modul integral new

7/23/2019 Modul Integral New

http://slidepdf.com/reader/full/modul-integral-new 1/29

Wardaya College

2014 Departemen Matematika Kelas XII Semester I

INTE!"#

Wardaya CollegeDepartemen Matematika 2014

"$ Integral Tent%1$ &engertian Integral

Defnisi :

Integral merupakan antiturunan, sehingga jika terdapat ungsi F(x)

yang kontinu pada interval [a, b diperolehdx

x F d ))((

! F"( x ) ! f ( x )#$ntiturunan dari f ( x ) adalah men%ari ungsi yang turunannya adalah f

( x ), ditulis ∫ f ( x ) d x

&e%ara umum dituliskan :

' f ( x ) dx ! 'F"( x ) dx ! F( x ) atatan:

∫ f ( x ) d x : dise*ut unsur integrasi, di*a%a + integral f ( x ) terhadap x +

f ( x ) : dise*ut integran (yang diitegralkan)

F( x ) : dise*ut ungsi asal (ungsi primitive, ungsi pokok)

: konstanta

2$ Integral "l'a(ar

∫ k

d x ! k x

,1

1

C n

xdx x

nn +

+=

+

∫ *ila n -.

,1̀

`1 c xn

adxax nn +

+= +

∫ dengan n

1−≠

∫ (ax+b )n= 1

a(n+1)(ax+b )n+1+C

)$ Integral *%ngsi Trigonometri

/0.123atematika 4elas 5II &emester I

T%'%an pem(ela'aran+

&etelah mempelajari *a* ini, sis6a diharapkan mampu:

• 3emahami konsep dasar tentang Integral

• 3ampu menggunakan rumus dalam peme%ahan masalah Integral

• 3ampu menggunakan konsep integral dalam menentukan luas dan




∫ +−= C xdx x cossin

C baxa

dxbax ++−=+∫ )cos(1

)sin(

∫ += C xdx x sincos

C baxa

dxbax ++=+∫ )sin(1

)cos(

C bax Ina

dxbax ++=+∫ )sec(.1

)tan(

C x Inadx x

+=

∫ sec.

1

.tan

4$ Integral *%ngsi Transenden

C edxe x x +=∫

C ea

dxe baxbax += ++

∫ )()( .

1

C

Inp

pdx p

x x +=∫

, p adalah konstanta

C Inp

pdx p

baxbax +=

++

∫ )(

)(

C Inxdx x

+=∫ .1

,$ Integral Tent%

Integral tentu dinotasikan dengan +

∫ b

a

x f )(

dx !

[ ] ba

x F )(

! F(*) 7 F(a)

4eterangan:f ( x ) adalah integran, yaitu f ( x ) ! F"( x )a, * adalah *atas-*atas pengintegralan[a, * adalah interval pengintegralan

C$ Si-at.Si-at Integral





.# ∫c . f ( x )dx=c .∫ f ( x ) dx , % adalah konstanta

/# ∫ {f ( x)± g ( x)}dx=∫ f ( x ) dx ±∫ g ( x )dx

8ika (x) dan g(x) kontinu pada intervala ≤ x ≤ b

, *erlaku :

9# ∫a

a

f ( x ) dx=0

1# ∫a

b

f ( x ) dx=−∫b

a

f ( x ) dx

# ∫a

b

f ( x ) dx=∫a

p

f ( x ) dx+∫ p

b

f ( x ) dx , dengan a≤ p≤ b

D$ Teknik &engintegralan1$ Metode s%(stit%si

4onsep dasar dari metode ini adalah dengan mengu*ah integral yangkompleks menjadi *entuk yang le*ih sederhana#;entuk umum integral su*stitusi adalah se*agai *erikut#

∫ ∫ = duu f dxdx

duu f )(])([

Conto/ soal + <entukan∫ + dx x x 42 )3(2

=

8a6a*an :

3isalkan u !32 + x

, maka

xdx

du2=

atau x

dudx

2=

&ehingga diperoleh,

∫ + dx x x 42 )3(2

!

∫ x

duu x

2 2 4

!

∫ duu 4

!

