ringkasan metik bab 7 word.docx

7/23/2019 Ringkasan Metik Bab 7 word.docx

http://slidepdf.com/reader/full/ringkasan-metik-bab-7-worddocx 1/23

3 DINAMIKA SISTEM PARTIKEL

3.1 Pendahuluan. Pusat Massa dan Sistem Momentum Linier

Jika dalam suatu sistem terdiri dari n partikel dengan massa m1,m,!!,mn" Dengan

#ekt$r p$sisi %ang &ersesuaian r1,r,!!,rn

m

r m

mmm

r mr mr mr

i

ii

n

nn

cm

∑=

+++

+++=

""""

""""

1

11

Kita dapat artikan &a'(a PUSAT MASSA dari

sistem, dapat ditun)ukkan se&agai titik dalam #ekt$r p$sisi r*m"

M

z m

z

n

i

ii

c

∑== 1

M

ym

y

n

i

ii

c

∑== 1

M

xm

x

n

i

ii

c

∑== 1

M+MENTM LINIER

rcm

Gambar 3.1

3.1



M$mentum linier dari se&ua' sistem partikel sama dengan ke*epatan dari pusat massa

dikalikan dengan t$tal massa"

Perpaduan dari persamaan 3"1 dan 3", maka persamaan men)adi-

Misalkan sekarang ada ga%a dari luar %aitu F1,F,!!"",.n %ang &erinteraksi dengan suatu

partikel"

Dengan tam&a'an, )ika terdapat ga%a dari dalam %ang &erinteraksi dengan dua partikel dalam

se&ua' sistem,Maka kita dapat mengartikan &a'(a ga%a internal dapat disim&$lkan dengan

Fij.

Fi merupakan ga%a eksternal t$tal pada partikel i .

Dimana Fi &erarti ga%a eksternal keseluru'an %ang &eker)a pada partikel i" Istila' kedua

dalam persamaan di atas ini merupakan pen)umla'an #ekt$r semua ga%a internal %ang

&eker)a pada partikel $le' semua partikel lain dari sistem" Menam&a'kan persamaan /"0untuk partikel n, kita memiliki-

3.2

3.3

3.5



langka' terak'ir mengikuti dari akta &a'(a g adala' k$nstan" +le' karena itu-

Jika dalam keadaan k'usus, dalam 'al ini tidak ada ga%a eksternal dengan s%arat 2 ,

acm 2, dan

cm 2k$nstan"

3.2 M!M"#TUM SU$UT $A# S%ST"M "#"&G% '%#"T%'

Dapat kita katakan &a'(a M+MENTM SDT dapat dideinisikan se&agai 'asil *r$ss

pr$duk dari r ( m)

M$mentum sudut L dari se&ua' sistem partikel dapat dideinisikan &erdasarkan )umla'

#ekt$r dari tiap4tiap m$mentum sudut"

Kemudian kami meng'itung turunan *ertama m$mentum sudut ter'adap (aktu, se'ingga

kita temukan persamaan -

3.+

3.

3.-

3.

3.1/



Sekarang persamaan kanan %ang pertama akan men0hilan0 karena )i ( )i 2 , maka miai

sama dengan t$tal ga%a partikel i.Se'ingga dapat dirumuskan dengan persamaan -

Fi menun)ukkan ga%a t$tal eksternal pada partikel I, dan Fij menun)ukkan adan%a ga%a

internal pada partikel i %ang dilakukan $le' partikel jKemudian, *enumlahan 0anda pada &agian kanan dapat disa)ikan dalam &entuk

5am&ar #ekt$r rij

Karena .ij 2 4 . ji, maka persamaan 3"1 men)adi-

3.11

3.12

Gambar 3.2

3.13



)ika sistem teris$lasi, maka N 2 , dan m$mentum sudut tetap k$nstan di kedua &esar dan

ara'

