makalah probabilistik

7/21/2019 Makalah Probabilistik

1/13

1 | P R O B A B I L I S T I K

BAB I

PENDAHULUAN1.1.Latar Belakang Probabilitas

Dalam kehidupan sehari-hari kita sering dihadapkan dengan beberapa pilihan yang harus

kita tentukan memilih yang mana. Biasanya kita dihadapkan dengan kemungkinan-kemungkinan

suatu kejadian yang mungkin terjadi dan kita harus pintar-pintar mengambil sikap jikamenemukan keadaan seperti ini, misalkan saja pada saat kita ingin bepergian, kita melihat langitterlihat mendung. Dalam keadaaan ini kita dihadapkan antara 2 permasalahan, yaitu

kemungkinan terjadinya hujan serta kemungkinan langit hanya mendung saja dan tidak akan

turunnya hujan. Statistic yang membantu permasalahan dalam hal ini adalah probabilitas.Probabilitas didifinisikan sebagai peluang atau kemungkinan suatu kejadian, suatu ukuran

tentang kemungkinan atau derajat ketidakpastian suatu peristiwa (event) yang akan terjadi di

masa mendatang. Rentangan probabilitas antara 0 sampai dengan 1. Jika kita mengatakanprobabilitas sebuah peristiwa adalah 0, maka peristiwa tersebut tidak mungkin terjadi. Dan jika

kita mengatakan bahwa probabilitas sebuah peristiwa adalah 1 maka peristiwa tersebut pasti

terjadi. Serta jumlah antara peluang suatu kejadian yang mungkin terjadi dan peluang suatu

kejadian yang mungkin tidak terjadi adalah satu, jika kejadian tersebut hanya memiliki 2kemungkinan kejadian yang mungkin akan terjadi.

Probabilitas adalah kemungkinan yang dapat terjadi dalam suatu peristiwa. Dalam

kehidupan sehari-hari sulit untuk mengetahui dengan pasti apa yang akan terjadi pada waktu

yang akan datang, baik dalam jangka pendek maupun jangka panjang. Sebuah contoh sederhanaadalah jika sebuah koin dilempar, maka akan sulit untuk memastikan bahwa muka gambar atau

muka angka yang berada di atas. Jika terkait dengan suatu perusahaan, maka akan sulit untuk

memprediksikan apakah tahun depan akan mengalami keuntungan atau kerugian. Jika terkaitdengan suatu ujian, juga akan sulit untuk memastikan apakah lulus atau gagal dan lain

sebagainya. Semua peristiwa tersebut berada dalam ketidakpastian atau Uncertainty. Dengan

demikian, probabilitas atau peluang merupakan derajat kepastian untuk terjadinya suatuperistiwa yang diukur dengan angka pecahan antara nol sampai dengan satu, dimana peristiwa

tersebut terjadi secara acak atau random.


2/13


BAB II

PEMBAHASAN

2.1.Pengertian ProbabilitasSecara umum probabilitas merupakan peluang bahwa sesuatu akan terjadi. Secara

lengkap probabilitas didefinisikan sebagai berikut :

Probabilitas ialah suatu nilai yang digunakan untuk mengukur tingkat terjadinya suatu kejadianacak.Dalam mempelajari probabilitas, ada tiga kata kunci yang harus diketahui:

1. Eksperimen,

2. Hasil (outcome)3. Kejadian atau peristiwa (event)

Contoh :

Dari eksperimenpelemparan sebuah koin.Hasil (outcome)dari pelemparan sebuah kointersebut adalah MUKA atau BELAKANG. Kumpulan dari beberapa hasil tersebut

dikenal sebagai kejadian (event). Probabilitas biasanya dinyatakan dengan bilangan desimal

(seperti 0,50 ; 0,25 atau 0,70) atau bilangan pecahan(seperti 10070,10025,105 atau ).

