Persamaan Kuadrat, Fungsi Kuadrat danPertidaksamaanPersamaan Kuadrat, Fungsi Kuadrat dan PertidaksamaanA. Persamaan KuadratPersamaan kuadrat dalam x mempunyai bentuk umum:ax2 + bx + c = 0 , a 0 a, b dan c adalah bilangan real.1. 1. Menyelesaikan Persamaan kuadratPersamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan beberapa cara, yaitu dengan:a) memfaktorkan,b) melengkapkan kuadrat sempurna,c) menggunakan rumus.1. a. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan memfaktorkanax2 + bx + c = 0 dapat dinyatakan menjadi a (x x1) (x x2) = 0.Nilai x1 dan x2 disebut akar-akar (penyelesaian) persamaan kuadrat.Contoh 1 : Selesaikan x2 4 x + 3 = 0Jawab: x2 4 x + 3 = 0(x 3) (x 1) = 0x 3 = 0 atau x 1 = 0x = 3 atau x = 1Jadi, penyelesaian dari x2 4 x + 3 = 0 adalah 3 dan 1.Contoh 2 : Tentukan himpunan penyelesaian dari (x 2)2 = x 2.Jawab: (x 2)2 = x 2x2 4 x + 4 = x 2x2 5 x + 6 = 0(x 3) (x 2) = 0x 3 = 0 atau x 2 = 0x = 3 atau x = 2Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {3 , 2}.Contoh 3 :Tentukan penyelesaian dari 2 x2 + 7 x + 6 = 0.Jawab: 2 x2 + 7 x + 6 = 02 x2 + 4 x + 3 x + 6 = 02 x (x + 2) + 3 (x + 2) = 0(x + 2) (2 x + 3) = 0x +2 = 0 atau 2 x + 3 = 0x = 2 atau x = 1Jadi, penyelesaiannya adalah 2 dan 1.1. b. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurnaPersamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dapat diselesaikan dengan mengubahnya menjadi (x + p)2 = q.Contoh 1: Tentukan himpunan penyelesaian dari x2 6 x + 5 = 0.Jawab: x2 6 x + 5 = 0x2 6 x + 9 4 = 0x2 6 x + 9 = 4(x 3)2 = 4x 3 = 2 atau x 3 = 2x = 5 atau x = 1Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah{ 1 , 5}.Contoh 2:Tentukan penyelesaian dari 2 x2 8 x + 7 = 0.Jawab: 2 x2 8 x + 7 = 02 x2 8 x + 8 1 = 02 x2 8 x + 8 = 12 (x2 4 x + 4) = 12 (x 2)2 = 1(x 2)2 = x 2 = atau x 2 = x = 2 + 2 atau x = 2 2Jadi, penyelesaiannya adalah 2 + 2 dan 2 2.1. c. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan menggunakan rumusRumus penyelesaian persamaan kuadrat a x2 + b x + c = 0 adalahContoh :Tentukan himpunan penyelesaian dari x2 + 7x 30 = 0.Jawab: x2 + 7x 30 = 0a = 1 , b = 7 , c = 30x = 3 atau x = 10Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {10 , 3}.Latihan 11. Tentukan penyelesaian persamaan kuadrat berikut ini:2. Nyatakan persamaan-persamaan kuadrat berikut dalam bentuk umum, kemudian tentukanlah akar-akarnya!3. Salah satu akar x2 mx + 12 = 0 adalah 3. Hitunglah nilai m dan akar yang lain!4. Jika x = 1 memenuhi persamaan (a 1)x2 + (3a 1)x = 3a, hitunglah a dan akar yang lain!5. Untuk percetakan kartu nama, diperlukan kertas yang berbentuk persegi panjang dengan panjang dan lebar1. x2 3x + 2 = 0 f. 2x2 + 8x 9 = 02. 3x2 9x = 0 g. 6x2 + 10x3 9 = 03. 6x2 13x + 6 = 0 h. x2 2x3 1 = 04. 5p2 + 3p + 2 = 0 i. x2 + x 506 = 05. 9x2 3x + 25 = 0 j. x2 x + 2 = 21. 