C u +5

5

1

!

C x ++ 52 )3(5

1

2$ Integral &arsial <eknik integral parsial ini digunakan *ila suatu integral tidak dapat

diselesaikan dengan %ara *iasa maupun dengan %ara su*stitusi# >rinsipdasar integral parsial adalah se*agai *erikut :&eperti telah kita ketahui pada turunan jika y ! uv maka y ? !u " v uv"# 8ika kita integralkan kedua ruas, maka akan didapat :

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ −=−=⇔+= dxvuuvdxvu ydxuvdxuvdxvudx y ''''''





@umus diatas umumnya :

∫udv=uv−∫ v du

ontoh : tentukan ∫ x .sin x dx =

8a6a* : 3isal x ! u maka dx ! du

3isal dv ! sin x dx maka v ! -%os x

∫ ∫ ++−=−−−= c x x xdx x x xdx x x sincoscoscos.sin

E$ "plikasi Integral.# 3enghitung luas dan volume *enda putar dalam interval dalam

interval a ≤ x ≤ b ditunjukan pada ta*le *erikut :

S%m(%

#%as ol%me

8ika kurva y ! (x) kontinu pada a ≤ x ≤ b ,

Auas daerah yang di*atasi oleh y ! (x),

sum*u x, garis x ! a dan x ! *dapat

ditentukan :

L=∫a

b

f ( x ) dx

8ika daerah terse*ut diputar

terhadap sum*u x sejauh

3600

, menghasilkan volume

*enda putar se*agai *erikut :

B ! π ∫a

b

{f ( x ) }2dx

8ika (x) dan g(x) dua ungsi

kontinu pada a ≤ x ≤ b , maka luas daerah

yang di*atasi oleh (x) dan g(x) yaitu :

L=∫a

b

{ f ( x )−g ( x)}dx


terhadap sum*u x sejauh

3600

, menghasilkan *enda

putar se*agai *erikut :

B ! π ∫a

b

{f 2 ( x )−g2( x)}dx





/# 3enghitung luas dan volume *enda putar dalam interval a≤ y≤ b

ditunjukan pada ta*el *erikut :

S%m(% y

#%as ol%me

8ika kurva x ! (y) kontinu

pada a≤ y≤b , Auas daerah yang di*atasi

oleh kurva x ! (y) , y ! a, y ! *, dan sum*uy :

L=∫a

b

f ( y ) dy


terhadap sum*u y sejauh

3600

,maka akan

menghasilkan volume *enda

putar :

V =π ∫a

b

f 2 ( y ) dy

8ika (y) dan g(y) adalah dua ungsi yang

kontinu pada a≤ y≤b , maka luas daerah

yang di*atasi oleh kurva x. ! (y) ,x/ ! g(y),

y ! a, y ! *, dan sum*u y :

L=∫a

b

{ f ( y )−g( y )}dy


terhadap sum*u y sejauh

3600

,maka akan

menghasilkan volume *endaputar :

V =π ∫a

b

{ f 2 ( y )−g2( y)}dy

*$ Sol%si "lternati- Meng/it%ng #%as Daera/>erhatikan gam*ar di*a6ah ini :


x1=g( y ) x2=f ( y)




8ika terdapat garis dan kurva saling *erpotongan atau dua kurva saling*erpotongan, maka kita dapat menemukan solusi alternative untukmenentukan luas daerah#

8ika kurva y

1 *erpotongan dengan kurva y

2 atau garis y

1

*erpotongan dengan kurva y

2 , sehingga :

y2− y1=ax2+bx+c ,dan memiliki a*sis titik potong m dan n, maka luas

daerahnya:

L=∫m

n

( ax2+bx+c ) dx=

D√ D6a

2 , D ! Diskriminan

>erhatikan gam*ar di*a6ah ini :

KE!"K"N#"3 S"#.S"# ,E!IK5T DEN"N ,EN"!6

No Soal Sol%si

. ∫−1

2

( x−2| x|) dx=¿ C#

7SIM"K 5I 20128

$# -9,;# -.,# -0,D# .,# 9,

/ 8ika nilai ∫

1

2

f ( x ) dx=6 , maka nilai dari

∫0

1

x . f ( x2+1 ) dx adalahC

7SNM&TN 20098

$# .;# 9

# 1D#


A ! D √ D6a

2 !

