review matematika

REVIEW MATEMATIKA

I. REVIEW MATEMATIKA

PRINSIP DAN APLIKASINYA DALAM PROSES PENGOLAHAN PANGAN

Tujuan Pembelajaran

Mahasiswa dapat mengetahui dan mampu melakukan operasi matematika tertentu serta aplikasi praktis beberapa operasi matematika. Mahasiswa akan mengetahui dan memahami prinsip-prinsip matematika dan aplikasinya pada industri dan proses pengolahan pangan. Mahasiswa akan mampu menyelesaikan persamaan matematika, menggambar dan membaca grafik, serta mengembangkan persamaan matematika dari persoalan nyata (kasus-kasus yang ada dalam industri pangan).Matematika dan Ilmu Keteknikan PertanianPemecahan soal-soal keteknikan pertanian pada umumnya memerlukan matematika. Matematika adalah alat bantu utama penyelesaian masalah-masalah yang berkaitan dengan keteknikan pertanian. Secara global, urutan-urutan penyelesaian soal keteknikan pertanian menggunakan matematika dapat dibagi dalam empat tahap:

1. Formulasi: ekspresikan soal ke dalam bahasa matematika dengan tidak mengabaikan hukum-hukum fisika dan keteknikan yang baku, bentuklah suatu model persamaan atau pertidaksamaan yang sesuai dengan persoalan yang dihadapi. Pada umumnya soal-soal keteknikan selalu berupa penentuan suatu kondisi berdasarkan kondisi yang telah diketahui yang berhubungan dengan usaha optimasi proses. Dalam meyusun suatu model matematika, gunakan asumsi-asumsi yang mendasari suatu keadaan tertentu sehingga persamaan atau persamaan dapat bersifat logis dan applicable.

2. Pemecahan Soal: setelah persoalan tersebut berbentuk persamaan atau pertidaksamaan, maka gunakan hukum operasi matematika yang tepat dalam mencari penyelesaian. Gunakan diagram dan grafik untuk memudahkan analisis.

3. Interpretasi: setelah semua keadaan diketahui, berdasarkan persamaan atau pertidaksamaan yang berlaku akan diperoleh hubungan antara suatu keadaan dengan keadaan lainnya yang merupakan penjelasan hubungan antara hasil matematika dan artinya secara fisik atau nyata.

4. Penyempurnaan: untuk memperoleh statemen yang valid, lakukan pengulangan tahap 1, 2, dan 3 dengan memperhitungkan kondisi-kondisi tertentu lainnya secara lebih teliti.

Persamaan AljabarPersamaan adalah suatu pernyataan matematika yang menunjukkan adanya kesetaraan (equality) antara satu atau lebih ekspresi matematika. Persamaan aljabar melibatkan variabel dan konstanta.

Contoh:

konstanta

y = ax + b;persamaan garis lurus

variabel

Konstanta adalah suatu nilai yang tidak berubah besaran dan satuannya dalam suatu persamaan. Beberapa konstanta, antara lain:

g : percepatan gravitasi (9.8 ms-2)

NA : bilangan Avogadro (6.02205 x 1023 atom/mol)

: pi (3.14159)

R : konstanta gas umum (8.314 Nm/mol.K)

k : konstanta Boltzmann (1.38066 x 10-23 J/K)

c : kecepatan cahaya di ruang hampa (299792.5 x 103 m/s)

h : konstanta Planck (6.6256 x 10-34 J.s)

Variabel adalah suatu kuantitas yang dapat mengasumsikan semua nilai yang mungkin. Dalam persamaan aljabar, variabel disimbolkan dengan huruf-huruf alfabet, yang umum digunakan adalah x dan y. Variabel dapat bersifat dependent dan independent. Biasanya variabel yang sendirian berada pada satu sisi dari suatu persamaan adalah variabel dependent. Dalam bentuk penulisan y = F(x), y adalah variabel dependent dan x adalah variabel independent. Ketika persamaan diubah dalam bentuk x = F(y), x adalah variabel dependent dan y adalah variabel independent. Dalam sistem fisika dan kimia, interdependensi dari variabel ditentukan melalui design dari eksperimen. Independent variabel adalah sesuatu yang telah ditetapkan dalam disain percobaan sedangkan dependent variabel adalah sesuatu yang akan diukur dalam percobaan tersebut. Sebagai contoh dalam kasus penentuan tingkat kehilangan asam askorbat makanan kaleng selama penyimpanan, konsentrasi asam askorbat dijadikan sebagai variabel dependent dan waktu ditetapkan sebagai variabel independent.