2x x(x + 3) = 0 c. (x 3)2 + 2(x 3) 3 = 02. (x 3) (x + 2) 2x2 + 12 = 0 d.berselisih 4 cm, sedangkan luasnya 45 cm2. Hitunglah panjang dan lebar kartu nama itu!2. Jenis-jenis Akar Persamaan KuadratKita perhatikan kembali persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dengan akar-akarnya , b2 4ac disebut diskriminan (D). Sehingga rumus penyelesaian persamaan kuadrat dapat ditulis sebagai .Dari rumus tersebut tampak bahwa nilai x tergantung dari nilai D.Apabila:1. D > 0 maka D merupakan bilangan real positif, sehingga persamaan kuadrat mempunyai dua akar real berlainan, .2. D = 0 maka D = 0, sehingga persamaan kuadrat mempunyai dua akar real sama. .3. D < 0 maka D merupakan bilangan tidak real (imajiner), maka persamaan kuadrat tidak mempunyaiakar real atau persamaan kuadrat mempunyai akar tidak real.Contoh :Tanpa menyelesaikan persamaan lebih dahulu, tentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat berikut:1. x2 + 5 x + 2 = 02. x2 10 x + 25 = 03. 3 x2 4 x + 2 = 0Jawab :1. x2 + 5 x + 2 = 0a = 1 , b = 5 , c = 2D = b2 4ac = 52 4 . 1 . 2 = 25 8 = 17Ternyata D > 0. Jadi, persamaan x2 + 5 x + 2 = 0 mempunyai dua akar real berlainan.1. x2 10 x + 25 = 0a = 1 , b = -10 , c = 25D = b2 4ac = (-10)2 4 . 1 . 25 = 100 100 = 0Karena D = 0, maka persamaan x2 10 x + 25 = 0 mempunyai dua akar real sama.1. 3 x2 4 x + 2 = 0a = 3 , b = 4 , c = 2D = b2 4ac = (-4)2 4 . 3 . 2 = 16 24 = 8Ternyata bahwa D < 0. Jadi, persamaan 3 x2 4 x + 2 = 0 tidak mempunyai akar real.Latihan 21. Tanpa menyelesaikan persamaannya, tentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat berikut ini:1. x2 + 6x + 6 = 02. x2 + 2x + 1 = 03. 2x2 + 5x + 5 = 04. 2x2 2x 1 = 05. 6t2 5t + 1 = 06. 4c2 4c + 3 = 01. Tentukan nilai p agar persamaan kuadrat berikut mempunyai akar yang sama (kembar)!1. 4x2 + 8px + 1 = 02. 4x2 4px + (4p 3) = 03. px2 3px + (2p + 1) = 01. Persamaan x2 4px (p 1) = 0 akar kembar, tentukan persamaan kuadrat tersebut!2. Buktikan bahwa persamaan x2 px (p + 1) = 0 mempunyai dua akar real berlainan!3. Buktikan bahwa mempunyai dua akar real berlainan!3. Jumlah dan hasilkali akar-akar persamaan kuadrat1. Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 mempunyai akar x1 dan x2.ax2 + bx + c = 0x2 + x + = 0Karena x1 dan x2 merupakan akar-akar persamaan kuadrat, maka :Jadi, , .Contoh:Akar-akar x2 3x + 4 = 0 adalah x1 dan x2. Dengan tanpa menyelesaikan persamaan tersebut, hitunglah nilai:1. x1 + x2 d.2. x1.x2 e. x13 + x23 3. x12 + x22Jawab: x2 3 x + 4 = 0 a = 1 , b = 3 , c = 4a. x1 + x2 = 3b. x1.x2 = 4c. x12 + x22 = x12 + x22 + 2 x1.x2 2 x1.x2= (x1 + x2)2 2 x1 x2 = 2 (-3)2 2 . 4 = 1e. (x1 + x2)3 = x13 + 3 x12 x2 + 3 x1 x22 + x23= x13 + 3 x1 x2 (x1 + x2) + x23x13 + x23 = (x1 + x2)3 3 x1 x2 (x1 + x2)= 33 3 . 4 (3)= 27 36 = 9Latihan 31. Tanpa menyelesaikan persamaannya, tentukan jumlah dan hasilkali akar-akar persamaan berikut:2. Akar-akar persamaan x2 + 2x + 5 = 0 adalah p dan q. Dengan tidak menyelesaikan persamaan itu, hitunglah:3. Jumlah kuadrat akar-akar persamaan x2 (k + 2)x + 2k = 0 adalah 20. Hitunglah nilai k.4. Jumlah kebalikan akar-akar persamaan ax2 (a + b)x + 2a = 0 adalah 2. Hitunglah nilai a.5. Akar-akar persamaan x2 + ax + b = 0 adalah x1 dan x2.1. x2 5x + 7 = 0 d. bx2 + ax + c = 02. 2x2 7 = 0 e.3. 