mt sistem persamaan linear

7/24/2019 MT Sistem Persamaan Linear

1/45

SISTEM PERSAMAAN LIN

Systems of Linear Algebraic Equat


2/45

Sistem Persamaan Linear2

Acuan Chapra, S.C., Canale R.P., 1990, Numerical Methods for Engineers,

2nd Ed., McGraw-Hill Book Co., New York.

Chapter 7, 8, dan 9, hlm. 201-290.


3/45

Sistem Persamaan Linear3

Serangkaian npersamaan linear:

nnnnnn

nn

nn

cxaxaxa

cxaxaxa

cxaxaxa

...

.

.

.

...

...

2211

22222121

11212111

Sejumlah npersamaan linear

ini harus diselesaikan secara

simultan untuk mendapatkan

x1,x2,,xnyang memenuhisetiap persamaan tsb.


4/45

Metoda Penyelesaian

Penyelesaian

Grafis

Cramer

Eliminasi

Penyelesaian langsun

Eliminasi Gauss

Gauss-Jordan

Iteratif Jacobi

Gauss-Seidel

Successive Over Re

4

Jml. pers. sedikit, n Jml. pers. banyak, n


5/45

Metoda Grafis5

x2=

x1=

x2

x1


6/45

Metoda Grafis6

x2

x1

x2

x1

x2

ill-conditioned system singular system singular

seberimpithampir sejajar


7/45

Metoda Cramer7

Variabel tak diketahui,xi, merupakan perbandingan dua detematrix

Penyebut : determinan, D, matrix koefisien sistem persamaan

Pembilang : determinan matrix koefisien sistem persamaan sepe

namun koefisien kolom ke idiganti dengan koefisie

Contoh 3 persamaan linear

3333232131

2323222121

1313212111

cxaxaxa

cxaxaxa

cxaxaxa


8/45

Metoda Cramer8

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A A

333231

232221

131211

det

aaa

aaa

aaa

D A

D

aac

aacaac

x 33233

23222

13121

1D

aca

aca

aca

x 33331

23221

13111

2 D

aa

aa

aa

x31

21

11

3


9/45

Determinan Matrix9

Matrix bujur sangkar: nn Mencari determinan matrix

Hitungan manual

MSExcel, dengan fungsi =MDETERM()

Contoh hitungan determinan matrix 2 2 dan 3 3

2221

1211

aa

aaA A

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

B B


10/45

Determinan Matrix10

21122211

2221

1211det aaaa

aa

aaD A

312232211331233321123223332211

3231

2221

133331

2321

123332

2322

11

333231

232221

131211

det

aaaaaaaaaaaaaaa

aa

aa

aaa

aa

aaa

aa

aaaaaaa

aaa

D

B


11/45

Metoda Cramer11

4.71102.03.0

3.193.071.0

85.72.01.03

321

321

321

xxx

xxx

xxx

Contoh: 3 persamaan linear

102.03.0

3.071.0

2.01.03

3

2

1

x

x

x

CXA

353.210

3.072.01.02.0

101.01.02.03.01073det

A


12/45

Metoda Cramer12

102.04.71

3.073.19

2.01.085.7

1A

104.713.0

3.03.191.0

2.085.73

2A

3.0

1.0

3

3A

059.631det 1 A1A 883.525det 2 A2A det 3 A3A

3353.210

059.631

det

det1

A

A1x 5.2

353.210

883.525

det

det2

A

A2x

det

det3

A

A3x


13/45

Metoda Eliminasi13


122111212222121111222121

212121111212111211212111

aaxaacxaxaacxaxa

aaxaacxaxaacxaxa

2211221122 cxaaxaa

22

22

aa

acx

22

21

aa

acx


14/45

Eliminasi Gauss14

Strategi Forward elimination

Back substitution

Contoh

3 persamaan linear

3333232131

2323222121

1313212111

cxaxaxa

cxaxaxa

cxaxaxa

(1)

(2)

(3)


15/45

Eliminasi Gauss15

1

11

313313

11

3133212

11

3132

1

11

212313

11

2123212

11

2122

1313212111

ca

acxa

a

aaxa

a

aa

ca

acxa

a

aaxa

a

aa

cxaxaxa

232

222

212111

xa

xa

xaxa

Forward elimination #1 Hilangkanx1dari pers. kedua dan ketiga dengan operasi perkalia

pengurangan dengan pers. pertama.

pivot equationpivot coefficient


16/45

Eliminasi Gauss16

2

22

323323

22

3233

2323222

1313212111

ca

acxa

a

aa

cxaxa

cxaxaxa

Forward elimination #2 Hilangkanx2dari pers. ketiga dengan operasi perkalian koefisien

pengurangan dengan pers. kedua.

pivot equationpivot coefficient

33

23222

13212111

a

axa

axaxa


17/45

Eliminasi Gauss17

Back substitution Hitungx3dari pers. (3''), hitungx2dari pers. (2), danx1dari pers.