Secara ringkas dapat dituliskan sebagai berikut:

y = 3x 7 .. pers. 1

jika x = 1(y = 3-7 = -4

jika x = 3(y = 9-7 = 2

jadi, nilai y tergantung pada nilai x ( x = variabel dependent

y = variabel independent

Pers. 1 dapat ditulis dalam bentuk lain, yaitu

x = 1/3y + 7/3 .pers. 2

jika y = -4(x = (1/3)(-4) + (7/3) = 1

jika y = 2(x = (1/3)(2) + (7/3) = 3

jadi, nilai x tergantung pada nilai y ( y = variabel dependent

x = variabel independent

Secara umum dapat dituliskan:

variabel di sisi kanan persamaan : variabel independent

variabel di sisi kiri persamaan : variabel dependent

waktu (t) hampir selalu dianggap sebagai variabel independent.

Dalam ungkapan matematika, y = 2x + 4, dapat pula ditulis dalam bentuk:

y = F(x) ( dibaca: y merupakan fungsi dari x

y = F(x) dimana F(x) = 2x + 4 . pers. 3

y = 2x + 4 . pers. 4

Pers. 3 dan pers. 4 adalah identik.

Fungsi didefinisikan sebagai persamaan aljabar yang menjelaskan hubungan antara variabel independent dan satu atau lebih konstanta.

Contoh:

V(t) = (g/2)t + Vo

Persamaan ini menyatakan suatu fungsi hubungan antara kecepatan pada waktu tertentu (Vt), kecepatan awal (Vo), percepatan gravitasi (g), dan waktu (t).

g dan Vo (adalah konstanta

t dan V(t)(adalah variabel

Dalam hal ini kecepatan V merupakan fungsi dari variabel t (V adalah variabel dependent dan t adalah variabel independent).

Prinsip Penyelesaian Soal Persamaan dan Fungsi AritmatikaDalam menyelesaikan soal persamaan aljabar dan fungsi aritmatika harus diketahui secara pasti prinsip-prinsip operasional sebagai berikut:

1. Kedua sisi persamaan adalah ekuivalen

2. Sederhanakan persamaan ke dalam bentuk yang memudahkan untuk dikerjakan dengan melakukan operasi aritmatika di kedua sisi persamaan.

3. Apabila melakukan penambahan dan atau pengurangan suatu konstanta atau variabel, lakukanlah pada kedua sisi persamaan.

Contoh: y = ax + b;y + b = ax + b + b

y = ax + b;y y = ax + b y

4. Apabila melakukan operasi perkalian atau pembagian suatu konstanta atau variabel, lakukanlah pada kedua sisi persamaan, demikian pula halnya dengan operasi pangkat dan akar.

Contoh perkalian:

y = ax + b;y (k) = (ax + b) (k);yk = akx + bk

Contoh pembagian:

y = ax + b;y/(a)= (ax + b)/(a);y/a = x + b/a

Contoh pemangkatan:

y = x2 + b;y - b= x2 + b b;x2 = y b;x = y-bHal-hal yang perlu diperhatikan dalam penyederhanaan persamaan berdasarkan operasi aritmatika antara lain adalah:

Aturan Eksponensial

1

a-n =

an (an )n = amnam = am-nan am x an = am+nn

a = a1/nn

am = am/nAturan Logaritma

bLog x = c(maka x = bc 10Log 100 = 2(maka 100 = 102 Log x

(berarti 10Log x

Ln x

(berarti eLog x; dimana e = 2.718

Log x.y

( Log x + Log y

Log x/y

(Log x Log y

Log xn

(n.Log x

Contoh Soal:

Hitung suhu 2 mol gas ideal pada tekanan dan volume sistem masing-masing sebesar 200 Pa dan 30 m3.