2 D − D

A !2

3.a .b

!2

3 Auas




# E

9 8ika diketahui garis singgung para*ola y !

3 x2+ax+1 # >ada titik x ! -/ mem*entuk

sudut terhadap sum*u x se*esar ar% tan (E)#

Auas daerah yang di*atasi oleh garis lurus

y ! -x 7 dan para*ola terse*ut adalahC

7SIM"K 5I 20128

$# 0

;#1

2

# .D# 9

# ∞

1

8ika pada integral ∫0

1

2

√ x√ 1− x

dx

disu*stitusikan √ x=sin y , maka

menghasilkanC#

7SNM&TN 20098

$# ∫0

1

2

sin2 x dx

;# ∫0

1

2sin

2 y

cos y dx

# 2

∫0

π

4

sin2 x dx

D# ∫0

π

4

sin2 y dy

# 2∫0

π

6

sin2 x dx

Garis g menyinggung kurva y ! sin x di titik





(π ,0 ) # 8ika daerah yang di*atasi garis g,

garis x !π

2 dan kurva y ! sin x diputar

mengelilingi sum*u x, maka volume *enda

putar yang terjadi adalahC#

75M&TN 20018

$#π

2

16(π

2−6)

;#π

2

16(π

2−8)

# π 2

24(π 2−6)

D#π

2

24(π

2−8)

#π

2

8(π

2−8)

E ∫2cos x . sin (1−2 x ) dx ! C#

7S,M&TN M"T I&" 201)8

$# os(x 7 .) 1

3 %os (9x 7 .)

;# os(x 7 .) -1

3 %os (9x 7 .)

# 7 sin (x 7 .) 1

3 %os (9x 7 .)

D# 7sin (x 7 .) -1

3 %os (9x 7 .)

# sin(x 7 .) 1

3 %os (9x 7 .)

H Di*erikan (x) ! a *x dan F(x) adalah anti

turunan (x)# jika F(.) 7 F(0) ! 9, maka /a *

adalahC#

(SNM&TN 20118

$# .0





;# E# D# 1# 9

Auas daerah di*a6ah kurva y ! − x2+8 x

diatas garis y ! Ex 7 /1 dan terletak di

kuadran I adalahC#

7SNM&TN M"T I&" 20118

$#

(¿− x2−2 x−24 )dx

(¿− x2+8 x)dx+∫

4

8

¿

∫0

4

¿

;#

(¿− x2+2 x+24)dx

(¿− x2+8 x)dx+∫

4

8

¿

∫0

4

¿

#

(¿− x2+2 x+24)dx

(¿− x2+8 x)dx+∫6

8

¿

∫0

6

¿

D#

(¿− x2+8 x)dx

(¿6 x−24)dx+∫4

8

¿

∫4

6

¿

#

(¿− x2+8 x)dx

(¿6 x−24)dx+∫4

6

¿

∫0

4

¿

Auas daerah yang di*atasi oleh y ! / sinx, x !

π 2 , x ! 3 π

2 dan sum*u x sama





denganC#

7SNM&TN M"T I&" 200:8

$# . satuan luas;# / satuan luas

# 9 satuan luasD# 1 satuan luas# satuan luas

.0 x+sin3 x+sin5

x+…sin ¿dx=¿

¿∫ ¿

7SIM"K 5I 20098

$# ∞

;# ot x # &e% x D# &e% x sin x # s% x

..