4x2 3x = 0 f. (x p)2 + (x q)2 = p2 + q21. p2 + q22. (p + 2) (q + 2)3. (p 2q) (q 2p)Tentukan hubungan antara a dan b jika diketahui xi2 x1x2 + x22 = 5.4. Menyusun Persamaan KuadratPersamaan kuadrat dapat disusun dengan:v menggunakan perkalian faktor,v menggunakan jumlah dan hasilkali akar-akar.1. a. Menyusun persamaan kuadrat dengan menggunakan perkalian faktorPada bahasan terdahulu, persamaan kuadrat x2 + p x + q = 0 dapat dinyatakan sebagai(x x1) (x x2) = 0 sehingga diperoleh akar-akar persamaan itu x1 dan x2. Dengan demikian jika akar-akarpersamaan kuadrat x1 dan x2 maka persamaannya adalah (x x1) (x x2) = 0.Contoh 1:Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 dan -2.Jawab: (x x1) (x x2) = 0(x 3) (x (-2)) = 0(x 3) (x + 2) = 0x2 3 x + 2 x 6 = 0x2 x 6 = 0.Contoh 2:Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya dan !Jawab: (x ) (x ) = 0= 06 x2 2 x 3 x + 1 = 06 x2 5 x + 1 = 01. b. Menyusun persamaan kuadrat menggunakan jumlah dan hasil kali akar-akarPersamaan .Dengan menggunakan x1 + x2 = dan x1 x2 = , maka akan diperoleh persamaan:x2 (x1 + x2)x + x1x2 = 0.Contoh:Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2 dan 3.Jawab: x1 + x2 = -2 3 = 5x1 x2 = 6Jadi, persamaan kuadratnya x2 (5)x + 6 = 0 atau x2 + 5x + 6 = 0.1. c. Menyusun persamaan kuadrat yang akar-akarnya berkaitan dengan akar-akar persamaan kuadrat lainSeringkali kita mendapatkan suatu persamaan kuadrat yang akar-akarnya berhubungan dengan akar-akar persamaan yang lain.Contoh 1:Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 3 lebih dari akar-akar persamaan x2 2x + 3 = 0.Jawab:Misal akar-akar persamaan x2 2x + 3 = 0 adalah x1 dan x2. x1 + x2 = 2 , x1 x2 = 3.Jika akar-akar persamaan kuadrat baru adalah p dan q, maka p = x1 + 3 dan q = x2 +3p + q = (x1 + 3) + (x2 + 3) p q = (x1 + 3) (x2 + 3)= x1 + x2 + 6 = x1 x2 + 3(x1 + x2) + 9= 2 + 6 = 8 = 3 + 2(2) = 9 = 18Persamaan kuadrat yang akar-akarnya p dan q adalah x2 (p + q) + pq = 0.Persamaan kuadrat baru adalah x2 8x + 18 = 0.Contoh 2:Susunlah persamaan kuadrat baru yang akarnya 2 kali akar persamaan 2x2 3x + 1 = 0.Jawab:Misalkan akar-akar persamaan 2x2 3x + 1 = 0 adalah x1 dan x2 serta persamaan kuadrat baru adalah a dan b, maka a = 2x1 dan b = 2x2a + b = 2(x1 + x2) = 2a b = 2x1 . 2x2 = 4x1 x2 = 4 . = 2Persamaan kuadrat yang akarnya a dan b adalah:x2 (a + b)x + ab = 0.Persamaan kuadrat baru adalah x2 3x + 2 = 0..Latihan 41. Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya:2. Jumlah dan hasilkali akar-akar persamaan kuadrat berturut-turut adalah dan . Tentukan persamaan kuadratnya!3. Akar-akar persamaan kuadrat x2 4x 6 = 0 adalah a dan b. Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya:4. Akar-akar persamaan kuadrat 3x2 + 2x + 1 = 0 adalah a dan b. Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya:5. Diketahui persamaan 2x2 5x + 3 = 0. Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya:1. 1 dan 32. 2 dan -43. -1 dan -54. 2 dan 225. (p + q) dan (p q)1. (a + 1) dan (b + 1)2. (a 3) dan (b 3)1. 4a dan 4b2. a dan b3. (2a + 1) dan (2b + 1)4. a2 dan b21. berlawanan dengan akar-akar persamaan yang diketahui.2. kebalikan akar persamaan yang diketahui.B. Fungsi Kuadrat1. 