Penyelesaian:

Parameter-parameter yang telah diketahui:

P = 200 Pa;n = 2 mol;V = 30 m3 Rumus yang akan dipergunakan:

PV = nRT;P = tekanan (Pa)[=](N.m-2)

V = volume (m3)

n = jumlah mol gas (mol)

R = konstanta gas ideal (8.314 Nm.mol-1)

T = suhu mutlak (K)

Penyelesaian:

Isolasi variabel T dari variabel lain dan konstanta yang ada

PV(1/n) = nRT(1/n)

PV/n = RT

PV/n (1/R) = RT (1/R)

PV/nR = T;karena nilai-nilai P, V, dan n telah diketahui, maka T dengan mudah dapat ditentukan.

T = [(200 N.m-2)(30 m3)]/[(2 mol)(8.314 Nm.mol-1)] = 360.83 K

Jadi T = 360.83 K

Aplikasi Persamaan Aljabar dalam Interpretasi Data PercobaanPersamaan aljabar sangat berguna dalam penyajian data hasil percobaan karena dalam bentuk persamaan, data akan lebih mudah diolah dan diinterpretasikan sesuai dengan tujuan percobaan. Persamaan aljabar dapat mewakili data eksperimen sehingga dihasilkan suatu bentuk fungsi matematika yang dapat diinterpretasi secara umum. Apabila fungsi yang dihasilkan bersifat kontinyu, interpolasi nilai-nilai yang dihasilkan secara eksperimen untuk satu variabel dapat mendekati hasil yang sebenarnya. Data eksperimen dapat dimasukkan ke dalam suatu bentuk persamaan dengan menggunakan berbagai teknik, diantaranya adalah:

1. Regresi Linier dan Polinomial: metode-metode statistik dikembangkan untuk menentukan koefisien-koefisien dari persamaan linier atau pun polinomial yang melibatkan variabel bebas dan variabel terikat. Prosedur secara statistik ini didasarkan pada usaha meminimalkan jumlah kuadrat untuk setiap perbedaan antara nilai yang ada pada data eksperimen dengan nilai prediksi melalui persamaan yang dibentuk.

2. Data Transformasi dan Linierisasi: untuk suatu model persamaan yang telah baku pada suatu kasus tertentu, data hasil eksperimen dimasukkan ke dalam bentuk persamaan tersebut melalui proses transformasi dan linierisasi persamaan sehingga akan memudahkan perhitungan dan pengolahan data tersebut. Transformasi diperlukan untuk sebaran data yang tidak beraturan, misalnya untuk data yang peningkatannya sangat besar maka transformasi ke dalam bentuk logaritma adalah pilihan terbaik.

3. Pembuatan Grafik: data mentah atau data hasil transformasi selanjutnya diplotkan kedalam bentuk garis lurus selanjutnya koefisien dari variabel dalam persamaan ditentukan dari nilai slove dan intersep yang terbentuk.

Persamaan Garis LurusBentuk umum persamaan garis lurus adalah:

y = ax + b;dimana:y = variabel dependent

x = variabel independent

a = konstanta (slope/tangen garis lurus)

b = konstanta (nilai y jika x = 0)

Slope ditentukan dengan mengambil 2 titik pada garis lurus yang mempunyai koordinat masing-masing (x1,y1) dan (x2,y2), lalu dicari dengan rumus:

a = (y2 y1)/ (x2 x1)

Bentuk lain dari persamaan garis lurus adalah:

(y y1) = a(x x1)

Dimana a = slope atau kemiringan garis sedangkan x1 dan y1 adalah koordinat suatu titik (x1 , y1) yang terletak pada garis lurus.

Nilai b adalah menunjukkan titik potong (intersep) antara garis lurus dengan sumbu y diagram Cartesius.