8ika ∫1

2

1

√ x+1dx=a , maka

∫1

2

4 √ x+k √ x+1 dx=4−3 a , maka nilai dari k

adalah C##

75M 5M 20098

$# -9;# -/# -.D# .# /

./ Daerah @ di*atasi oleh grafk y ! x/, y ! x/ 7

1x 1 dan y ! 0# Integral yang menyatakan

luas daerah @ adalahC#

7SNM&TN M"T I&" 201)8

$#

(¿ x2−4 x+4)dx

∫0

1

x2dx+∫

1

2

¿





;#

(¿ x2−4 x+4)dx

∫0

1

x2dx−∫

1

2

¿

#

(¿ x2

−4)dx

∫0

1

x2dx+∫

1

2

¿

D#

(¿4 x−4)dx

∫0

2

¿

# ∫0

1

(4 x+4 )dx

.9Diketahui (x) ! | x−1| , nilai dari

∫0

2

f ( x ) dx=…

7SNM&TN M"T I&" 20108

$# 0

;#1

2

# .D# /# 1

.1

8ika ∫1

4

f ( x ) dx=6 , maka

f (5− x) dx=¿

∫1

4

¿ C#

7SIM"K 5I 20108

$# E;# 9# 0D# -.# -E

. 8ika pada interval a ≤ x ≤ b diketahui





dF ( x )dx

=f ( x) , maka ∫a

b

F ( x ) . f ( x ) d ( x) ! C##

75M 5NDI& 20098

$# F(*) 7 F(a)

;# F (b ) f (b )− F (a ) f (a)

2

#f 2(b)−f

2(a)2

D# (*) 7 (a)

# F

2(b)− F 2(a)

2

.E Daerah yang di*atasi oleh garis 9y ! x dan y

! √ x , pada 0 ≤ x ≤ m , m ¿0 terdiri dari

dua *agian# $gar kedua *agian daerah

memiliki luas yang sama, maka nilai m

adalahC#

7SIM"K 5I 20098

$# /

;# 1# ED# # .E

.H 8ika luas daerah yang di*atasi oleh kurva y !

√ px dan garis y ! x adalah3

2 , maka

nilai p adalahC#

7S&M, M"T I&" 200;8

$#1

3 √ 6

;# 2

#5

2

D# / atau -/

#5

2 atau−5

2





. 8ika D daerah di kuadran I yang di*atasi oleh

para*ola y2=2 x dan garis x 7 y ! 1

75M 5M M"T I&" 20048

$# 10 √ 2

;# 10

#64 √ 2

3

D#64

3

# 13

1

3

. Aaju pertum*uhan penduduk suatu kota untuk

t tahun yang akan datang dinyatakan

se*agai :

J(t) ! 100t E00 √ t , 0≤t ≤9 # jika *anyak

penduduk saat ini adalah #000 ji6a, maka

*anyak penduduk tahun yang akan datang

adalahC#

7S&M, M"T I&" 200;8

$# 9H#000 ji6a;# 9#000 ji6a# 99#00 ji6aD# 9/#000 ji6a# 90#000 ji6a

/0

8ikad

dx (f ( xa ))= x2

dengan a ≠0 , maka

?(x) ! C75M 5M M"T I&" 200))

$# a3 x

2

;# a2 x

2

# x

2

a2

D# a3 x

3





# x

3

a3

/.

Diketahui ∫f ( x ) dx

! ax

2

+bx+c dan

a≠0 # 8ika a , (a) dan /* mem*entuk

*arisan aritmatika serta (*) ! E, maka

∫0

1

f ( x ) dx ! C##

7S&M, M"T I&" 200)8

$#

17

4

;#21

4

#25

4

D#13

4

# 114

//

8ika ∫a

b

cos( xc−π )dx=−c , dan % ≠0 , maka-

sin2 x

2c dx=¿

∫a

b

¿C#

7S&M, M"T I&" 20048

$# 7%

;#−1

2c

# b−a−c





D#1

2(b−a−c )

#1

2(b−a+c)

/9 | x2−2 x−3|=¿

∫−3

3

¿ C##

7S&M, M"T I&" 20048

$# 0;# .

#68

3

D#64

3

#

/1Daerah pada *idang oleh y !