33

33

a

cx

22

32322

a

xacx

11

121211

a

axacx


18/45

Eliminasi Gauss18

Forward elimination

11

22323

22323222

11313212111

.

.

.

...

...

...

n

nn

n

nn

nn

nn

nn

cxa

cxaxa

cxaxaxa

cxaxaxaxa

,11

11

1

1

i

a

xac

x

a

cx

i

ii

ij

j

i

ij

i

i

i

n

nn

n

n

n

Back substitution


19/45

Eliminasi Gauss19

4.71102.03.0)3(

3.193.071.0)2(

85.72.01.03)1(

321

321

321

xxx

xxx

xxx



20/45

Eliminasi Gauss20

Forward elimination Eliminasix2dari Pers. 2 dan 3, Pers. 1 sebagai pivot

Eliminasix3dari Pers. 3, Pers. 2 sebagai pivot

0843.700120.1000)3(

5617.192933.00033.70)2(

85.72.01.03)1(

321

321

321

xxx

xxx

xxx

615.7002.1019.00)3(

5617.192933.00033.70)2(

85.72.01.03)1(

321

321

321

xxx

xxx

xxx


21/45

Eliminasi Gauss21

Backward substitution Menghitungx3dari Pers. 3''

70120.10

0843.703 x

Substitusix3ke Pers. 2' untuk menghitungx2

5.20033.7

72933.05617.192 x

Substitusix3danx2ke Pers. 1 untuk menghitungx1

3

3

5.21.072.085.71

x


22/45

Metoda Eliminasi22

Strategi Eliminasi variabel tak diketahui,xi, dengan penggabungan dua p

Hasil eliminasi adalah satu persamaan yang dapat diselesaikan u

mendapatkan satu variabelxi.


23/45

Kelemahan Metoda Eliminasi23

Pembagian dengan nol

Pivot coefficient sama dengan nol ataupun sangat kecil.

Pembagian dengan nol dapat terjadi selama proses eliminasi ataupu

Round-off errors

Selama proses eliminasi maupun substitusi, setiap langkah hitungan be

langkah hitungan sebelumnya dan setiap kali terjadi kesalahan; kesaterakumulasi, terutama apabila jumlah persamaan sangat besar.

Ill-conditioned systems

Ill-condition adalah situasi dimana perubahan kecil pada satu atau b

koefisien berakibat perubahan yang besar pada hasil hitungan.


24/45

Perbaikan24

Pemilihan pivot (pivoting)

Urutan persamaan dipilih sedemikian hingga yang menjadi pivot

adalah persamaan yang memberikan pivot coefficient terbesar.


25/45

Metoda Penyelesaian25

Matrix Inverse

Gauss-Jordan

Metoda Iteratif

Jacobi

Gauss-Seidel


26/45

Metoda Gauss-Jordan26

Mirip dengan metoda eliminasi Gauss, tetapi tidak diperlukan

substitution.

Contoh

3 persamaan linear

4.71102.03.0

3.193.071.0

85.72.01.03

321

321

321

xxx

xxx

xxx


27/45


4.71

3.19

85.7

101.03.0

3.071.0

2.01.03

4.71

3.19

385.7

101.03.0

3.071.0

32.031.033

101.03.0

3.071.0

066.00333.01

0200.101900.00

2933.00033.70

0667.00333.01


28/45

0120.1000

0419.010

0681.001


6150.70

5617.19

6167.2

0200.101900.00

2933.00033.70

0667.00333.01

6.70

0.7/5617.19

6.2

0200.101900.00

0033.7/2933.00033.7/0033.70033.7/0

0667.00333.01

6150.70

7931.2

6167.2

0200.101900.00

0419.010

0667.00333.01


29/45

7

7931.25236.2

100

0419.0100681.001

0120.10/0843.70

793.25236.2

0120.10/0120.100120.10/00120.10/0

0419.0100681.001


7

5.23

100

010001

x

x

x


30/45

Gauss-Jordan vs Eliminasi Gauss30

Metoda Gauss-Jordan

Jumlah operasi lebih banyak (50%)