(y y1) = a(x x1)

y = ax + (y1 ax1)

jadi b = (y1 ax1)

Jika regresi linier digunakan dalam data eksperimen, slope dan intersep dari garis dapat ditentukan dengan perhitungan yang melibatkan nilai tengah dari ordinat dan absis masing-masing koordinat titik yang ada dalam data. Garis lurus yang dibentuk melalui persamaan linier hasil perhitungan regresi, harus melewati atau berada pada jarak terpendek dari titik-titik yang ada pada data.

Persamaan garis lurus dalam bentuk y = ax + b dapat ditentukan dengan menghitung slope (a) dan intersep (b) dari garis lurus yang diperoleh melalui analisis regresi terhadap N pasang data eksperimen dengan rumus:

(xy ((x.(y/N)

a =

(x2 [((x)2/N]

(y. (x2 (x.(xy

b =

N{(x2 [((x)2/N]}

Fungsi Linier dalam Grafik dan Sistem KoordinatDalam sistem koordinat Cartesius, fungsi linier dapat digambarkan sebagai berikut:

Kedua sumbu bisa mempunyai skala yang sama atau berbeda, sebagai contoh dapat dilihat pada Gambar berikut:

a) Linier (skala sumbu x dan y sama-sama linier)

b) Semi Log (skala sumbu x = linier, sumbu y = Logaritma)

c) Log (skala sumbu x dan y sama-sama Logaritma)

Liniearisasi dari Persamaan Non-LinierPersamaan-persamaan non linier dapat dilinierisasi dengan berbagai cara ekspansi, tapi teknik ini hanya merupakan suatu perkiraan dan hanya berhasil baik untuk variabel-variabel dengan range yang terbatas. Teknik lain untuk linierisasi melibatkan manipulasi persamaan secara matematika melalui operasi dan transformasi.

Contoh 1.

xy = 5

Bentuk Linierisasinya adalah:

y = 5 (1/x)

Dengan memplot nilai-nilai y terhadap nilai-nilai 1/x, akan dihasilkan suatu bentuk kurva linier.

Contoh 2.

y = (y2/x) + 4


y2 = xy 4x

x = y2/(y 4)

Dengan memplot nilai-nilai x terhadap nilai-nilai y2/(y 4), akan dihasilkan suatu bentuk kurva linier.

Contoh 3 (Fungsi Hiperbolik).

y = 1/(b + x)


1/y = b + x

Dengan memplot nilai-nilai 1/y terhadap nilai-nilai x, akan dihasilkan suatu bentuk kurva linier.

Contoh 4 (Fungsi Eksponensial).

y = abx


Log y = Log a + x.Log b

Dengan memplot nilai-nilai Log y terhadap nilai-nilai x, akan dihasilkan suatu bentuk kurva linier.

Contoh 5 (Fungsi Geometrik).

y = axb


Log y = Log a + b.Log x

Dengan memplot nilai-nilai Log y terhadap nilai-nilai Log x, akan dihasilkan suatu bentuk kurva linier.

Contoh Soal 1:

Suatu indek pertumbuhan mikroorganisme, dinyatakan sebagai waktu generasi (g). Pada fase logaritmik, mikroorganisme tumbuh mengikuti model persamaan berikut:

N = No(2)t/gJika data hasil pengamatan dari suatu percobaan diperoleh sebagai berikut:

-----------------------------------------------------------------------

Jumlah m.o (N)

Waktu pertumbuhan (menit)

-----------------------------------------------------------------------

980

0

1700

10

4000

30

6200

40

-----------------------------------------------------------------------

Tentukan waktu generasi (g) mikroorganisme tersebut !

Penyelesaian:

Analisis Masalah

Karena model persamaan untuk pertumbuhan mikroorganisme telah fix dan kita diminta untuk menentukan salah satu parameter yang ada dalam model persamaan berdasarkan data hasil pengamatan yang ada, maka perlu adanya modifikasi model persamaan tersebut menjadi persamaan garis lurus untuk memudahkan penyelesaian soal.