Nilai dari probabilitas berkisar antara 0 dan 1. Semakin dekat nilai probabilitas ke nilai 0,semakin kecil kemungkinan suatu kejadian akan terjadi. Sebaliknya semakin dekat nilai

probabilitas ke nilai 1 semakin besar peluang suatu kejadian akan terjadi.

2.2.Macam-macam Probabilitas

Probabilitas ada dua macam, yaitu:a. Probabilitas a priori, yaitu probabilitas yang disusun berdasarkanakal, bukan atas

pengalaman. Seperti untuk mengetahui peluang keluarnya mata dadu maka berpeluang 1/6,

karena jumlah mata dadau ada 6.b. Probabilitas relative frekuensi, yaitu probabilitas yang disusun berdasarkan statistic atau

fakta empiris. Disini didasarkan oleh fakta-fakta yang sering terjadi. Seperti setiap wanita

berusia 26 tahun memiliki probabilitas 971 yangdapat mencapai umur 27 tahun, artinya dari1000 wanita umur 26 tahun akan meninggal sebanyak 29 orang.

2.3.Pendekatan Perhitungan ProbabilitasAda dua pendekatan dalam menghitung probabilitas yaitu pendekatan yang

bersifatobjektif dan subjektif. Probabilitas objektif dibagi menjadi dua, yaitu :

1. Pendekatan KlasikProbabilitas diartikan sebagai hasil bagi dari banyaknya peristiwa yang dimaksud dengan

seluruh peristiwa yang mungkin menurut pendekatan klasik, probabilitas dirumuskan :

nxAP

Keterangan : P(A) = probabilitas terjadinya kejadian A.

x = peristiwa yang dimaksud.

n = banyaknya peristiwa.

Contoh :

Dua buah dadu dilempar ke atas secara bersamaan. Tentukan probabilitas munculnyaangka berjumlah 5.

Penyelesaian :Hasil yang dimaksud (x) = 4, yaitu (1,4), (4,1), (2,3). (3,2)Hasil yang mungkin (n) = 36, yaitu (1,1), (1,2), (1,3). .., (6,5), (6,6).

36

4P(A) = 0,11

2. Konsep Frekuensi RelatifMenurut pendekatan frekuensi relatif, probabilitas diartikan sebagai proporsi waktu

terjadinya suatu peristiwa dalam jangka panjang, jika kondisi stabil atau frekuensi relatif dari

suatu peristiwa dalam sejumlah besar percobaan.


3/13


Nilai probabilitas ditentukan melalui percobaan, sehingga nilai probabilitas itu

merupakan limit dari frekuensi relatif peristiwa tersebut. Menurut pendekatan frekuensi relatif,

probabilitas dirumuskan :

n

fimitl)P(x i

n

i

Keterangan : P(Xi) = probabilitas peristiwa i.

fi = frekuensi peristiwa i.n = banyaknya peristiwa yang bersangkutan.

Contoh :

Dari hasil ujian statistik, 65 mahasiswa STMIK MDP, didapat nilai-nilai sebagai berikut.

x 5,0 6,5 7,4 8,3 8,8 9,5

f 11 14 13 15 7 5

x = nilai statistik.

Tentukan probabilitas salah seorang mahasiswa yang nilai statistiknya 8,3 !

Penyelesaian :Frekuensi mahasiswa dengan nilai 8,3 (f) = 15

Jumlah mahasiswa (n) = 65.

65

158,3)P(x = 0,23

3. Probabilitas SubjektifMenurut pendekatan subjektif, probabilitas diartikan sebagai tingkat kepercayaan

individu yang didasarkan pada peristiwa masa lalu yang berupa terkaan saja.

Contoh :

Seorang direktur akan memilih seorang supervisor dari empat orang calon yang telah

lulus ujian saringan. Keempat calon tersebut sama pintar, sama lincah, dan semuanya dapatdipercaya. Probabilitas tertinggi(kemungkinan diterima) menjadi supervisor ditentukan secara

subjektif oleh sang direktur.Dari pengertian-pengertian tersebut, dapat disusun suatu pengertian umum mengenai

probabilitas, yaitu sebagai berikut Probabilitas adalah suatu indeks atau nilai yang digunakan

untuk menentukan tingkat terjadinya suatu kejadian yang bersifat random (acak).

