its undergraduate 17830 1200109024 paper

7/24/2019 ITS Undergraduate 17830 1200109024 Paper

1/7

PROPOSAL TUGAS AKHIR

DIMENSI PARTISI PADA GRAF KINCIR

PARTITION DIMENSION OF WINDMILL GRAPH

Oleh:

CHANDRA IRAWANNRP : 1200 109 024

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER

SURABAYA

2008


2/7

ABSTRAK

Misalkan G(V,E) adalah graf terhubung sederhana dan S adalah sebuah subset dari V(G),

jarak antara v dan S adalah ( ) ( ){ }SxxvdSvd = ,min, .

Himpunan berpasangan ( )k= ,....,, 21 dari V(G) dan setiap titik v pada G,

representasi dari v pada adalah k-vektor ( ) ( )( ( ) ( ) )kvdvdvdvr = ,,.....,,,, 21 ,k-partisi adalah resolving partisi jika k-vektor adalah berbeda. Nilai minimum dari kyang

merupakan resolvingk-partisi dari V(G)adalah dimensi partisi pd(G) dari G.

Graf kincir adalah graf lengkap K n yang terdapat m salinan dari graf lengkap K n dengan

sebuah titik sebagai titik pusat bersama dari semua salinan graf lengkap tersebut.

Dalam tugas akhir ini akan dibahas mengenai dimensi partisi graf kincir.

Kata kunci : resolving partisi, resolving k-partisi, dimensi partisi.

2


3/7

DIMENSI PARTISI PADA GRAF KINCIR

A. LATAR BELAKANG

Graphmerupakan salah satu struktur dasar dari ilmu komputer. Banyak permasalahan

dapat dinyatakan dalam bentuk graph dan diselesaikan menggunakan graph

pencarian/manipulasi algoritma. Graph adalah kumpulan vertek dan edge, didefinisikan

sebagai ),( EVG = , dimana V adalah kumpulan dari vertek dan Eadalah kumpulan dari

edge. Setiap edge menghubungkan satu vertek ke vertekyang lain, dan setiap vertek dapat

mempunyai banyak edgeyang menghubungkannya ke vertekyang lain.

Banyak penelitian telah dilakukan pada graph, diantaranya edge labelling, coloring graph,

teori Ramsey pada graph, vertex labelling,partition dimension of graph, dan lain-lain.

Dimensi partisi merupakan permasalahan yang menarik untuk dibahas dan banyak mendapat

perhatian dari kalangan peneliti. Beberapa hasil penelitian tentang dimensi partisi pada graph

sudah banyak dipublikasikan.

Dalam penelitian sebelumnya juga telah dibahas oleh Tomaseu, I, Javaid, I, danSlamin tentang Dimensi Partisi pada Graph Wheel. Dimensi partisi pada Graph Wheel

merupakan pd ( )nC dari graph G terhubung yang dipengaruhi oleh penambahan vertek

tunggal. Dimensi partisi pada W n untuk n3 maka pd ( )nC =3 ketika pd ( )3W = 4 seperti

pada pd ( )nW = 3 ketika 4n7 dan pd ( )nW = 4 ketika 8n19.Secara garis besar, pencarian dimensi partisi dari graphG berisi penentuan nilai k minimum

untuk resolvingk-partisi dari V(G).

Graf kincir adalah Complete graph / graf lengkap Kn yang terdapat m salinan dari

complete graph dengan sebuah vertek sebagai pusat vertek bersama dari semua salinan

complete graphtersebut.Untuk setiap vertek vdari graphterhubung dan sebuah subset S dari V(G), jarak antara v dan

S adalah d (v,S) =min {d(v,x) x S }.Untuk setiap pasangan k-partisi

{ }k

SSS ,.....,,21

= dari V(G)dan setiap vertek vdari G, merupakan representasi v pada

didefinisikan sebagai k-vektor

( ) ( )( ( ) ( ) )kSvdSvdSvdvr ,,....,,,, 21=

Partisi disebut sebagai resolving partition jika k-vektor )( )(, GVvvr , adalah

berbeda. Nilai minimum k untuk resolving k-partisi dari V(G)adalah dimensi partisi ( )Gpd dari G.[3][4]

Sejauh ini dimensi partisi kincir belum ditentukan.

Pada tugas akhir ini akan di bahas tentang Dimensi Partisi padagraf kincir.

B. PERUMUSAN MASALAH

Permasalahan-permasalahan yang ada adalah bagaimana menentukan dimensi partisi

dari graf kincirdengan 2 bilah , 3 bilah dan kemudian menentukan dimensi partisi graf kincir

dengan n-bilah.

C. BATASAN MASALAH

Adapun penelitian dalam tugas akhir ini yang dikaji adalah graph sederhana dan tak-

berarah (undirected).

3


4/7

Graphsederhana adalah graphyang tidak memuat loopdan multiple edge. Loopadalah sisi

yang menghubungkan suatu titik dengan dirinya sendiri. Jika terdapat lebih dari satu sisi yang

menghubungkan dua titik, maka sisi-sisi tersebut dinamakan multiple edge.

D. TUJUAN DAN MANFAAT PENELITIANTujuan dari penelitian ini adalah untuk mencari dimensi partisi pada graph windmill.

Adapun manfaatnya adalah :

Memberi kontribusi pada penelitian dalam bidang teori graf, utamanya dalam dimensi partisi

pada graph windmill.

E. TINJAUAN PUSTAKA

Graphadalah kumpulan vertekdan edge, didefinisikan sebagai ),( EVG = , dimana V

adalah kumpulan dari vertekdanEadalah kumpulan dari edge. Setiap edgemenghubungkan

satu vertek ke vertek yang lain, dan setiap vertek dapat mempunyai banyak edge yang

menghubungkannya ke vertekyang lain. Sebuah segmen garis yang menghubungkan duavertekdisebut dengan edge.[2].