Modifikasi Bentuk Persamaan

N = No(2)t/gLog N = Log No + t/g.Log 2

Log N = (Log 2/g)t + Log No

Bila kita perhatikan secara seksama, bentuk persamaan ini sudah setara dengan bentuk persamaan garis lurus secara umum;y = ax + b dengan melihat bahwa: Log N = y

Log 2/g = a

t = x

Log No = b

Dengan demikian dapat dituliskan bahwa:

Log N = (Log 2/g)t + Log No

y = a . x + b

Berdasarkan kenyataan ini maka apabila kita plotkan Log N sebagai sumbu Y dan t sebagai sumbu X maka akan diperoleh suatu persamaan garis lurus dengan nilai slope sebesar Log 2/g. Dari nilai ini maka dapat diketahui besarnya nilai g adalah setara dengan:

Log 2/g = slope

g = Log 2/slope

g = 0.301/slope

Perhitungan dan Penyelesaian Akhir

-----------------------------------------------------------------------

N

Log N

t

-----------------------------------------------------------------------

980

2.991

0

1700

3.230

10

4000

3.602

30

6200

3.792

40

-----------------------------------------------------------------------

Selanjutnya dengan menggunakan program microsoft excel, plot antara Log N dan t akan menghasilkan grafik dan persamaan garis lurus sebagai berikut:

Dari persamaan linier di atas diketahui bahwa besarnya nilai slope dari grafik garis lurus yang terbentuk adalah 0.0197.

Dengan demikian besarnya nilai g dapat diketahui:

g = Log 2/slope

g = 0.301/slope

g = 0.301/0.0197 = 15.28

Jadi waktu generasi mikroorganisme tersebut adalah 15.28 menit.

Contoh Soal 2:

Istilah waktu paroh adalah satu indek yang digunakan untuk menjelaskan stabilitas dari suatu senyawa dan didefinisikan sebagai waktu yang dibutuhkan oleh suatu senyawa untuk berkurang hingga tinggal setengah dari jumlah awalnya. Waktu paroh untuk suatu senyawa secara umum mengikuti model persamaan:

C = Co(2)-t/t0.5dimana:Co adalah konsentrasi senyawa pada t = 0

C adalah konsentrasi pada waktu t, dan

t0.5 adalah waktu paroh senyawa tersebut.

Asam askorbat dalam orange juice kaleng mempunyai waktu paroh 30 minggu. Jika konsentrasi sesaat setelah pengalengan adalah 60 mg/100 mL, hitung konsentrasi asam askorbat dalam bahan setelah 10 minggu. Pada saat produk diberi label, konsentrasi yang dicantumkan pada label harus paling sedikit 90% dari konsentrasi sebenarnya. Berapakan konsentrasi yang harus dicantumkan dalam label untuk produk yang telah disimpan selama 10 minggu ?

Analisis Masalah

Karena model persamaan untuk pertumbuhan mikroorganisme telah fix dan kita diminta untuk menentukan salah satu parameter yang ada dalam model persamaan berdasarkan data hasil pengamatan yang ada, maka perlu adanya modifikasi model persamaan tersebut menjadi persamaan garis lurus untuk memudahkan penyelesaian soal.

Modifikasi Bentuk Persamaan

C = Co(2)-t/t0.5

Log C = Log Co (Log 2/t0.5).t

Bila kita perhatikan secara seksama, bentuk persamaan ini sudah setara dengan bentuk persamaan garis lurus secara umum;y = ax + b dengan melihat bahwa: Log C = y

- (Log 2/t0.5).= a

t = x

Log Co = b

Parameter yang telah diketahui:

--------------------------------------------

C (mg/100 mL) t (minggu)

--------------------------------------------

60

0

30

30

..

10

--------------------------------------------

Rencana Penyelesaian:

Berdasarkan parameter yang telah diketahui di atas, maka diketahui bahwa terdapat dua buah titik koordinat yang apabila diekspansi lebih lanjut akan dapat menghasilkan suatu bentuk persamaan garis lurus, sehingga besaran untuk masing-masing nilai parameter yang belum diketahui (C10) dapat diprediksi berdasarkan persamaan tersebut.