Oleh karena probabilitas merupakan suatu indeks atau nilai maka probabilitas memiliki

batas-batas yaitu mulai dari 0 sampai dengan 1 ( 0 P 1).

Jika P = 0, disebut probabilitas kemustahilan, artinya kejadian atau peristiwa tersebut tidakakan terjadi.

Jika P = 1, disebut probabilitas kepastian, artinya kejadian atau peristiwa tersebut pastiterjadi.

Jika 0 < P < 1, disebut probabilitas kemungkinan, artinya kejadian atau peristiwa tersebutdapat atau tidak dapat terjadi.

2.4.Beberapa Aturan Dasar Probabilitas Aturan Penjumlahan :

Untuk menerapkan aturan penjumlahan ini, harus dilihat jenis kejadiannya apakah

bersifat saling meniadakan atau tidak saling meniadakan.

1. Kejadian Saling MeniadakanDua peristiwa atau lebih disebut saling meniadakan jika kedua atau lebih peristiwa itu

tidak dapat terjadi pada saat yang bersamaan. Jika peristiwa A dan B saling meniadakan,

probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah

P(A atau B) = P(A) + P(B) atau P(A B) = P(A) + P(B)


4/13


Contoh :

Sebuah dadu dilemparkan ke atas, peritiwanya adalahA = peristiwa mata dadu 4 muncul.

B = peristiwa mata dadu lebih kecil dari 3 muncul.

Tentukan probabilitas dari kejadian berikut !- Mata dadu 4 atau lebih kecil dari 3 muncul!

Penyelesaian :P(A) = 1/6P(B) = 2/6

P(A atau B) = P(A) + P(B)

= 1/6 + 2/6= 0,5

2. Kejadian Tidak Saling MeniadakanDua peristiwa atau lebih disebut peristiwa tidak saling meniadakan apabila kedua

peristiwa atau lebih tersebut dapat terjadi pada saat yang bersamaan. Jika dua peristiwa Adan B tidak saling meniadakan, probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah

P(A atau B) = P(A) + P(B)P(A dan B) -> P(A B) = P(A) + P(B)P(A B)

Jika 3 peristiwa A, B, dan C tidak saling meniadakan, probabilitas terjadinya peristiwa

tersebut adalah

P(ABC) = P(A) + P(B) + P(C)P(A B)P(AC)P(B C) + P(A BC)

Contoh :

Dua buah dadu dilemparkan bersamaan, apabila :A = peristiwa mata (4, 4) muncul.

B = peristiwa mata lebih kecil dari (3, 3) muncul.

Tentukan probabilitas P(A atau B) !

Penyelesaian :P(A) = 1/36

P(B) = 14/36P(A B) = 0

P(A atau B) = P(A) + P(B)P(A B)

= 1/36 + 14/360

= 0,42

Aturan PerkalianDalam konsep probabilitas, aturan perkalian diterapkan secara berbeda menurut jenis

kejadiannya. Ada dua jenis kejadian dalam hal ini, yaitu kejadian tak bebas dan kejadian bebas.

1. Kejadian Tak BebasDua peristiwa atau lebih disebut kejadian tidak bebas apabila peristiwa yang satu

dipengaruhi atau tergantung pada peritiwa lainnya. Probabilitas peristiwa tidak saling bebas

dapat pula dibedakan atas tiga macam, yaitu yaitu probabilitas bersyarat, gabungan, dan marjinal.

a. Probabilitas BersyaratProbabilitas bersyarat peristiwa tidak saling bebas adalah probabilitas terjadinya suatu

peristiwa dengan syarat peristiwa lain harus terjadi dan peristiwa-peristiwa tersebut salingmempengaruhi. Jika peristiwa B bersyarat terhadap A, probabilitas terjadinya periwtiwa

tersebut adalah

APABP

B/AP

P(B/A) dibaca probabilitas terjadinya B dengan syarat peristiwa A terjadi.