1

√ x , sum*u x,

garis x dan garis x ! 1 diputar mengelilingi

sum*u K# volume *enda putar yang *er*entukadalahC#

75M&TN M"T I&" 20018

$#28

3π

;#14

3π

#

4

3π

D#2

3π

#1

3π

/ Auas *agian *idang yang di*atasi oleh sum*u

y, kurva y ! %os 9x dan y ! sin 9x adalahC#

75M 5M M"T I&" 200)8





$#1

2(√ 3+1)

;#1

2(√ 3−1)

#1

3(√ 2−1)

D#1

3(√ 2+1)

#1

6(√ 3−√ 2)

K5NCI "W","N

.# 8a6a*an $

| x|{ x , dimana x≥ 0

− x , dimana x<0

∫−1

2

( x−2| x|) dx ! ∫−1

0

( x+2 x ) dx+∫0

2

( x−2 x ) dx

= ∫−1

0

3 x dx+∫0

2

− x dx

! [32 x2]

−1

0

+[−1

2 x

2]0

2

!−3

2+(−2 )=

−7

2=−3,5

/# 8a6a*an ;

Dik 8ika nilai ∫1

2

f ( x ) dx=6

, maka nilai dari ∫0

1

x . f ( x2

+1

) dx L





3isalkan u ! x

2+1→du

dx=2 x →dx=

du

2 x

x ! 0 u ! .x ! . u ! /su*stitusikan ke persamaan diatas :

∫0

1

x . f ( x2+1 ) dx=∫1

2

x . f (u ) du

2 x !1

2∫1

2

f (u ) du=1

2(6 )=3

9# 8a6a*an ;

Diketahui garis singgung para*ola y ! 3 x2+ax+1 # >ada titik x ! -/

mem*entuk sudut terhadap sum*u x se*esar ar% tan (E)# Auas daerahyang di*atasi oleh garis lurus y ! -x 7 dan para*ola LGaris singgungn yang mem*entuk sudut terhadap sum*u x, maka :

=a!c tan 6→ tan=6

Gtadien garis singgung di x ! -/

m ! ?(-/) ! tan =6

?(x) ! y" ! Ex a ?(-/) ! E(-/) aE ! -./ a a ! .

Daerah yang di*atasi oleh y ! 3 x2+18 x+1 dan y ! -x -

<itik potong kurva :

3 x2+18 x+1=−9 x−59

3 x2+27 x+60=0

x2+9 x+20=0

(x )(x 1) ! 0x ! - atau x ! -1

luas daerah yang di*atasi oleh y ! 3 x2+18 x+1 dan y ! -x 7 :

A ! ∫−5

−4

[ (−9 x−59 )−(3 x2+18 x+1)] dx

! ∫−5

−4

[(−3 x2−27 x−60)] dx





! [− x3−

27

2 x

2−60 x ]−5

−4

! [−(−4 )3− 27

2(−4 )2−60(−4)]−[−(5 )3−27

2(−5 )2−60(−5)]

!1

2

1# 8a6a*an

Dik 8ika pada integral ∫0

1

2

√ x√ 1− x

dx disu*stitusikan √ x=sin y

√ x=sin y → x=sin2 y

dxdy=2. "inycos y →dx=2."inycos y dy

Mntuk x ! 0 → y=a!csin0=0

Mntuk x !1

2 → y=a!csin

1

2√ 2=

π

4

∫0

1

2

√ x√ 1− x

dx ! ∫0

π

4sin y

√ 1−sin2 y

.2. "inycos y dy

¿∫0

π 4sin y

c#"y .2 ."iny cos y dy=2∫

0

π 4

sin2 y dy

3isalkan x ! y, maka 2∫0

π

4

sin2 y dy=2∫

0

π

4

sin2 x dx

# 8a6a*an

Dik Garis g menyinggung kurva y ! sin x di titik (π ,0 ) # 8ika daerah yang

di*atasi garis g, garis x !π

2 dan kurva y ! sin x diputar mengelilingi

sum*u x, maka volume *enda putar L

Garis g menyinggung ungsi y ! sin x di titik ( π ,0¿

Gradient garis g :

x=cos (¿ π )=−1

m=dy

dx=cos¿

8adi persamaan garis y ! -x % yang melalui titik (π ,0 ) :





y !-x π

8adi volume *enda putar jika daerah terse*ut diputar terhadap sum*u x :