Deinisi gam&ar dari

3.1

3.15

Gambar 3.3

3.1+



Sekarang dari persamaan /"16, kita per$le'-

Atau

Dua persamaan terse&ut 'an%a men%atakan &a'(a p$sisi dan ke*epatan pusat massa, relati

ter'adap pusat massa, keduan%a n$l" Se'ingga-

"ner0i 'ineti dari Sebuah Partiel

3.1

3.1-



Seperti se&elumn%a, kita dapat menuliskan ke*epatan relati ter'adap pusat massa-

Energi Kinetik-

.3 Gera $ua 4enda an0 Salin0 4erinterasi6 Pen0uran0an Massa

Mari kita per'atikan gerak dari se&ua' sistem %ang terdiri dari &enda, misalkan

&enda terse&ut adala' partikel %ang saling &erinteraksi satu sama lain dengan suatu ga%a

sentral" Kita akan menganggap &a'(a sistem teris$lasi dan pusat massan%a &ergerak dengan

ke*epatan k$nstan, se'ingga kita akan mendapatkan pusat massan%a se&agai titik asal"

Se'ingga dapat ditampilkan-

3.1

3.2/

3.21

7.2

1

Gambar 3.



Seperti %ang ditampilkan pada gam&ar /"0, #ekt$r r1 dan r me(akili p$sisi m1 dan m,

%ang masing4masing relati ter'adap pusat massa" Jika R adala' #ekt$r p$sisi dari partikel 1

%ang relati pada partikel , se'ingga-

Langka' terak'ir diper$le' dari persamaan /"1

Persamaan dierensial dari gerak partiikel 1 %ang relati ter'adap pusat massa adala'-

Dimana 7 f 8R97 adala' &esar ga%a &ersama 8mutual force9 antara partikel terse&ut"

Dimana

3.22

3.23

3.2

3.25



ntuk dua &enda %ang saling tarik menarik $le' ga%a gra#itasi-

ntuk kasus ini persamaan gerakn%a adala'

Atau sama dengan

Dimana ek 2R:R adala' se&ua' #ekt$r satuan dengan ara' dari R"

3.2+

3.2

3.2-



Atau, untuk sistem &enda %ang lain %ang terta'an $le' gra#itasi, peri$de $r&italn%a adala'

Jika m1 dan m ditampilkan dalam satuan massa mata'ari dan a adala' dalam satuan ast$n$mi

8%ang artin%a )arak dari &umi ke mata'ari9 kemudian peri$de $r&italn%a dalam satuan ta'un

di&erikan $le' persamaan &erikut

ntuk ke&an%akan planet %ang ada dalam s%stem tata sur%a kita, penam&a'an 8dalam 'al9

massa dalam persamaan %ang lalu untuk peri$de mem&uat per&edaan massa %ang sangat ke*il

4444 massa &umi 'an%ala' 1:33, dari massa mata'ari" Planet paling &esar, Jupiter,

memiliki massa kira4kira 1:1 dari mata'ari )adi aki&ant dari pengurangan massa

$rmulan%a men)adi per'itunangan se&elum dengan per&andingan 81,1941: 2 ,;;;< untuk

peri$de re#$lusi Jupiter ter'adap mata'ari"

. Tumbuan

3.2

3.2a

3.2b



Kapanpun saat &enda &ertum&ukan, ga%a %ang &eker)a pada kedua &enda saat ter)adi k$ntak

adala' ga%a internal" Jika kedua &enda itu dianggap se&agai suatu sistem tunggal, maka

m$mentum linear t$taln%a tetap"

Atau &ila di)a&arkan

ntuk dapat meng'itung:menemukan &esarn%a ke*epatan setela' ter)adin%a tum&ukan,

di&utu'kan ke*epatan a(al masing4masing &enda se&elum &ertum&ukan" Kita )uga dapat

memasukkan nilai Q )ika nilain%a diketa'ui seperti persamaan-

Atau

Dengan Q adala' &esaran %ang mengindikasikan adan%a energi kinetik %ang 'ilang ataudiserap saat ter)adin%a tum&ukan"