1. PengertianFungsi f pada R yang ditentukan oleh: f(x) = ax2 + bx + c dengan a, b, dan c bilangan real dan disebut fungsi kuadrat.Jika f(x) = 0 maka diperoleh persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0. Nilai-nilai x yang memenuhi persamaan itu disebut nilai pembuat nol fungsi f.Nilai fungsi f untuk x = p ditulis f(p) = ap2 + bp + c.Contoh 1:Ditentukan: f(x) = x2 6x 7Ditanyakan:1. nilai pembuat nol fungsi f2. nilai f untuk x = 0 , x = 2Jawab:1. Nilai pembuat nol fungsi f diperoleh jika f(x) = 0x2 6 x 7 = 0(x 7) (x + 1) = 0x = 7 atau x = 1Jadi pembuat nol fungsi f adalah 7 dan 11. Untuk x = 0 maka f(0) = 7x = 2 maka f(2) = (2)2 6 (2) 7 = 9Contoh 2:Tentukan nilai p agar ruas kanan f(x) = 3 x2 + (p 1) + 3 merupakan bentuk kuadrat sempurna.Jawab :Supaya merupakan suatu kuadrat sempurna, syaratnya D = 0.D = (p 1)2 4 . 3 . 3 = 0p2 2p 35 = 0(p 7) (p + 5) = 0p = 7 atau p = 5Jadi, agar ruas kanan f(x) merupakan suatu kuadrat sempurna, maka p = 7 atau p = 5.Periksalah jawaban itu.1. 2. Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi KuadratUntuk menentukan nilai maksimum/minimum fungsi kuadrat, perhatikan uraian berikut:1) f(x) = x2 2x 3= x2 2x + 1 4=(x 1)2 4Bentuk kuadrat selalu bernilai positif atau nol, maka (x 1)2 mempunyai nilai paling kecil (minimum) nol untuk x = 1. Dengan demikian (x 1)2 4 mempunyai nilai terkecil 0 4 = 4.Jadi, f(x) = x2 2x 3 mempunyai nilai terkecil (minimum) 4 untuk x = 1.2) f(x) = x2 + 4x + 5= x2 + 4x 4 + 9= (x2 4x + 4) + 9= (x 2)2 + 9Nilai terbesar dari (x 2)2 sama dengan nol untul x = 2.Dengan demikan nilai terbesar dari (x 2)2 + 9 adalah 0 + 9 = 9.Jadi, f(x) = (x 2)2 + 9 atau f(x) = x2 + 4x + 5 mempunyai nilai terbesar (maksimum) 9 untuk x = 2.Sekarang perhatikan bentuk umum f(x) = ax2 + bx + cDengan uraian di atas, diperoleh:Fungsi kuadrat f(x) = a x2 + b x + cUntuk a > 0, f mempunyai nilai minimum untukUntuk a < 0, f mempunyai nilai maksimum untukContoh:Tentukan nilai minimum fungsi f(x) = 2x2 + 4x + 7Jawab:f(x) = 2x2 + 4x + 7 , a = 2 , b = 4 , c = 7Nilai minimum fungsi f = 5Latihan 51. Diketahui: f(x) = x2 4x 6Ditanya: a. nilai pembuat nol fungsib. nilai f(x) , jika x = 0c. f(2) , f(1) , f(p)1. Tentukan nilai minimum atau maksimum dari fungsi berikut ini:2. Fungsi kuadrat f(x) = 2x2 px + 3 mempunyai nilai minimum untuk x = 2. Hitunglah nilai minimum itu!3. Nilai maksimum f(x) = ax2 + 4x + a adalah 3. Hitunglah nilai a !4. Selisih dua bilangan positif adalah 3. Tentukan kedua bilangan itu agar hasilkalinya minimum!5. Suatu fungsi kuadrat mempunyai nilai minimum 2 untuk x = 3, dan mempunyai nilai 6 untuk x = 1. Tentukan fungsi kuadrat tersebut!1. f(x) = x2 + 4x + 42. f(x) = 2x2 4x + 33. f(x) = 3 x2 + 12x 84. f(x) = 7 + 12x 3x25. f(x) = (2x + 1) (x =- 3)6. f(x) = (2x 1)21. 3. Grafik Fungsi Kuadrat

Grafik fungsi kuadrat f : x y = a x2 + b x + c grafiknya berbentuk parabola.Gambar 7.1 Gambar 7.2Perhatikan Gambar 7.1 dan 7.2 Titik A dan titik B adalah titik potong dengan sumbu-X. Titik C merupakan titik potong grafik dengan sumbu-Y. Titik P merupakan titik balik/puncak parabola. Garis yang melalui puncak dan sejajar dengan sumbu-Y disebut sumbu simetri.Cara melukis grafik fungsi kuadrat dengan menentukan:1) Titik potong grafik dengan sumbu-X.Titik potong itu terletak pada sumbu-X sehingga absis titik tersebut diperoleh jika y = 0, makaa x2 + b x + c = 0. Karena a x2 + b x + c = 0 merupakan persamaan kuadrat, maka