Contoh Soal :

Sebuah kotak berisikan 11 bola dengan rincian :5 buah bola putih bertanda +, 1 buah bolaputih bertanda , 3 buah bola kuning bertanda + , 2 buah bola kuning bertanda , Seseorang

mengambil sebuah bola kuning dari kotak. Berapa probabilitas bola itu bertanda +?


5/13


Penyelesaian :Misalkan : A = bola kuning

B+ = bola bertanda positif

B- = bola bertanda negatif.

P(A) = 5/11

P(B

+

A) = 3/11

APABP

/A)P(B

5

3

11

511

3

/ ABP

b. Probabilitas GabunganProbabilitas gabungan peritiwa tidak saling bebas adalah probabilitas terjadinya dua

atau lebih peristiwa secara berurutan (bersamaan) dan peristiwa-peristiwa itu salingmempengaruhi.Jika dua peristiwa A dan B gubungan, probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah

P(A dan B) = P(A B) = P(A) x P(B/A)

Jika tiga buah peristiwa A, B, dan C gabungan, probabilitas terjadinya peristiwa tersebut

adalah

P(ABC) = P(A) x P(B/A) x P(C/A B)

Contoh Soal:

Dari satu set kartu bridge berturut-turut diambil kartu itu sebanyak 2 kali secara acak.

Hitunglah probabilitasnya kartu king (A) pada pengambilan pertama dan as(B) padapengambilan kedua, jika kartu pada pengambilan pertama tidak dikembalikan !

Penyelesaian :(A)= pengambilan pertama keluar kartu king.P(A) = 4/52

(B/A) = pengambilan kedua keluar kartu as

P(B/A) = 4/51P(A B) = P(A) x P(B/A)

= 4/52 x 4/51

= 0,006

c. Probabilitas Marjinal :Probabilitas marjinal peristiwa tidak saling bebas adalah probabilitas terjadinya suatu

peristiwa yang tidak memiliki hubungan dengan terjadinya peristiwa lain dan peristiwatersebut saling mempengaruhi. Jika dua peristiwa A adalah marjinal, probabilitas terjadinya

peristiwa A tersebut adalah

P(A) = P(B A)

= P(Ai) x P(B/Ai), i = 1, 2, 3, ..

Contoh Soal:

Sebuah kotak berisikan 11 bola dengan rincian :5 buah bola putih bertanda +, 1 buah bola

putih bertanda ,3 buah bola kuning bertanda +, 2 buah bola kuning bertanda , Tentukanprobabilitas memperoleh sebuah bola putih !

Penyelesaian :Misalkan : A = bola putih

B+= bola bertanda positif

B-= bola bertanda negatif

P(B+A) = 5/11

P(B-A) = 1/11

P(A) = P(B+A) + P(B

-A)

= 5/11 + 1/11

= 6/11


6/13


2. Kejadian Bebas :Dua kejadian atau lebih dikatakan merupakan kejadian bebas apabila terjadinya kejadian tersebut

tidak saling mempengaruhi. Dua kejadian A dan B dikatakan bebas, kalau kejadian A tidakmempengaruhi B atau sebaliknya. Jika A dan B merupakan kejadian bebas, maka

P(A/B) = P(A) dan P(B/A) = P(B)P(AB) = P(A) P(B) = P(B) P(A)

Contoh Soal :

Satu mata uang logam Rp. 50 dilemparkan ke atas sebanyak dua kali. Jika A1adalahlemparan pertama yang mendapat gambar burung(B), dan A2adalah lemparan kedua yang

mendapatkan gambar burung(B), berapakah P(A1 A2)!

Penyelesaian :Karena pada pelemparan pertama hasilnya tidak mempengaruhi pelemparan kedua dan

P(A1) = P(B) = 0,5 dan P(A2) = P(B) = 0,5, maka P(A1 A2) = P(A1) P(A2) = P(B) P(B) =

0,5 x 0,5 = 0,25.