B !π ∫

π

2

π

[ (− x+π )2−sin2 x ]dx

!π ∫

π

2

π

[ (− x+π )2−(1

2−1

2cos x )]dx

! π [ (− x+π )3

−3−

1

2 x+

1

4sin2 x ]π

2

π

! π [−1

2π −(−π

3

24−

1

4π )]=¿

E# 8a6a*an $

Dik ∫2cos x . sin (1−2 x ) dx

3isalkan u ! . 7 /x x !1−u

2

du

dx=−2→dx=

−1

2du

&u*stitusikan varia*le x menjadi varia*le u :

∫2cos x . sin (1−2 x ) dx ! ∫2cos

(1

−u

2 ).sin (u ) .−

1

2 du

! −∫ cos(1−u

2 ). sin (u ) . du=−∫ 1

2 (sin (1−u

2 +u)−sin(1−u

2 −u))du

!−1

2 ∫{sin( 1+u

2 )−sin( 1−3u

2 )}

!−1

2

{−2cos (1+u

2 )−2

3cos(1−3u

2 )}=¿

cos(1+u

2 )+ 1

3cos( 1−3u

2 )&u*stitusikan u ! . 7 /x :





cos( 1+1−2 x

2 )+ 1

3cos (1−3(1−2 x )

2 ) ! %os (. 7 x) 1

3cos (3 x−1)

H# 8a6a*an ;

Di*erikan (x) ! a *x dan F(x) adalah anti turunan (x)# jika F(.) 7 F(0) !9, maka /a * L

F(x) ! ∫0

1

(a+bx )dx ! [ax+b

2 x

2]0

1

= F (1 )− F (0 )=a+b

2=3

/a * ! E

# 8a6a*an ;

Dik kurva y ! − x2+8 x diatas garis y ! Ex 7 /1 dan terletak di kuadran I

<itik potong antara garis dan kurva adalah :

− x2

+8 x=6 x−24

x2−2 x−24=0

(x 7 E)(x 1) ! 0x ! E atau x ! -1perhatikan sketsa *erikut :

Auas D. ! ∫0

4

(− x2+8 x ) dx

Auas D/ ! ∫4

6

(− x2+8 x )−(6 x−24 )dx=∫

4

6

(− x2+2 x+24 ) dx

8adi luas daerahnya keseluruhan ! ∫0

4

(− x2+8 x ) dx+∫

4

6

(− x2+2 x+24 ) dx

# 8a6a*an D>erhatikan gam*ar *erikut :





8adi luas daerahnya adalah

A !

−c#"π −(−cos π

2 )=4

2∫π

2

π

2sin x dx=4 [−c 0 " x ] π

2

π =4 ¿ satuan luas

.0#8a6a*an

x+sin3 x+sin5

x+…

sin ¿dx=∫ "inx

1−sin2 x

dx=∫ sin x

cos2 x

¿¿∫ ¿

dx

3isalkan u ! %os xdu

dx=−sin x →−du=sin x dx

&u*stitusikan ke pers diatas :

∫ sin x

cos2 x

dx=∫ 1

u2 (−du)=1

u+c

&u*stitusikan nilai u ! %os x, sehingga :

x+sin 3 x+sin5

x+…

sin ¿dx= 1

c#"x+C ="%c x+C

¿¿

∫ ¿

..#8a6a*an D

Dik 8ika ∫1

2

1

√ x+1dx=a , maka ∫

1

2

4 √ x+k

√ x+1dx=4−3 a , maka nilai dari k L

∫1

2

4 √ x+k

√ x+1dx=4−3 a

∫1

2

4

√ x+k +4−4

√ x+1 dx=4−3∫1

2

1

√ x+1 dx


3

π

π




∫1

24 (√ x+1)√ x+1

dx+∫1

2

k −4

√ x+1=4−3∫

1

2

1

√ x+1dx

4+∫1

2

k −4

√ x+1=4−∫

1

2

3

√ x+1

dx

k - 1 ! -9k ! .

./#8a6a*an ;Dik Daerah @ di*atasi oleh grafk y ! x/, y ! x/ 7 1x 1 dan y ! 0#Integral yang menyatakan luas daerah @

<itik potong kedua kurva se*agai *erikut :

x2= x

2−4 x+4

1x ! 1

x ! .>erhatikan gam*ar *erikut :

Auas D. ! ∫0

1

x

2

dx

Auas D/ !