banyaknya titik potong dengan sumbu-X tergantung pada D (diskriminan).D > 0 terdapat dua titik potong yang berlainan, yaitu (x1 , 0) dan (x2 , 0).D = 0 terdapat satu titik potong yang disebut titik singgung.D < 0 tidak mempunyai titik potong dengan sumbu-X.2) Titik potong dengan sumbu-Y.Karena titik potong terletak pada sumbu-Y, maka ordinat titik potong itu diperoleh jika x = 0. Sehingga koordinatnya (0 , c).3) Sumbu simetriKarena sumbu simetri adalah garis yang melalui titik puncak dan sejajar sumbu-Y maka persamaan sumbu simetri adalah:4) Titik Puncak/ BalikKoordinat titik puncakCatatan: Grafik fungsi kuadrat dengan persamaan y = a x2 + b x + c berbentuk parabola. Parabola terbuka ke atas jika a > 0. Parabola terbuka ke bawah jika a < 0.Contoh:Buatlah sketsa grafik y = x2 2x 3 untuk x e R.Jawab:Titik potong dengan sumbu-X diperoleh jika y = 0.x2 2x 3 = 0(x 3) (x + 1) = 0x = 3 dan x = 1Koordinat titik potongnya adalah : A(3 , 0) dan B(1 , 0)Titik potong dengan sumbu-Y diperoleh jika x = 0y = 0 0 3 = 3Koordinat titik potongnya C(0 , 3)Sumbu simetri, garisTitik puncak D(1 , 4)Hubungkan titik-titik A, B, C, dan D serta perhalus, sehingga diperoleh grafik fungsiy = x3 2x 3.Latihan 61. Tentukan koordinat titik potong grafik fungsi kuadrat berikut ini, dengan sumbu koordinat:1. y = x2 4x 5 c. y = -2x2 + 5x 32. y = x2 + 4x + 4 d. y = 2x2 5x + 41. Tentukan koordinat titik puncak/balik grafik fungsi pada soal no. 1 di atas!1. Grafik fungsi kuadrat y = 2x2 px + 3 mempunyai sumbu simetri garis x = 2. Tentukan koordinat titik puncak !1. Gambarlah sketsa grafik fungsi kuadrat berikut ini dengan langkah-langkah:1. y = x2 6x + 8 d. y = x2 22. y = (x 5)2 e. y = x2 + 33. y = 16 x2 f. y = x2 + 2x + 24. Menentukan Fungsi Kuadrat yang Grafiknya Memenuhi Syarat-syarat TertentuSuatu fungsi kuadrat dapat ditentukan apabila fungsi itu:1. melalui tiga titik yang berlainan.2. memotong sumbu-X dan melalui sebuah titik lain.3. melalui sebuah titik dan koordinat titik terendah/tertinggi diketahui.4. menyinggung sumbu-X dan melalui sebuah titik.1. a. Fungsi kuadrat yang grafiknya melalui tiga buah titikContoh:Tentukan persamaan grafik fungsi kuadrat yang melalui titik (1 , 0) , ( 1 , 8 ) dan ( 2, 6 ).Jawab :Misal persamaan grafik adalah y = a x2 + b x + cGrafik melalui titik (1 , 0) 0 = a(1)2 + b (1) + c0 = a b + c . (1)Grafik melalui titik (1 , 8) 8 =a (1)2 + b (1) + c8 = a + b + c . (2)Grafik melalui titik ( 2 , 6 ) 6 = a (2)2 + b (2) + c6 = 4 a + 2 b + c (3)Dari persamaan (1), (2), dan (3) dapat ditentukan nilai a, b, dan c dengan cara eliminasi.(1) a b + c = 0 (2) a + b + c = 8 a b + c = 0(2) a + b + c = 8 (3) 4a + 2b + c = 6 2 4 + c = 02b = 8 3a b = 2 c = 6b = 4 3a 4 = 2a = 2Jadi, fungsi kuadrat itu adalah y = 2x2 + 4x + 6.b. Fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-XMisalkan titik potongnya (p , 0) dan (q , 0).