Rumus Bayes :

Jika dalam suatu ruang sampel (S) terdapat beberapa peristiwa saling lepas, yaitu A 1, A2,A3, ., Anyang memiliki probabilitas tidak sama dengan nol dan bila ada peritiwa lain(misalkan X) yang mungkin dapat terjadi pada peristiwa-peristiwa A1, A2, A3, .,

An maka probabilitas terjadinya peristiwa-peristiwa A1, A2, A3, ., An dengan diketahui

peristiwa X tersebut adalah

,...4,3,2,1

)/(......//

)/(/

2211

iAXPAPAXAPAXPAP

AXPAPXAP

nn

iii

Contoh Soal:

Tiga kotak masing-masing memiliki dua laci. Didalam laci-laci tersebut terdapat sebuahbola. Didalam kotak I terdapat bola emas, dalam kotak II terdapat bola perak, dan dalam kotak

III terdapat bola emas dan perak. Jika diambil sebuah kotak dan isinya bola emas, berapa

probabilitas bahwa laci lain berisi bola perak?

Penyelesaian :Misalkan : A1peristiwa terambil kotak I

A2peristiwa terambil kotak IIA3peristiwa terambil kotak III

X peristiwa laci yang dibuka berisi bola emas

Kotak yang memenuhi pertanyaan adalah kotak III (P(A3/X)).P(A1) = 1/3 P(X/A1) = 1

P(A2) = 1/3 P(X/A2) = 0

P(A3) = 1/3 P(X/A3) =

33221133

3/././.

/./

AXPAPAXPAPAXPAP

AXPAPXAP

=

31

2

1

3

10

3

11

3

1

2

1

3

1


7/13


2.5.Permutasi Dan KombinasiPembicaraan mengenai permutasi dan kombinasi selalu berkaitan dengan prinsip dasar

membilang dan faktorial.1. Prinsip Dasar Membilang

Jika kejadian pertama dapat terjadi dalam n1cara, kejadian kedua dalam n2cara,

demikian seterusnnya, sampai kejadian k dalam nk cara, maka keseluruhan kejadian dapatterjadi dalam :n1x n2x x nkcara

Contoh Soal :Seorang pengusaha ingin bepergian dari Jakarta ke Ujungpandang melalui Surabaya. Jika

Jakarta Surabaya dapat dilalui dengan tiga cara dan Surabaya Ujungpandang dapat dilalui

dengan dua cara, ada berapa cara pengusaha tersebut dapat tiba di Ujungpandang melaluiSurabaya?

Penyelesaian :Misalkan : dari Jakarta ke Surabaya (n1) = 3 cara.Dari Surabaya ke Ujungpandang (n2) = 2 cara.

Cara pengusaha tersebut dapat tiba di Ujungpandang melalui Surabaya adalah :

n1x n2= 3 x 2 = 6 cara.

2. FaktorialFaktorial adalah perkalian semua bilangan bulat positif (bilangan asli) terurut mulai dari

bilangan 1 sampai dengan bilangan bersangkutan atau sebaliknya.

Faktorial dilambangkan: !.

Jika : n = 1,2, ., maka :

n! = n(n1)(n2) .x 2 x 1

= n(n1)!

Contoh Soal :

Tentukan nilai factorial dari bilangan berikut

a. 5!b. 3! X 2!c. 6!/4! Penyelesaian :

a. 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120b. 3! X 2! = 3 x 2 x 1 x 2 x 1 = 12c. 30

1234

123456

!4

!6

xxx

xxxxx

A. Permutasi Pengertian Permutasi

Permutasi adalah suatu penyusunan atau pengaturan beberapa objek ke dalam suatuurutan tertentu.

Contoh Soal :

Ada 3 objek, yaitu ABC. Pengaturan objek-objek tersebut ialah ABC, ACB, BCA, BAC,CAB, CBA yang disebut permutasi. Jadi, permutasi 3 objek menghasilkan enam pengaturan

dengan cara yang berbeda.