Penyelesaian Akhir:

C = Co(2)-t/t0.5

Log C = Log Co (Log 2/t0.5).t

----------------------------------------------------------

C (mg/100 mL) Log C t (minggu)

----------------------------------------------------------

60

1.778 0

30

1.477

30

..

10

----------------------------------------------------------

Dengan diketahuinya dua titik (0 ; 1.778) dan (30 ; 1.477) maka dapat disusun persamaan garis lurus dengan rumus:

y y1 = a (x x1)

a = (y2 y1)/ (x2 x1)

cek dengan a = - (Log 2/t0.5)

= (1.477 1.778)/(30 0) = - 0.301/30 = - 0.01

Jadi persamaan linier yang terbentuk adalah:

Log C 1.778 = - 0.01t

Log C = - 0.01t + 1.778

Dengan demikian untuk t = 10 minggu, maka:

Log C = (- 0.01)(10) + 1.778

Log C = (- 0.1) + 1.778 = 1.678

C = 47.66

Jadi konsentrasi asam askorbat dalam bahan setelah 10 minggu adalah tinggal sebesar 47.66 mg/100 mL.

Dengan demikian pada umur simpan orange juice kaleng setelah 10 minggu konsentrasi yang harus dicantumkan dalam label adalah:

90% x 47.66 mg/100 mL = 42.89 mg/100 mL.

Kalkulus: Diferensial

(f(x)/(x = turunan f(x) terhadap x

(f(x) df(x) f(x+(x) f(x)

Limit = = Limit

(x(0 (x dx (x(0 (x

Jika f(x) = x2, maka:

df(x) f(x+(x) f(x) (x+(x)2 x2 = Limit = Limit

dx (x(0 (x (x(0 (x

[x2 + 2x(x + ((x)2] x2

Limit

(x(0 (x

Limit (2x + (x) = 2x, jika (x = 0

(x(0

Jadi turunan f(x) = x2 adalah 2x untuk f(x) = x2, df(x)/dx = 2x

atau df(x) = 2x dx

Rumus-rumus Diferensial umum:

f(x) = xn(n.xn-1 Konstanta:

f(x) = k(0

Penjumlahan:

d[f(x) + g(x)] = df(x) + dg(x)

Perkalian:

d[f(x).g(x)] = df(x).g(x) + f(x).dg(x)

Pembagian:

d[f(x)/g(x)] = [df(x).g(x) - f(x).dg(x)]/[g(x)]2 Pemangkatan:

d[f(x)]n = n[f(x)]n-1.df(x)

Eksponensial:

d[a]f(x) = (a)f(x).d[f(x)].ln a

Logaritma:

d Ln [f(x)] = d[f(x)]/f(x)

d Log [f(x)] = d[f(x)]/[f(x).ln 10]

Aplikasi Turunan di Bidang Teknik PertanianBanyak sekali aplikasi fungsi diferensial atau turunan di bidang keteknikan pertanian, diantaranya adalah:

Mencari Nilai Maksimum dan atau Minimum suatu Fungsi

Mencari Gradien Garis Singgung suatu Kurva dari Fungsi Non Linier

Mencari Laju Peningkatan suatu Objek

Contoh Soal:

1) Diketahui fungsi sebagai berikut: y = 2x3/3 + x2/2 6x

Tentukan nilai maksimum dan minimum fungsi tersebut !

Penyelesaian:

Dalam menentukan nilai maksimum dan minimum suatu fungsi, diperlukan data tentang turunan fungsi tersebut. Nilai maksimum dan minimum suatu fungsi akan berada pada titik dimana nilai turunan fungsi tersebut sama dengan nol.

Turunan fungsi di atas adalah dy/dx = 2x2 + x 6

Selanjutnya cari akar-akar dari turunan fungsi itu pada nilai dy/dx = 0

2x2 + x 6 = 0

(2x - 3 )(x + 2) = 0

x1 = 1.5

x2 = -2

Selanjutnya untuk menentukan mana yang merupakan titik maksimum dan mana yang minimum dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu dengan metode substitusi langsung yaitu dengan cara memasukkan nilai-nilai akar dari turunan fungsi ke dalam fungsi asal; yang menghasilkan nilai terbesar adalah merupakan titik maksimum dan sebaliknya.