Dalam kasus tum&ukan lenting sempurna, &esar energi kinetik t$taln%a tetap setela'

ter)adin%a tum&ukan sekalipun se'ingga Q=" Jika ada energi %ang 'ilang, maka Q &ernilai

p$siti dan tum&ukan ini dise&ut tum&ukan eks$ergik 8exoergic collision9" Jika ada energi

%ang diserap, maka Q &ernilai negati dan dise&ut se&agai tum&ukan end$ergi* 8endoergic

collision9"

1. Tumbuan Lan0sun0

3.3/

3.3/a

3.31

3.31a



Merupakan kasus k'usus dari tum&ukan dua &enda:partikel %ang &er'adapan, dimana

gerakann%a men%usuri garis lurus 8misalkan sum&u =9 seperti gam&ar di atas" Persamaann%a

dapat dituliskan se&agai &erikut-

Perlu diketa'ui )uga adan%a rasi$ 8per&andingan9 peru&a'an ke*epatan &enda setela'

&ertum&ukan dan se&elum &ertum&ukan atau %ang dise&ut se&agai k$eisien restitusi 8 9"ϵ

¿ v2−v 1∨¿

¿v' 2−v

' 1∨

¿

¿

ϵ =¿

2V '

V

Nilai numerik terutama tergantung pada k$mp$sisi dan susunan isik dari dua &enda"ϵ

Muda' untuk mem#eriikasi &a'(a dalam tumbuan lentin0, nilai 21" Kemudain, kamiϵ

menetapkan >2 dalam persamaan /"31a, dan men%elesaikann%a &ersama4sama dengan

persamaan /"31" untuk ke*epatan ak'ir"

Dalam kasus tumbuan an0 tida lentin0 sama seali , dua &enda tetap &ersatu setela'

&ertum&ukan, se'ingga 2"ϵ

kita dapat meng'itung nilai dari ke*epatan ak'ir dari persamaan /"3 &ersama dengan

deinisi k$eisien restitusi, persamaan /"33" ?asiln%a adala'

dan

3.32

3.33

Gambar 3.5

Tumbuan antar 2 artiel

3.3



Mengam&il kasus tidak lenting dengan menetapkan 2, kita menemukan, se&agaimanaϵ

se'arusn%a, &a'(a =@12=@, %aitu, tidak ada pantulan"

Disisi lain, dalam kasus k'usus &a'(a &enda dengan massa %ang sama, m17m2, dan lenting

sempurna, 21, maka kita mendapatkan-ϵ

ntuk mem#eriikasi &a'(a energi %ang 'ilang > &er'u&ungan dengan k$eisien restitusi,

digunakan persamaan &erikut -

ang mana B adala' massa tereduksi, dan #27#4#17 adala' peru&a'an ke*epatan &enda

se&elum ter)adin%a tum&ukan"

%m*uls dalam Tumbuan

Atau dalam &entuk dierensial-

Jika inter#al t2t1 sampai t2t maka didapatkan-



.5 Tumbuan mirin0 dan *enebaran 6 *erbandin0an laboratorium dan *usat

oordinat massa

Jika se&ua' &enda dengan massa m1 dengan ke*epatan #1 %ang menum&uk ke &enda denganmassa m denan ke*epatan #2 8&enda dalam keadaan diam9" Persamaan m$mentum

dalam kasus ini adala' -

*₁2 *₁C*₂

m₁)₁2 m₁)₁C m₂)₂C

K$ndisi persamaan energin%a %akni -

3.35

3.35a

3.3+

3.3

3.3-

3.3

3./

3.1

3.1a



atau

Apa&ila massa partikel sama, diper$le' persamaan energi seim&ang

Kemudian mengalikan dengan d$t pr$du*t dengan persamaann%a sendiri diper$le'

3.2

3.2a

Gambar 3.+

a. Sistem Laboratorium

3.3



Su&stitusi persamaan diatas diper$le'

Ketika >2

'oordinat Pusat Massa

Dari deinisi pusat masa, m$mentum linier di pusat masa adala' &aik se&elum dan sesuda'

tum&ukan " Maka kita dapat menuliskann%a dengan -

Tanda &ar pada rumus diatas digunakan untuk mengindikasikan &a'(a kuantitas di

persamaan menun)ukan kepada sistem dari pusat massa" Keseim&angan energin%a %akni -

3.

