bab 7_nilai eigen dan vektor eigen_fahrurozi

7/25/2019 BAB 7_Nilai Eigen Dan Vektor Eigen_Fahrurozi

1/29

BAB 7

NILAI EIGEN & VEKTOR EIGEN7.1 Nilai Eigen & Vektor Eigen

7.2 Diagonalisasi

7.3 Diagonalisasi Ortogonal

Achmad Fahrurozi

Universitas Indonesia

ACHMAD FAHRUROZI


2/29

7.1 Nilai Eigen & Vektor Eigen

Definisi

Jika A adalah suatu matriks berukuran nxn, maka suatu vektor tak-nol x dalam Rn disebut sebagai vektor eigen dari A jika Ax adalahperkalian skalar darix, atau dapat ditulis:

Ax = x

untuk suatu skalar . Skalar disebut nilai eigen dari A, dan xdisebut vektor eigen dari A berkorespondensi dengan.

ACHMAD FAHRUROZI


3/29

Contoh 1

Vektor x = adalah vektor eigen dari matriks

dan berkorespondensi dengan nilai eigen = 3, karena

1

2

3 0

8 1A

3 0 1 338 1 2 6Ax x

ACHMAD FAHRUROZI


4/29

Mencari Nilai Eigen

Untuk menemukan nilai eigen dari suatu matriks persegi A (artinyamatriks A diketahui), maka tulis ulang persamaan Ax= xdalamDefinisi sebelumnya menjadi:

Ax= Ix

atau equivalen dengan,(I-A)x = 0

Agar menjadi nilai eigen dari A, maka harus terdapat solusi non-trivial dari SPL homogen di atas.

Berdasarkan subbab 6.4, SPL homogen di atas akan memiliki solusi

non-trivial jika dan hanya jikadet(I-A) = 0

Persamaan di atas disebut persamaan karakteristik dari A.Sedangkan skalar yang memenuhi persamaan di atas disebut nilaieigen dari A.

ACHMAD FAHRUROZI


5/29

Contoh 2

Tentukan nilai eigen dari matriks:

0 1 0

0 0 1

4 17 8

A

ACHMAD FAHRUROZI


6/29

Contoh 3

Persamaan karakteristik dari matriks:

adalah

memiliki solusi berupa bilangan imaginer, yaitu

=idan

=-i

.

Note: Dimungkinkan terdapat nilai eigen yang merupakan bilangankompleks. Namun, dalam pembahasan kita, hanya dibatasinilai eigen bernilai riil.

2 1

5 2A

22 1

det( ) 1 05 2

I A

ACHMAD FAHRUROZI


7/29

Teorema 7.1.1

Jika A adalah matriks segitiga (atas ataupun bawah) atau matriksdiagonal berukuran nxn, maka nilai eigen dari A adalah entri-entripada diagonal utama matriks A tersebut.

ACHMAD FAHRUROZI


8/29

Contoh 4

Dengan inspeksi, maka nilai eigen untuk matriks segitiga bawah

adalah 1= , 2= , dan 3=

12

2

314

0 0

1 05 8

A

1

4

1

2

2

3

ACHMAD FAHRUROZI


9/29

Teorema 7.1.2

Pernyataan-pernyataan berikut equivalen:

(a) adalah nilai eigen dari A.

(b) SPL homogen (I-A)x = 0 memiliki solusi non-trivial.

(c) Terdapat vektor tak-nolxdalam Rn sedemikian sehingga Ax= x.

(d) adalah solusi dari persamaan karakteristik det(I-A) = 0.

ACHMAD FAHRUROZI


10/29

Mencari vektor eigen

Vektor eigen dari A yang berkorespondensi dengan nilai eigen adalah vektor tak-nol x yang memenuhi Ax = x.

Hal tersebut equivalen dengan mengatakan bahwa vektor eigen

yang berkorespondensi dengan nilai eigen adalah vektor-vektortak nol dalam ruang solusi dari SPL (I-A)x = 0, yaitu ruang nulldari matriks (I-A).

Kita sebut ruang solusi tersebut sebagai ruang eigen dari A yang

berkorespondensi dengan. Basis dari ruang eigen ini adalah vektoreigen yang berkorespondensi dengan .

ACHMAD FAHRUROZI


11/29

Contoh 5

Tentukan basis dari ruang eigen dari

Penyelesaian:

Langkah 1: Tentukan nilai-nilai eigen dari ALangkah 2: Tentukan ruang solusi untuk SPL homogen (I-A)x= 0untuk setiap yang diperoleh pada Langkah 1.

0 0 2

1 2 1

1 0 3

A

ACHMAD FAHRUROZI


12/29

Teorema 7.1.3

Jika k adalah suatu integer positif, adalah nilai eigen dari matriks A,danxadalah vektor eigen dari A yang berkorespondensi dengan ,maka kadalah nilai eigen dari matriks Akdanxadalah vektor eigen

yang berkorespondensi dengank

.

ACHMAD FAHRUROZI


13/29

Contoh 6

Tentukan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks A7, dimana

0 0 2

1 2 1

1 0 3

A

ACHMAD FAHRUROZI


14/29

Teorema 7.1.4

Suatu matriks persegi A invertibel jika dan hanya jika = 0 bukanlahnilai eigen dari A.