(¿ x2−4 x+4)dx

−∫1

2

¿

8adi luas daerah keseluruhan !

(¿ x2−4 x+4)dx

∫0

1

x2

dx−∫1

2

¿

.9#8a6a*an

Dik Diketahui (x) ! | x−1| , nilai dari ∫0

2

f ( x ) dx&

| x−1|{ x−1, x ≥1

−( x−1 ) , x<1

∫0

2

| x−1|dx=∫0

1

(− x+1 ) dx+∫1

2

( x−1 )dx





| x−1|dx=[−1

2 x

2+ x]0

1

+¿[12 x2− x ]

1

2

∫0

2

¿ ! (−1

2+1)−(0 )+(2−2 )−(12−1)

∫0

2

| x−1|dx=1

.1#8a6a*an $

Dik 8ika ∫1

4

f ( x )=6 , maka ∫1

4

f (5− x )&

3isalkan u ! 7 x

8ika x ! ., maka u ! 1 8ika x ! 1, maka u ! .

∫1

4

f (5− x )=∫4

1

f (u )−du=∫1

4

f (u ) ! E

.#8a6a*an

8ika pada interval a ≤ x ≤ b diketahuidF ( x )

dx =f ( x) , maka

∫a

b

F ( x ) . f ( x ) dx L

dF(x) ! ∫ f ( x ) dx

∫a

b

F ( x ) . f ( x ) dx=¿ ∫a

b

F ( x ) . dF ( x )=[12 F 2( x )]

a

b

! F

2(b)− F 2(a)

2

.E#Dik Daerah yang di*atasi oleh garis 9y ! x dan y ! √ x , pada 0 ≤ x ≤ m

, m ¿0 terdiri dari dua *agian# $gar kedua *agian daerah memiliki luas

yang sama, maka nilai m L

D. ! D/


y !




∫0

3

(√ x− x

3 )dx=∫3

m

( x3−√ x)dx

[

2

3 x √ x−

1

6 x

2

]0

3

=

[

1

6 x

2−2

3 x √ x

]3

m

2√ 3−3

2=(m

2

6−

2

3m√ m)−( 32−

2

3√ 3)

m2

6=

2

3m√ m

m=4√ m

√ m=4→ m=16

.H#8a6a*an ;

Dik 8ika luas daerah yang di*atasi oleh kurva y ! √ px dan garis y ! x

adalah3

2

Auas daerah yang diarsir :

A !2

3. p . p−

1

2. p . p

3

2=

1

6 p

2

p2=4

p ! /.#8a6a*an

8ika D daerah di kuadran I yang di*atasi oleh para*ola y2=2 x dan garis

x 7 y ! 1


y=√ px

p

y2=2 x

x 7 y !




A ! ∫0

4

√ 2 x dx+∫4

8

(√ 2 x− x+4 ) dx

A ! [2

3 x √ 2 x ]0

4

+[2

3 x√ 2 x−1

2 x

2+4 x]48

= 40

3=13

1

3

Dengan menggunakan %ara alternative :Auas daerah yang diarsir ! A kurva N; 7 A segitiga $;

Auas daerah yang diarsir !2

3.8.4−

1

2.4.4=

64

3−8=

40

3=13

1

3

.#8a6a*an DDik Aaju pertum*uhan penduduk suatu kota untuk t tahun yang akan

datang dinyatakan se*agai :J(t) ! 100t E00 √ t , 0≤t ≤9 # jika *anyak

penduduk saat ini adalah #000 ji6a, *anyak penduduk tahun yang akandatangL

B(t) ! J(t) ! 100t E00 √ t , 0≤t ≤9

&(t) ! ∫V ( t )dt

! ∫ (400t +600√ t ) dt

! 200 t 2+400t √ t +C

&(0) ! 200(0)2+400 (0)√ 0+C

! 000

&(t) ! 200 t 2+400t √ t +5000

;anyaknya penduduk tahun yang akan datang :