Rumus-rumus PermutasiPermutasi dari m objek seluruhnya tanpa pengembalian : mPm = m!

Contoh :

Pada suatu tempat terdapat 4 buku matematika yang berbeda. Buku itu akan disusun pada

sebuah rak buku. Berapa cara susunan yang mungkin dari buku-buku matematika dapatdisusun.

Penyelesaian :Buku-buku matematika dapat disusun dalam : 4P4 = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 cara.


8/13


a. Permutasi sebanyak x dari m objek tanpa pengembalian :

xm

xm

mmPx

!

!

Contoh Soal:

Dari empat calon pimpinan sebuah perusahaan, misalkan A, B, C, D hendak dipilih seorangketua, seorang sekretaris, dan seorang bendahara. Berapa cara keempat calon tersebut

dipilih?

Penyelesaian:m = 4 dan x = 3

4P3 =

241

1234

!34

!4

xxx

b. Permutasi dari m objek dengan pengembalian :mPx = m

x

x m danbilangan bulat positif

Contoh Soal:

Tentukan permutasi dari ABC sebanyak 2 unsur dengan pengembalian unsure yang

terpilih!

Penyelesaian :M = 3 dan x = 23P2 = 32= 9

yaitu : AA, AB, AC, BB, BA, BC, CC, CA, CB

c. Permutasi dari m objek yang sama :m!

mPm1, m2, m3, = -----------------------m1! . m2! . m3! .

Dengan m1+ m2+ m3+ .= m

Contoh Soal :

Tentukan permutasi dari kata TAMAT

Penyelesaian :M = 5, m1= 2, m2= 2, m3= 1

5! 5 x 4 x 3 x 2 x 15P2, 2, 1 = --------------- = -------------------- = 30

2! . 2! . 1! 2 x 1 x 2 x 1 x 1

B. Kombinasi Pengertian Kombinasi :

Kombinasi adalah suatu penyusunan beberapa objek tanpa memperhatikan urutan objek

tersebut.

Contoh Soal:

Ada 4 objek, yaitu : A, B, C, D. Kombinasi 3 dari objek itu adalah ABC, ABD, ACD, BCD.

Setiap kelompok hanya dibedakan berdasarkan objek yang diikutsertakan, bukan urutannya.Oleh karena itu :

ABC = ACB = BAC = BCA = CAB = CBA

ABD = ADB = BAD = BDA = DAB = DBA

ACD = CAD = ADC = CDA = DAC = DCABCD = BDC = CBD = CDB = DBC = DCB


9/13


Rumus-rumus Kombinasi :Kombinasi x dari m objek yang berbeda :

Bila kita telaah, persamaan kombinasi dapat dinyatakan dalam permutasi sebagai

berikut:

Contoh Soal :

1. Dari 5 pemain bulu tangkis, yaitu A, B, C, D, dan E hendak dipilih dua orang untuk pemainganda. Berapa banyak pemain ganda yang mungkin terbentuk?

Penyelesaian :M = 5 dan x = 2

5!

5C2 = ---------------- = 10

(52)! . 2!

2. Ada 4 pasang suami istri, maka berapa carakah yang dapat dilakukan agar dapat dibentukkelompok yang terdiri atas 3 orang?, lalu berapa cara yang dapat dilakukan agar dapatdibentuk kelompok yang terdiri atas 3 orang (2 orang laki- laki dan 1 orang wanita)?

Penyelesaian :Kelompok yang terdiri atas 3 orang (tanpa jenis kelamin yang khusus), maka

kemungkinannya:

kelompok yang terdiri atas 3 orang (2 orang laki-laki dan 1 orang wanita), maka

kemungkinannya:

2.6 Fungsi Ditribusi

Distribusi BinomialFungsi distribusi adalah fungsi yang menggambarkan kumpulan dari beberapa peluang,

adapun binomial mengandung arti dua, sedangkan distribusi binomial yang dimaksud adalah

keadaan untuk menggambarkan peluang yang akan muncul dari suatu peristiwa yang diulang n

kali percobaan dimana peristiwa tersebut memiliki dua kemungkinan kejadian. Sebagai contohperistiwa binomial adalah:

1.2. lemparan sebuah mata uang dapat berupa gambar atau angka,3. keadaan spin partikel dapat up atau down.