3.a

3.5

3.+

3.



Dari persamaan se&elumn%a, 'u&ungan m$mentum dapat kita ru&a' ke dalam #aria&el

ke*epatan, persamaann%a %akni -

Ke*epatan dari pusat masa adala'

Dari sini kita mendapatkan

Gambar 3.+

b.Sistem Pusat Massa

3.-

3.

3.5/



maka, dengan mem&agi, kita menemukan persamaan %ang meng'u&ungkan sudut 'am&uran

men)adi din%atakan dalam &entuk

Dalam kasus ta&rakan elastis sempurna, > 2 , se'ingga didapatkan-

3.51

Gambar 3.

3.52

3.53

3.5



.+ Gera 4enda den0an ariable Massa. Gera &oet 8Meluncur9.

Dengan menggunakan k$nsep Impuls untuk men%elesaikan masala' ini"

Mempertim&angkan kasus umum dari gerak &enda dengan mengu&a' massa"

untuk peru&a'an t$tal m$mentum linear dari sistem" +le' karena itu )ika v menun)ukkan

ke*epatan &enda dan V adala' ke*epatan kenaikan massa relati ∆m ter'adap &enda maka kitadapat menulis-

3.55

3.5+

3.5



?asil pengurangann%a adala'-

atau

Dengan demikian, dalam &atas ∆t mendekati n$l, kita memiliki persamaan umum

Di sini ga%a Fext me(akili gra#itasi, 'am&atan udara, dan se&again%a"

Dalam 'al ini ke*epatan a(al adala' n$l" +le' karena itu V = !v, dan kita

mendapatkan

ntuk kasus kedua, mempertim&angkan gerakan r$ket" Dalam 'al ini tanda m

negati, karena r$ket ke'ilangan massa dalam &entuk &a'an &akar %ang dikeluarkan"

ntuk mempermuda' kita akan men%elesaikan persamaan gerak untuk kasus ini,

dengan menga&aikan gra#itasi, 'am&atan udara, dan se&again%a"

Memisa'kan #aria&el dan mengintegrasikan untul menemukan v se&agai &erikut-

3.5-

3.5-a

3.5

3.+/

3.+1



Jika diasumsikan &a'(a V adala' k$nstan, kita dapat mengintegrasikan antara &atas

untuk menemukan ke*epatan se&agai ungsi m-

1/. 4ebera*a A*liasi dari Persamaan La0ran0e

Pada &agian ini kita akan mengilustrasikan Persamaan Lagrange dengan mengaplikasikann%a

pada &e&erapa kasus spesiik"

Pr$sedur umum untuk menemukan Persamaan Dierensial dari gerak untuk suatu sistem

adala'-

• Memili' se&ua' set k$$rdinat %ang sesuai untuk merepresentasikan k$nigurasi

sistem"

• Menentukan energi kinetik " se&agai ungsi dari k$$rdinat ini dan turunann%a

ter'adap (aktu"

• Jika sistem adala' k$nser#ati temukan dulu energi p$tensial se&agai ungsi k$$rdinat

atau )ika sistem tidak k$nser#ati temukan ga%a umum >k"

• Persamaan dierensial dari gerak di&erikan $le' Persamaan 1";, 1"11, atau 1"13"

F$nt$'-

3.+1a

3.+2



2. Partiel Tun00al Pusat

ringkasan metik bab 7 word.docx

Documents