&() ! 200(9)2+400 (9 )√ 9+5000=32.000

/0#8a6a*an $

8ika

d

dx

(f

( x

a

))= x

2

dengana≠0

, maka ?(x) L

f ( xa )=∫ x2

f ( xa )=1

3 x

3

f ( xa )=a3

3 ( x

a )3





f ( x )=a3

3 x

3→ f

' ( x )=a3 x

2

/.#8a6a*an $

Diketahui ∫ f ( x ) dx ! ax2

+bx+c dan a ≠0 # 8ika a , (a) dan /*

mem*entuk *arisan aritmatika serta (*) ! E, maka ∫0

1

f ( x ) dx

f ( x )=2ax+b

f ( a )=2a2+b

f (b )=2ab+b=6 C#(.)

8ika a , (a) dan /* mem*entuk *arisan aritmatika, maka :/(a) ! a /*

/ (2a2+b )=a+2b

4 a2+2b=a+2b

4 a2−a=0

a (4 a−1)=0

a ! 0 atau a !

1

4

untuk a !1

4 su*stitusikan ke pers (.) :

2( 14 )b+b=6

1

2b+b=

3

2b=6→ b=4

>ersamaan ungsi (x) !1

2 x+4

∫0

1

f ( x ) dx=∫0

1

(12 x+4)dx=[14 x2+4 x ]

0

1

=( 14 +4)−0=17

4

//#8a6a*an

Dik 8ika ∫a

b

cos( xc−π )dx=−c , dan % ≠0 , maka





sin2 x

2c dx=¿

∫a

b

¿C#L

∫a

b

cos−(π − x

c )dx=−c→−∫a

b

cos( xc )dx=−c

∫a

b

cos( xc )dx=c

sin2 x

2 c dx=¿∫

a

b1

2 (1−cos x

c )dx

∫a

b

¿ ! ∫a

b1

2 dx−∫a

b1

2cos

x

c dx

! [12 x ]a

b

+1

2c=

1

2b−

1

2a+

1

2c=

1

2(b−a+c)

/9#8a6a*an D

| x2−2 x−3|{ x2−2 x−3, (ika x≤−1ataux≥3

−( x2−2 x−3 ) , (ika−1< x<3

| x2−2 x−3|=¿∫−3

−1

( x2−2 x−3 ) dx−∫−1

3

( x2−2 x−3 ) dx

∫−3

3

¿

! [13 x3− x

2−3 x ]−3

−1

−[13 x3− x

2−3 x]−1

3

! (−13−1+3)−(−9−9+9 )−{(9−9−9 )−(−

13−1+3)}

!64

3

/1#8a6a*an $





Dik Daerah pada *idang oleh y !1

√ x , sum*u x, garis x dan garis x ! 1

diputar mengelilingi sum*u K# volume *enda putar yang *er*entuk L

B ! π ∫0

1

2

(42−12 ) dy+π ∫

1

2

1

( 1 y4−1

2)dy

B ! π ∫0

1

2

15dy+π ∫1

2

1

( 1 y4−1)dy

B !π [15 y ]0

1

2+π

[

−1

3

y

3− y

]1

2

1

B !π {152 +(−1

3−1)−(−8

3−1

2 )}=28

3π

/#8a6a*an

Auas *agian *idang yang di*atasi oleh sum*u y, kurva y ! %os 9x dan y !sin 9x Lari titik perpotongan antara kurva y ! sin 9x dan kurva y ! %os 9x&in 9x ! %os 9x

√ 1−cos

2

3 x=cos3 x (kedua ruas kuadratkan)

1−cos23 x=cos

23 x

2cos23 x=1

os 9x ! √1

2=

1

2√ 2

os 9x ! %osπ

4


y !




9x !π

4→ x=

π

12

Auas daerah yang diarsir adalah :

A ! ∫0

π

12

(cos3 x−sin 3 x ) dx

A ! [13 cos3 x+1

3sin3 x ]

0

π

12

A !1

3 {( 12 √ 2+1

2 √ 2)−(0+1 )} !

1

3(√ 2−1 )

modul integral new

Documents