Pada peristiwa yang menggunakan distribusi binomial akan memiliki dua keadaan(katakanlah A dan A). Untuk satu kali peristiwa itu terjadi, peluang kejadian A dinyatakan

dengan P(A) = p dan peluang kejadian bukan A (kejadian A) dinyatakan dengan P(A) = q,dalam hal ini hubungan antara p dan q dapat dinyatakan dengan :


10/13


Bagaimanakah kita dapat menentukan peluang yang akan muncul untuk keadaan tertentu

jika peristiwanya kita ulang beberapa kali.

Sebagai contoh:1. lemparan sebuah

mata uang.

2. Tentukan peluang untuk mendapatkan 2 muka gambar dalam tiga kali lemparan sebuah matauang.

3. Tentukan peluang untuk mendapatkan 1 muka gambar dalam tiga kali lemparan sebuah matauang.

Pola lemparan yang akan terjadi ditunjukkan pada tabel 3.1.

Tabel 3.1

Pola kombinasi tiga kali lemparan sebuah mata uang

Jika kita melihat hal ini maka untuk menjawab pertanyaan di atas dapat dilakukan denganmudah:

P(3G) = 1/8. P(2G) = 3/8. P(1G) = 3/8.

Namun untuk lemparan yang cukup banyak, misalnya empat lemparan, maka pola yangterbentuk menjadi seperti pada tabel 3.2. Pola ini akan semakin berkembang jika jumlah

lemparan diperbanyak. Perhatikan peluang untuk mendapatkan dua muka gambar dalam empat

kali lemparan mata uang dapat diperlihatkan oleh tabel 3.2, P(2G) = 6/16. Harga peluang ini adakaitannya dengan harga kombinasi yang harus dilakukan untuk menempatkan pola yang dapat

terjadi. Untuk jumlah lemparan yang cukup banyak akan sangat kerepotan kita dalam

menentukan pola kombinasi yang akan terjadi. Oleh karena itu kita perlu model matematis untukmenentukan harga probabilitas dalam distribusi binomial.

Tabel 3.2Pola kombinasi empat kali lemparan sebuah mata uang


11/13


Model ini dapat kita asumsikan sebagai berikut, misal hasil sebuah eksperimen yang telah

dilakukan memiliki dua kemungkinan yakni berhasil (h) dan gagal (g), bagaimanakah peluang

utuk menentukan dua eksperimen yang berhasil dari semua eksperimen yang pernah dilakukan.

Berdasarkan hasil uji coba maka diperoleh model matematis untuk distribusibinomial, yang dinyatakan dengan:

Contoh penggunaannya adalah sebagai berikut:

Distribusi MultivariatDistribusi Bivariat dan Trivariat, Jika X1 dan X2 variabel-variabel random diskrit,

maka fungsi f(x1, x2) = P(X1 = x1, X2 = x2) untuk setiap (x1, x2) dalam X1 dan X2, disebut

fungsi probabilitas bersama atau distribusi probabilitas bersama (joint distribution) dari X1 dan

X2.

Suatu fungsi bivariat dapat merupakan distribusi probabilitas bersama dari sepasang

variabel random diskrit X1 dan X2 jika dan hanya jika f(x1, x2) memenuhi syarat berikut: f(x1,

x2) 0 untuk setiap (x1,x2) dalam domainnya;

di mana ;jumlah dobel berlaku untuk semua pasangan (x1,x2) yang mungkin dalam doimainnya.