Gambar 1. Gambar vertekdan edgegraf. V1dan V2adalah vertekdan e adalah edge.

Graph adalah himpunan dari vertek dan edge yang terbatas dimana setiap edge

menghubungkan dua vertek. GraphG mempunyai himpunan vertek )(GV dan himpunan

edge )(GE , dimana jumlahnya dinyatakan dengan )(GV atau v dan )(GE atau e.

Suatu edge yang menghubungkan dua vertek disebut dengan adjacent, sedangkan apabilasebuah vertekberhubungan dengan dua edgedisebut incident.[2]

Graph wheel

Pada graph roda nW untuk n 3 adalah nC + 1K yang menggabungkan semua

semua vertex pada nC = 0v , 1v ...... 1nv . Untuk penambahan vertek disebut pusat. Graph

W n terdiri dari vertek n+1, pusat, dan vertek n lingkaran memiliki diameter 2. Contoh graph

wheeldapat dilihat pada Gambar 2

Gambar 2. Graph Wheel

4


5/7

Graph Windmill

Windmill atau kincir adalah graph lengkap K n yang terdiri atas m salinan dari graph

lengkap K n dengan sebuah titik sebagai pusat titik bersama dari semua salinan graph

lengkap tersebut. Contohgraphdapat dilihat pada Gambar 3.

Gambar 3. Graph Windmilldengan tiga bilah( ( )33

W )

Untuk titik-titik u dan v dalam graphterhubung G, jarak ( )vud , adalah panjang darilintasan terpendek antara u dan v pada G. Untuk himpunan berpasangan

( )k

WWWW ,....,,21

= dari titik-titik dalam graph terhubung Gdan titik v pada G, adalah

vektor-k (pasangan k-tuple)

( ) ( )( ( ) ( ) )kwvdwvdwvdWur ,,.....,,,, 21=

menunjukkan matrik representasi dari vpada W. Himpunan Wdinamakan resolving set Gjika

titik-titik G mempunyai representasi berbeda. Himpunan resolving berisi jumlah minimal dari

titik-titik yang dinamakan minimum resolving setatau basis G. Jumlah titik-titik pada basis

Gadalah (metrik) dimensi = dim (G).[3][4]

Dimensi partisiGraph( pd(G) )Untuk setiap titik v dari graphterhubung dan sebuah subset S dari V(G), jarak antara v

dan S adalah

d (v,s) =min {d(v,x) x s }Untuk setiap pasangan k-partisi { }kSSS ,.....,, 21= dari V(G)dan setiap titik v dari G,merupakan representasi vpada didefinisikan sebagai k-vektor

( ) ( )( ( ) ( ) )kSvdSvdSvdvr ,,....,,,, 21=

Partisi disebut sebagai resolving partition jika k-vektor )( )(, GVvvr , adalah

berbeda. Nilai minimum k untuk resolving k-partisi dari V(G)adalah dimensi partisi ( )Gpd

dari G,sebagai contoh :Dimensi partisi pada Path (P n )

Gambar 4. Graph Path(P 4 )

P n = v1 ,v 2 , ...,v n

Misalkan dengan 2 partisi,

asumsikan ={ S1 , S 2 } adalah partisi dari V(P n ) dengan

S 1 ={ v1 } dan S 2 ={ v 2 ,v 3 , ...,v n }

5


6/7

Gambar 5. Graph Path(P 4 )dengan 2 partisi

Maka (v 1 v 1 =0) ; (v 1 v 2 =1) ; (v1 v 3 =2) ; (v 1 v 4 =3)

Berapapun nilai n, maka nilai r(v|) akan berbeda,

sehingga dapat dirumuskan

r(v 1 |)=(0,1)

r(v i |)=(i-1,0) ; untuk 2 i n

karena adalah resolvingpartisi dari P n makapd (P n )=2

F. METODOLOGI PENELITIAN

Metodologi penelitian dalam mengerjakan tugas akhir ini adalah sebagai

berikut:

1. Studi Literatur Tentang dimensi partisi graphdangraph Windmill

Mempelajari teori-teori yang berhubungan dengangraph Windmilldandimensi

partisi graph.

2. Analisa

a. Menentukan dimensi partisi pada graph Windmill.

b. Menganalisis dimensi partisi graph Windmill.

3. Evaluasi

Melakukan evaluasi terhadap analisis, untuk mengetahui apakah analisis tentang

dimensi partisi pada graph Windmillsesuai dengan yang diharapkan.

4. Penyimpulan Hasil Penelitian

Penyimpulan hasil penelitian merupakan kesimpulan dan dokumentasi dari

analisis tentang dimensi partisipadagraph Windmill.

G. JADWAL PELAKSANAAN

Kegiatan Bulan ke1 2 3 4

1.Studi literatur

2.Analisa

3.Evaluasi

4. Penyusunan Laporan

6


7/7

H. DAFTAR PUSTAKA

1. Harary, F., 1969, Graph Teory, Wesley Publishing Company,Inc.

2. Seshu, Sundaram, Reed, B., Myril, 1961, Linear Graph and Electrical Network,

Addison-Wesley Publishing Company, Inc.

3. Tomescu, I., Javaid, I., Slamin., Maret. 2007. On the partition dimension and

connected partition of wheels,

4. Chartrand, G., Salehi, E., Zhang, P., 2000. The Partition dimension of a graph.

Aequation Math 59:45-54.

7

its undergraduate 17830 1200109024 paper

Documents