Memiliki kelemahan yang sama dengan eliminasi Gauss

Pembagian dengan nol

Round-off error


31/45

Inversi Matrix31

CAXCXA 1

100

010

001

333131

232221

131211

aaa

aaa

aaa

1

33

1

32

1

31

1

23

1

22

1

21

113

112

111

100

010

001

aaa

aaa

aaa


32/45

Inversi Matrix32

4.71102.03.0)3(

3.193.071.0)2(

85.72.01.03)1(

321

321

321

xxx

xxx

xxx



33/45

Inversi Matrix33

100

010

001

102.03.0

3.071.0

2.01.03

A

102.03.0

3.071.0

0667.00333.01

A

0200.101900.00

2933.00033.70

0667.00333.01

A


34/45

Inversi Matrix34

100999.0

01422.00047.0

003333.0

0200.101900.00

0417.010

0667.00333.01

A

10270.01009.0

01422.00047.0

00047.03318.0

0121.1000

0417.010

0681.001

A


35/45

Inversi Matrix35

0999.00027.00101.0

01422.00047.0

00047.03318.0

100

0417.010

0681.001

A

0999.00027.00101.0

0042.01423.00052.00068.00049.03325.0

100

010001

A

1A


36/45

Inversi Matrix36

0002.7

4881.2

0004.3

4.71

3.19

85.7

0999.00027.00101.0

0042.01423.00052.0

0068.00049.03325.0

3

2

1

3

2

1

1

x

x

x

x

x

x

CAX


37/45

Metoda Iteratif: Jacobi37

3333232131

2323222121

1313212111

cxaxaxa

cxaxaxacxaxaxa

33

23213133

22

32312122

11

31321211

a

xaxacx

a

xaxacx

a

xaxacx

33

0

232

0

13131

3

22

0

323

0

12121

2

11

0

313

0

21211

1

a

xaxacx

a

xaxacx

a

xaxacx

0

0

0

0

3

0

2

0

1

x

x

x

31

3

21

2

11

1

cx

cx

cx

n

n

n

nilai awal,biasanyaxi

0= 0 ite

sam


38/45

Metoda Iteratif: Jacobi38

4.71102.03.0)3(

3.193.071.0)2(

85.72.01.03)1(

321

321

321

xxx

xxx

xxx



39/45

Metoda Iteratif: Gauss-Seidel39

33

1

232

1

131313

22

0323

112121

2

11

0313

021211

1

axaxacx

a

xaxacx

a

xaxacx

33

1

232

1

131313

22

3231

121212

11

313212111

axaxacx

a

xaxacx

a

xaxacx

nn

n

nn

n

nn

n

ite

sam


40/45

Metoda Iteratif: Gauss-Seidel40

4.71102.03.0)3(

3.193.071.0)2(

85.72.01.03)1(

321

321

321

xxx

xxx

xxx



41/45

Jacobi vs Gauss-Seidel41

12321131313

0323

11212

12

0313

02121

11

axaxacx

axaxacx

axaxacx

22322131323

1

323

2

1212

2

2

1313

12121

21

axaxacx

axaxacx

axaxacx

3302320131313

220323

01212

12

110313

02121

11

axaxacx

axaxacx

axaxacx

3312321131323

22

1

323

1

1212

2

2

111313

12121

21

axaxacx

axaxacx

axaxacx

Jacobi Gauss-Seidel


42/45

Successive Over-relaxation Method42

Dalam setiap iterasi, nilai variabel terbaru (yang baru saja di

tidak langsung dipakai pada iterasi selanjutnya

Pada iterasi selanjutnya, nilai tsb dimodifikasi dengan memasupengaruh nilai variabel lama (pada iterasi sebelumnya),xn

faktor relaxasi ldimaksudkan untuk mempercepat konvergensi hi

under-relaxation: 0 < l < 1

over-relaxation: 1 < l < 2

ni

n

i

newxxx ll 111


43/45


33

21

23211

13131

3

22

3231

1

12121

2

11

31321211

1

11

1

a

xxaxxacx

a

xaxxacx

a

xaxacx

nnnnn

nnn

n

nnn

llll

ll


44/45


4.71102.03.0)3(

3.193.071.0)2(

85.72.01.03)1(

321

321

321

xxx

xxx

xxx



45/45

mt sistem persamaan linear

Documents