potensial listrik5 = konstan pada permukaan logam. Menurut hukum *ausstau persamaan 1aplace untuk 5, berlaku pula 5 = konstan

'idalam rongga. 8ni berarti E = > didalam rongga. 'ari"ersamaan

E t

B×∇=

∂∂

−

Berarti B tidak bergantung waktu, dengan demikian tidakada gelombang didalam rongga

OOO

E.1 PANDU GELOMBANG DENGAN



PENAMPANG SEG EMPAT

"ersamaan dierensial dari komponen longitudinal

02

2

2

2

2

2

=

−

+

∂∂

+∂∂

x Bk c z y

ω OOO %

'an syarat batas 0ˆ =⋅ Bn 0ˆ =× Bndan



Maka dengan pemisalan ( B! $y,2& = ; $y& T$2&

Substitusikan ke persamaan %, maka (

0)()(22

2

2

2

2

=

−

+

∂∂+

∂∂ z ( y) k

c z y

ω

02

2

2

2

2

2

=

−

+

∂∂

+∂∂

)( k c z

( )

y

) (

ω

011 2

2

2

2

2

2

=

−

∂∂

+∂∂

k k z

(

( y

)

)

ω

Sehingga 02

2

2

=−

+−− k c ( k ) k ω

dengan

z

y

k z

(

(

k y)

)

2

2

2

22

2

1

1

−=∂∂

−=∂∂

Solusi dari persamaan 3 (

( ) ( ) yk B yk A) y y cossin +=

dibagi ;T

OOO /

OOO3

OOO #

Syarat batas 0=dy

d) di y = > dan di y = a



dy

> = ky , maka = >( ) ( ) yk yBk yk Ak dy

d) y y y y sincos −=

( )ak Bk

y y sin0

= maka, π !ak y = dengan m = >, %, /,O.atau

a

!k y

π =

Untuk solusi z k z

(

(

2

2

21−=

∂∂

yaitu ( ) ( ) ( k B ( k A ( z z cossin +=

Syarat batas 0=dz d( di 2 = >, 2 = b

( ) ( ) ( k Bk ( k Ak dz

d( z z z z sincos −=maka untuk ( )

Ak

( k Ak dz

d(

z

z z

=

=

0

cos

( ) 0cos ≠ ( k z Untuk ( ) ( k Bk dz

d( z z sin= 0≠ Bk z dan k22 = >

Sin k22 = >

b

n

k

nbk

n z k

z

z

z

π

π

π

=

=

=maka dengan n = >, %, /, O.2=b

maka untuk( ) ( )+ (kB(kA( cossin



=

+=

+=

a

y! B

ya

! B

) k B) k A) y y

π

π

cos

cos0

cossin ( ) ( )

=

+=

+=

b

z n

B

b

z n B

( k B ( k A ( z z

π

π

cos

cos0

cossin

Sehingga ( )

⋅

=

b

z n B

a

y! B z y B x

π π coscos,

Untuk mendapat bilangan gelombang k, maka dari

persamaan yang sudah didapat0

2

2

2 =−

+−− k c

( k ) k ω dengan

a

!k y

π = b

nk z

π =dan

maka

222

2222

2

222

0

−

−

=

−

−

=

=−

+

−

−

b

n

a

!

ck

b

n

a

!

ck

k cb

n

a

!

π π ω

π π ω

ω π π

!!ck

221

ω ω −=

22

+

=

b

n

a

!c!! π ω

Untuk mengetahui kecepaatan grup maka dapatdiperoleh dari persamaan



diperoleh dari persamaan

dk

d v g

ω =

dk d v g

/

1

ω =

'ari persamaan ( !!

ck

221ω ω −=

( )

( )

( )

!!

!!

!!

!!

!!

cd

dk

cd

dk

cd

dk

d

d

cd

dk

cd

d

d

dk

22

2

122

2

122

2

122

22

22

11

1

1

ω ω

ω

ω

ω ω ω

ω

ω ω ω ω

ω ω ω ω

ω ω ω ω

−=

−=

⋅−=

−=

−=

−

−

2

2

2

2

2

22

1

−=

−=

−=

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω ω

!! g

!!

g

!!

g

v

v

cv

E.! PANDU GELOMBANG 'ALUR



TRANSMS KOAKSAL

'ari persamaan Ma!well 3 dan # diperoleh (

y z x E

c

iikB

z

B2

ω −=−

∂∂

*ambar diatas memperlihatkan pandu gelombang berupa jalur trandmisi koaksial $coa!ial& transmition line&,terdiri dari kawat panjang yang diselimuti konduktorsilinder. awat panjang itu terletak pada sumbu silinder

z y x E

c

iikB

y

B2

ω =−

∂∂

Untuk medan listrik ( Untuk medan magnet (



0=∂

∂+

∂

∂

z

B

y

B z y

0=∂

∂−∂

∂ z

B

y

B y x

Maka cB2 = E y dan cB y = -E2

0=∂

∂+

∂

∂

z

E

y

E z y

0=∂

∂−∂

∂ z

E

y

E y x

Solusi dengan menggunakan koordinat silinder

E E oo ˆ

1= dan Φ= ˆ1

c

E B oo

'iasumsikan dalam pandu gelombang benar-benar

konduktor sempurna, berlaku E = > dan B = >Sehingga ungsi gelombangnya

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )t kxi

o

t kxi

o

e z y Bt z y x B

e z y E t z y x E

ω

ω

−

−

=

=

,,,,

,,,,

Untuk persamaan (



( ) ( ) ( )t kxi

o e z y E t z y x E ω −= ,,,,

( ) ( )t kx E it kx E oo ω ω −+−= cosˆcos

Substitusikan

E E oo ˆ

1=

diperoleh ( ) t kx

E E o ˆcos ω −=

Untuk persamaan

( ) ( ) ( )t kxi

o e z y Bt z y x B ω −= ,,,,

( ) ( )t kx Bit kx B oo ω ω −+−= cosˆcos

yang diambil bagian realnya maka,dengan mensubstitusi

Φ= ˆ1

c

E B oo maka ( )

Φ−

= ˆcos

t kx

c

E B o ω

bab 6 gelombang.pptx

Documents