Cara lainnya adalah dengan jalan memasukkan nilai kedua akar turunan fungsi tersebut ke turunan kedua dari fungsi. Untuk nilai akar yang menghasilkan nilai positif (lebih besar dari nol) pada turunan kedua fungsi merupakan titik minimum; dan yang menghasilkan nilai yang negatif (lebih kecil dari nol) merupakan titik maksimum.

Turunan kedua dari fungsi adalah d2y/ d2x = 4x + 1

Untuk x = 1.5; (d2y/ d2x = 7

Untuk x = -2;(d2y/ d2x = -7

Dengan demikian x yang menghasilkan nilai maksimum pada fungsi adalah x = -2, dengan nilai fungsi sebesar:

y = 2(-2)3/3 + (-2)2 6(-2) = 8.667

dan x yang menghasilkan nilai minimum pada fungsi adalah x = 1.5 dengan nilai fungsi sebesar:

y = 2(1.5)3/3 + (1.5)2 6(1.5) = -5.625

2) Tentukan gradien garis singgung kurva berikut ini:

y = 2(x + 2)3 + 2x2 + x + 3

Pada titik x = 1

Penyelesaian:

Dalam menentukan gradien garis singgung suatu fungsi non linier, diperlukan data tentang turunan fungsi tersebut. Nilai gradien garis singgung kurva dicari dengan rumus:

Gradien = f(x1) = dy/dx pada nilai x = x1Dalam soal ini x1 yang dimaksud bernilai 1, jadi gradien garis singgung kurva dapat ditentukan dengan mensubstitusi nilai x pada turunan fungsi dengan 1.

y = 2(x + 2)3 + 2x2 + x + 3

dy/dx = 6(x + 2)2 + 4x + 1

Gradien garis singgung = 6(1 + 2)2 + 4(1) + 1

= 54 + 4 + 1 = 59

Jadi gradien garis singgung kurva fungsi y = 2(x + 2)3 + 2x2 + x + 3 adalah 59.

3) Pertumbuhan suatu mikroorganisme dapat diukur dengan melihat pertambahan massa sel menurut waktu. Pertumbuhan mikroorganisme secara umum akan selalu mengikuti model persamaan:

Log [C/Co] = kt

Tentukan laju peningkatan massa sel pada t = 10 jam jika diperlukan waktu 1.5 jam untuk terjadinya peningkatan massa sel menjadi dua kali semula dan massa sel awal yang diukur pada saat t = 0 (Co) adalah 0.10 g/L.

Penyelesaian:

Nilai k dapat didefinisikan sebagai waktu yang dibutuhkan untuk peningkatan massa sel menjadi dua kali jumlah semula.

Log (2/1) = k(1.5)

k = (Log 2)/1.5 = 0.2

Dengan demikian persamaan:

Log [C/Co] = kt

dapat ditulis menjadi

Log [C/0.10] = 0.2t

Turunan fungsi menjadi:

Log [C/0.10] = 0.2t (d{Log[C/0.1]} = d(0.2t)

d[C/0.1]

------------------ = 0.2 dt

[(C/0.1)(Ln 10)

dC/dt = 0.2C(Ln 10) = 0.9233 C

C dari persamaan asli disubstitusi untuk menghasilkan satu persamaan untuk laju peningkatan jumlah massa sel yang hanya tergantung pada nilai waktu (t):

Log [C/0.10] = 0.2t ([C/0.1] = 10(0.2 t)

C = (0.1)100.2 tUntuk menentukan turunan dari persamaan ini gunakan rumus turunan untuk fungsi eksponen.

d[a]f(x) = (a)f(x).d[f(x)].ln a

C = (0.1)100.2 t (dC = 0.1[d(100.2 t)]

dC = 0.1[100.2 t(0.2)(ln 10) dt

dC/dt = (0.04605)100.2 t

Selanjutnya persamaan ini dapat digunakan untuk menghitung peningkatan jumlah massa sel setelah t jam, untuk t = 10 jam berarti:

dC/dt = (0.04605)100.2 t

= (0.04605)100.2 (10)

= (0.04605)102 = 4.605 g/L per jam

Jadi setelah 10 jam, laju peningkatan massa sel mikroorganisme tersebut adalah sebesar 4.605 g/L per jam.