(p , 0) dan (q , 0) memenuhi persamaan y = a x2 + b x + c sehingga 0= ap2 + bp + c dan0= aq2 + bq + c . Kedua persamaan itu dikurangkan, akan diperoleh:0 = a(p2 q2) + b(p q)b(p q) = a(p2 q2)= a(p + q) (p q)b = a(p + q)Substitusikan b = a(p + q) ke ap2 + bp + c = 0ap2 + ( a(p + q)) p + c = 0ap2 ap2 pqa + c = 0c = pqaUntuk b = a(p + q) dan c = pqa makay = a x2 + b x + c y = ax2 a(p + q)x + pqa= a(x2 (p + q)x + pq)= a(x p) (x q)Jadi, y = a(x p) (x q) adalah fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-X di (p,0) dan (q,0).Contoh:Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-X di titik (5,0) dan (1,0), serta melalui titik (3, 8) !Jawab:Grafik memotong sumbu-X di titik (5,0) dan (1,0), maka fungsi kuadratnyay = a(x (5)) (x 1)= a(x + 5) (x 1)Grafik melalui titik (3, 8), berarti8 = a(3+5) (3 1)= 8aa = 1Substitusikan a = 1 pada y = a(x + 5) (x 1) sehingga diperoleh y = x2 + 4x 5.Jadi, fungsi kuadratnya adalah y = x2 + 4x 5.1. c. Menentukan fungsi kuadrat jika koordinat titik puncak grafik fungsi itu diketahuiKoordinat titik tertinggi/ terendah grafik fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c adalah .Dengan melihat kembali kajian terdahulu, maka fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c dapatdinyatakan dengan .Sehingga fungsi kuadrat yang berpuncak di (p , q) adalah y = a (x p)2 + qContoh:Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya mempunyai titik tertinggi (1,3) dan melalui titik (0,0).Jawab:Fungsi kuadrat yang grafiknya berpuncak di (1,3) adalah y = (x 1)2 + 3Grafik melalui titik (0,0) berarti:0 = a(0 1) + 30 = a + 3a = 3Substitusikan a = 3 pada y = a (x 1)2 + 3 maka diperolehy = 3 (x 1)2 + 3y = 3 (x2 2x + 1) + 3y = 3x2 + 6xJadi, fungsi kuadratnya adalah y = 3x2 + 6x.d. Fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu-XPerhatikan kembali bahasan tentang Titik potong grafik dengan sumbu-X. Grafik akan menyinggung sumbu-X jika dan hanya jika b2 4ac = 0, maka koordinat titik tertinggi atau terendah adalah (,0).Sehingga .Jadi, fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu-X adalah .Sehingga fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu X adalah y = a(x p)2Contoh:Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu-X di titik (2,0) dan melalui titik (0,4) !Jawab:Fungsi kwadrat yang grafiknya menyinggung sumbu X di (2,0) adalahy = a (x 2)2Grafik melalui titik (0,4) berarti :4 = a(0 2)2 = 4aa = 1Jadi, fungsi kuadrat itu y = 1(x 2)2 atau y = x2 4x + 4.Latihan 71. Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titik (2, 12), (1, 3), dan (5, 5) !1. Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titik (3, 2), (5, 4), dan (1,-1!1. Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-X di titik (2, 0), dan (4, 0) serta melalui titik (0, 2) !1. Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-X di titik (4, 0) dan (1, 0) serta melalui titik (2, 2)1. Koordinat titik puncak grafik fungsi kuadrat adalah (1, 1). Tentukan fungsi kuadrat itu jika grafiknya melalui titik (0, 1) !1. Koordinat titik puncak grafik fungsi y = ax2 + bx + 5 adalah (4, 9). Tentukan fungsi kuadratnya!1. Suatu parabola menyinggung sumbu-X di titik (2, 0) dan melalui titik (0, 1). Tentukan persamaan parabola!1. Sebuah fungsi kuadrat mempunyai nilai tertinggi 3 untuk x = 2, sedangkan grafiknya melalui titik(2, 11). Tentukan fungsi kuadratnya!1. Suatu fungsi kuadrat, grafiknya memotong sumbu-X di titik (2, 0) dan (5, 0), sedang fungsi itu mempunyai nilai maksimum 9. Tentukan