ACHMAD FAHRUROZI


15/29

7.2 Diagonalisasi

Definisi

Suatu matriks persegi A dikatakan terdiagonaliasi jika terdapatsuatu matriks invertibel P sedemikian sehingga P-1AP adalahmatriks diagonal. Matriks P tersebut dikatakan mendiagonalisasi A.

ACHMAD FAHRUROZI


16/29

Teorema 7.2.1

Jika A adalah matriks berukuran nxn, maka pernyataan-pernyataanberikut equivalen:

(a) A terdiagonalisasi.

(b) A memiliki n buah vektor eigen yang bebas linier.

Note: teorema di atas menunjukkan bahwa masalah vektor eigen danmasalah diagonalisasi adalah equivalen.

ACHMAD FAHRUROZI


17/29

Prosedur mendiagonalisasi matriks

Teorema sebelumnya menggaransi bahwa matriks persegi Aberukuran nxn dengan n buah vektor eigen yang bebas linier adalahmatriks terdiagonaliasi.

Bukti dari teorema tersebut dapat digunakan untuk menentukan

prosedur dalam mendiagonalisasi matriks A.

Langkah 1: Cari n buah vektor eigen yang bebas linier, sebut sajap1, p2, , pn.

Langkah 2: Bentuk matriks P dengan vektor-vektor kolomnya

adalah p1, p2, , pn.Langkah 3: Matriks P-1AP akan menjadi matriks diagonal denganentri-entri pada diagonal utamanya berturut-turut adalah i, yaitunilai eigen yang berkorespondensi dengan pi, i =1,2, , n.

ACHMAD FAHRUROZI


18/29

Contoh 1

Tentukan matriks P yang mendiagonalisasi matriks

0 0 2

1 2 1

1 0 3

A

ACHMAD FAHRUROZI


19/29

Contoh 2: Matriks tak terdiagonalisasi

Tentukan matriks P yang mendiagonaliasi matriks

1 0 0

1 2 0

3 5 2

A

ACHMAD FAHRUROZI


20/29

Teorema 7.2.2

Jika p1, p2, , pkadalah vektor-vektor eigen dari A yangberkorespondensi dengan nilai-nilai eigen berbeda1, 2, , k,maka{p1, p2, , pk} adalah himpunan yang bebas linier.

ACHMAD FAHRUROZI


21/29

Teorema 7.2.3

Jika matriks A yang berukuran nxn memiliki n buah nilai eigen yangberbeda, maka matriks A terdiagonalisasi.

ACHMAD FAHRUROZI


22/29

Definisi

Jika 0adalah nilai eigen dari suatu matriks A berukuran nxn, makadimensi dari ruang eigen yang berkorespondensi dengan 0disebutgeometric multiplicity dari 0. Sedangkan jumlah kemunculan (-0) sebagai faktor dari persamaan karakteristik dari A disebut

algebraic multiplicity dari A.

ACHMAD FAHRUROZI


23/29

Teorema 7.2.4

Jika A adalah matriks persegi, maka:

(a) Untuk setiap nilai eigen dari A, maka geometric multiplicity dari Aakan selalu lebih kecil atau sama dengan algebraic multiplicity

dari A.(b) A terdiagonalisasi jika dan hanya jika untuk setiap nilai eigen dari

A berlaku: geometric multiplicity = algebraic multiplicity.

ACHMAD FAHRUROZI


24/29

Contoh

Jika A adalah matriks berukuran nxn dan P matriks invertibel,maka untuk setiap integer positif k, berlaku:

(P-1AP)k= P-1AkP

Sehingga, jika A adalah matriks yang terdiagonalisasi, dimana

P-1AP = D adalah matriks hasil diagonaliasi, makaP-1AkP = (P-1AP)k= Dk

Atau

Ak= PDkP-1

ACHMAD FAHRUROZI


25/29

Contoh

Gunakan hasil yang diperoleh di atas untuk menentukan A13,dimana

0 0 2

1 2 1

1 0 3

A

ACHMAD FAHRUROZI


26/29

7.3 Diagonalisasi Ortogonal

Definisi

Suatu matriks A berukuran nxn dikatakan terdiagonalisasiortogonal jika terdapat matriks invertibel P yang merupakanmatriks ortogonal, sedemikian sehingga P-1AP adalah matriksdiagonal. Atau dengan kata lain P-1AP = PTAP.

ACHMAD FAHRUROZI


27/29

Teorema 7.3.1

Jika A adalah matriks berukuran nxn, maka pernyataan-pernyataanberikut equivalen:

(a) A terdiagonaliasi ortogonal.

(b) Himpunan vektor-vektor eigen dari A merupakan himpunan

ortonormal.(c) A adalah matriks simetrik.

ACHMAD FAHRUROZI


28/29

Teorema 7.3.2

Jika A adalah matriks simetrik, maka:

(a) Nilai-nilai eigen dari A adalah bilangan riil.

(b) Vektor-vektor eigen dari A yang berasal dari ruang eigen berbeda

adalah ortogonal.

ACHMAD FAHRUROZI


29/29

Contoh

Tentukan matriks ortogonal P yang mendiagonaliasi matriks

4 2 2

2 4 2

2 2 4

A

ACHMAD FAHRUROZI

bab 7_nilai eigen dan vektor eigen_fahrurozi

Documents