Bila diperlukan, jumlah massa sel pada saat itu (setelah 10 jam) dapat dihitung dengan rumus gabungan antara:

dC/dt = 0.9233 C dengan

dC/dt = (0.04605)100.2 t

sehingga dihasilkan persamaan baru:

0.9233 C = (0.04605)100.2 t

C = (0.04988)100.2 t

Pada saat t = 10, berarti:

C = (0.04988)102 = 4.988 g/L

dengan asumsi bahwa tidak ada kematian selama waktu tersebut.

Kalkulus: Integral Integral terkadang diartikan pula sebagai anti derivative atau anti turunan fungsi.

dy/dx = 5(y = 5x + c

dy/dx = 4x(y = 2x2 + c

dy/dx = 2x +1(y = x2 + x + c

u dx ; menunjukkan integral fungsi u(x) terhadap x

xn dx = [1/(n+1)]xn+1 + c

c[f(x)] dx = cf(x) dx

(du + dv) = du + dv

du/u = ln u + c

ean du = (1/a)ean + c

Contoh Soal:

dy/dx = 3x2 4x + 5 tentukan fungsi y = f(x) !

Penyelesaian:

dy/dx = 3x2 4x + 5(dy = 3x2 4x + 5 dx

(dy = 3x2 4x + 5 dx

y = x3 2x2 + 5x + c

Integral TertutupYang dimaksud dengan integral tertutup adalah suatu integral suatu fungsi pada batas-batas nilai integrasi yang jelas.

3

3

y = 3x2 dx(y = (3/3)x2+1 (

2 2

3

(y = x3 ( = (3)3 (2)3 = 27 8

2Aplikasi integral tertutup diantaranya adalah untuk menghitung luas daerah di bawah kurva, diantara x1 dan x2

Beberapa Rumus Geometri yang Penting

Ada beberapa rumus geometri yang akan banyak digunakan dalam perihitungan teknik pertanian, diantaranya adalah:

Lingkaran

Luas = (( D2)/4 = (.r2Keliling = (.D = 2(.r

Bola

Luas = (( D2)

Isi = (4/3)(.r3 = ((.D3)/6

Silinder

Luas = 2( rh = (.Dh

Isi = (.r2h

Y

a = slope

b = intersep

X

EMBED Excel.Sheet.8

EMBED Excel.Sheet.8

EMBED Excel.Sheet.8

EMBED Excel.Sheet.8

(f(x) f(x+(x) f(x)

Kemiringan: =

(x (x

Jika (x mendekati nol, maka

f(x) (f(x)/(x = turunan f(x) terhadap x

f(x+(x)

(f(x)

f(x)

(x

x1 x2

X

f(x)

f(x)

x1 x2 X

( (

dx

Mursalin/THP/FP/UNJA: Review Matematika 1

_1028722930.xlsChart2

2

5

10

20

35

55

90

100

Sheet1

22

65

1010

1420

1835

2255

2690

30100

Sheet1

Sheet2

Sheet3

_1028723292.xlsChart3

2

5

10

25

3

40

70

Sheet1

22

65

1010

2525

33

4540

6570

8075

9095

100100

Sheet1

Sheet2

Sheet3

_1028726805.xlsChart1

2.9912260757

3.2304489214

3.6020599913

3.7923916895

Waktu Pertumbuhan (menit)

Log Jumlah m.o

Sheet1

9802.99122607570

17003.230448921410

40003.602059991330

62003.792391689540

Sheet1

0

0

0

0

Waktu Pertumbuhan (menit)

Log Jumlah m.o

Sheet2

Sheet3

_1028721560.xlsChart1

7

12

15

18

22

26

30

34

Sheet1

27

612

915

1218

1822

2226

2630

3234

Sheet1

Sheet2

Sheet3

review matematika

Documents