fungsi kuadrat tersebut!1. Grafik fungsi y = (p+3)2 2(p 1)x + (2p 5) mempunyai titik puncak yang absisnya p. Tentukan fungsi kuadrat itu!C. Pertidaksamaan1. Pertidaksamaan LinearBerdasarkan penyelesaiannya, pertidaksamaan linear terbagi menjadi :1. Pertidaksamaan biasa, yaitu pertidaksamaan yang memiliki himpunan penyelesaian.Contoh : 2 x + 3 < 51. Pertidaksamaan identik, yaitu pertidaksamaan yang berlaku untuk semua nilai peubah.Contoh : x + 5 < 2x + 101. Pertidaksamaan palsu, yaitu pertidaksamaan yang tidak mempunyai himpunan penyelesaian.Contoh x + 8 < x + 4Contoh 1 :Tentukan nilai x yang memenuhi 2 x + 4 > x + 3 !Jawab :2 x + 4 > x + 32 x x > 3 4x > 4Contoh 2 :Selesaikanlah 3 x + 5 < 5 x + 7 !Jawab :3 x + 5 < 5 x + 73 x 5 x < 7 5- 2 x < 2x > 1 (Catatan : ruas kiri dan kanan dibagi dengan bilangan negatif,tanda pertidaksamaan berubah)Latihan 8Tentukan nilai-nilai x yang memenuhi pertidaksamaan berikut :1. 4 x > 12 6. 2 x + 1 5 x 42. 2 x < 7 7. 8 x + 2 5 x 103. 4 + 3 x 8 8.4. 9 3 x 6 9.5. 2 x + 3 x + 4 10.Tentukan nilai-nilai x dengan kemungkinan-kemungkinannya !1. p x p < 0 13. p x + q x < p + q2. a x a3 14. a x + 1 > x + aTentukan nilai x yang memenuhi:1. 161. Pertidaksamaan KuadratDalam menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dilakukan langkah-langkah berikut :1. Jadikan ruas kanan nol.2. Uraikan ruas kiri atas faktor linear3. Tentukan nilai pembuat nol ruas kiri4. Buat garis bilangan dan tempatkan nilai pembuat nol ruas kiri pada garis bilangan5. Tentukan tanda-tanda ruas kiri pada garis bilangan.6. Tentukan penyelesaian pertidaksamaan.Contoh 1 :Selesaikan x2 2x 8 0 !Jawab :x2 2 x 8 0(x 4 ) (x + 2) 0Garis bilangan :+ + + + + | - - - | + + + +2 4Nilai x yang memenuhi :x 2 atau x 4Contoh 2 :Selesaikan 3 x2 + 2 x < 3 6 x !Jawab :3 x2 + 2 x < 3 6 x3 x2 + 2 x + 6 x 3 < 03 x2 + 8 x 3 < 0(3 x 1) (x + 3) < 0Nilai pembuat nol : 3x 1 = 0 dan x + 3 = 03x = 1 x = 3x =Garis bilangan+ + + + | - - - - | + + + + +o o3Karena permintaan adalah negatif, maka nilai x yang memenuhi adalah 3 < x 0 8. 5 x2 + 15 x 2 (x + 3)4. x2 x < 3 x 9. 3 2 x 9 x 6 x25. 2 x x2 0 10. 2 x2 3 x 5 0Pemakaian Diskriminan Persamaan KuadratPada sub bab terdahulu, telah dibahas diskriminan persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 yaitu D = b2 4ac . Selain itu dibahas pula jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat.Pada bagian ini akan dibahas pemakaian diskriminan yang berhubungan dengan :1. jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat2. tanda-tanda fungsi kuadrat3. garis dan parabola1. a. Hubungan diskriminan dengan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadratHubungan diskriminan dengan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat dapat menentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat serta dapat menentukan koefisien-koefisien persamaan kuadrat yang meme-nuhi syarat tertentu.Bagan berikut menunjukkan syarat-syarat yang harus dipebuhi oleh persamaan kuadrata x2 + b x + c = 0 , a 0 yang akar-akarnya x1 dan x2 . a x2 + bx + c = 0a 0D < 0 D = b2 4 a c D = 0Akar imajiner Akar kembar(x1 = x2)