12/13


2.6.Manfaat Probabilitas Dalam PenelitianManfaat probabilitas dalam kehidupan sehari-hari adalah membantu kita dalam

mengambil suatu keputusan, serta meramalkan kejadian yang mungkin terjadi. Jika kita tinjaupada saat kita melakukan penelitian, probabilitas memiliki beberapa fungsi antara lain;4. Membantu peneliti dalam pengambilan keputusan yang lebih tepat. Pengambilan keputusan

yang lebih tepat dimagsudkan tidak ada keputusan yang sudah pasti karenakehidupan mendatang tidak ada yang pasti kita ketahui dari sekarang, karena informasiyang didapat tidaklah sempurna.

5. Dengan teori probabilitas kita dapat menarik kesimpulan secara tepat atas hipotesis yangterkait tentang karakteristik populasi. Menarik kesimpulan secara tepat atas hipotesis(perkiraan sementara yang belum teruji kebenarannya) yang terkait tentang karakteristik

populasi pada situssi ini kita hanya mengambil atau menarik kesimpulan dari hipotesis bukan

berarti kejadian yang akan dating kita sudah ketehaui apa yang akan tertjadi.6. Mengukur derajat ketidakpastian dari analisis sampel hasil penelitian dari suatu populasi.Contoh Soal :

Ketika diadakannya sensus penduduk 2000, pemerintah mendapatkan data perbandinganantara jumlah penduduk berjenis kelamin laki-laki berbanding jumlah penduduk berjenis kelamin

perempuan adalah memiliki perbandingan 5:6, sedangkan hasil sensus pada tahun 2010

menunjukan hasil perbandingan jumlah penduduk berjenis kelamin pria berbanding jumlah

penduduk berjenis kelamin wanita adalah 5:7. Maka pemerintah dapat mengambil keputusanbahwa setiap tahunnya dari tahun 2000 hingga 2010 jumlah wanita berkembang lebih pesat

daripada jumlah penduduk pria.

2.7.Menghitung Probabilitas atau Peluang Suatu Kejadian

Jika tadi kita hanya memperhatikan peluang suatu kejadian secara kualitatip, hanya

memperhatikan apakkah kejadian tersebut memiliki peluang besar akan terjadi atau tidak. Disinikita akan membahas nilai dari probabilitas suatu kejadian secara kuantitatip. Kita bias melihat

apakah suatu kejadian berpotensi terjadi ataukah tidak.

Misalkan kita memiliki sebuah dadu yang memiliki muka gambar dan angka,jika kointersebut kita lemparkan keatas secara sembarang, maka kita memiliki 2 pilihan yang sama besar

dan kuat yaitu peluang munculnya angka dan peluang munculnya gambar. Jika kita perhatikan

secara seksaama, pada satu koin hanya terddiri dari satu muka gambar dan satu muka angka,

maka peluang munculnya angka dan gambar adalah sama kuat yaitu . 1 menyatakan hanya satudari muka pada koin yang mungkin muncul, entah itu gambar maupun angka sedangkan 2

menyatakan banyaknya kejadian yang mungkin terjadi pada pelemparan koin, yaitu munculnya

gambar + munculnya angka.

Jika kita berbicara tidak lagi 2 kejadian yaitu menyangkut banyak kejadian yang mungkinterjadi, mengingat dan dari hasil pengumpulan dan penelitian data diperoleh suatu rumus sebagai

berikut. Jika terdapat N peristiwa, dan nA dari N peristiwa tersebut membentuk kejadian

A, maka probabilitas A adalah :

P(A) = nA/N

Dimana : nA= banyaknya kejadian

N= kejadian seluruhnya/peristiwa yang mungkin terjadi

Contoh Soal :

1. Suatu mata uang logam yang masing-masing sisinya berisi gambar danangka dilemparkansecara bebas sebanyak 1 kali. Berapakah probabilitas munculnya gambar

atau angka?

Penyelesaian :n=1, N=2

P (gambar atau angka)=1/2 atau 50%Dapat disimpulkan peluang munculnya gambar atau angka adalah sama besar.


13/13


makalah probabilistik

Documents