x1 = 0 , x2 0 x1 = x2 x1 = x1 = + , x2 = + x1 = , x2 = x1 = , x2 = +c = 0 berlawanan kebalikan a, c tanda sama a,b,c tanda a, c tandab = 0 a = c b berbeda sama berbedaContoh 1 :Tentukan nilai p agar x2 2 p x + 2p + 15 = 0 mempunyai :1. akar kembar2. kedua akar tandanya berlawananJawab :1. x2 2 p x + 2p + 15 = 0 b. Syarat kedua akar tandanya berlawanan D > 0 ; x1 . x2 < 0a = 1 , b = 2p dan c = 2p + 15 b2 4 a c > 0 x1 . x2 < 0 Agar kedua akar kembar, maka D = 0 (2 p)2 4 . 1 . (2 p + 15) > 0 < 0b2 4 a c = 0 4 p2 8 p 60 > 0 2 p + 15 < 0(2 p)2 4 . 1 . (2 p + 15) = 0 p2 2 p 15 > 0 2 p < 154 p2 8 p 50 = 0 (p 5) (p + 3) > 0 p < 7p2 2 p 15 = 0 + + + + - - - - - + + + + +(p 5) (p + 3) = 0 o op = 5 atau p = 3 3 5Jadi nilai p adalah 5 dan 3 p < 3 atau p > 5Dari syarat (1) dan (2) diperoleh :

o o3 5o7Jadi : p < 7Latihan 101. Tentukan nilai p agar persamaan berikut mempunyai dua akar yang sama ! 1. x2 + 2 p x + 4 = 02. x2 + px + p + 3 = 01. Tentukan nilai p agar persamaan berikut mempunyai akar akar real yang berlainan ! 1. x2 + p x + p = 02. x2 (p + 3) x + 2 p + 2 = 03. p x2 + 3 x + p = 01. Tentukan nilai p agar (4 p) x2 + 11 x + p + 6 = 0 mempunyai akar berkebalikan !1. Persamaan x2 + (2 m 1) x + m2 3 m 4 = 0 mempunyai akar berlawanan. Tentukan nilai m !1. Tentukan nilai m agar x2 + 2 m x m2 + 5 m 6 = 0 mempunyai : 1. dua akar berlawanan2. dua akar berlawanan tanda3. dua akar positif1. b. Tanda-tanda fungsi kuadratKedudukan parabola y = a x2 + b x + c terhadap sumbu-X tergantung pada nilai a dan nilai diskriminan .1. Berdasarkan tanda aa > 0 , grafik fungsi kuadrat mempunyai titik balik minimum (parabola terbuka ke atas).a < 0 , grafik fungsi kuadrat mempunyai titik balik maksimum (parabola terbuka ke bawah).1. Berdasarkan tanda D = b2 4 a cD > 0 maka grafik fungsi kuadrat memotong sumbu-X di dua titik yang berlainan.D = 0 maka grafik fungsi kuadrat memotong sumbu-X di dua titik yang sama atau parabola menyinggung sumbu-X.D < 0 maka grafik fungsi kuadrat tidak memotong sumbu-X dan juga tidak menyinggung sumbu-X.Dengan menggabungkan tanda-tanda a dan tanda-tanda D, diperoleh kemungkinan bentuk-bentuk parabola sebagai berikut:

Dengan memperhatikan gambar-gambar di atas, diperoleh kesimpulan:Fungsi kuadrat yang dinyatakan dengan f(x) = a x2 + b x + c = 0 , a 0.Untuk a > 0:1) D > 0 dapat diuraikan menjadi :f(x) = a (x x1) (x x2)f(x) > 0 untuk x < x1 dan x > x2f(x) < 0 untuk x1< x < x22) D = 0 dapat diuraikan menjadi :f(x) = a (x x1)2f(x) > 0 untuk semua nilai x kecuali untuk x = x1 maka f(x) = 03) D < 0 tidak dapat diuraikan menjadif(x) selalu positif untuk setiap x , disebut definit positif.Untuk a < 0:1) D > 0 dapat diuraikan menjadi :f(x) = a (x x1) (x x2)f(x) < 0 untuk x < x1 dan x > x2f(x) > 0 untuk x1< x < x22) D = 0 dapat diuraikan menjadi :f(x) = a (x x1)2f(x) > 0 untuk semua nilai x kecuali untuk x = x1 maka f(x) = 03) D < 0 tidak dapat diuraikan menjadi :f(x) selalu positif untuk setiap x , disebut definit negatif.Contoh 1:Tentukan batas-batas nilai p agar fungsi f(x) = x2 4 x m + 2 definit positif.Jawab:f(x) = x2 4 x m + 2Syarat agar fungsi kuadrat definit positif adalah a > 0 dan D < 0.a = 1 bilangan positifD = (4)2 4 (1) (m + 2) = 16 + 4 m 8= 4 m + 8D < 0 4 m + 8 < 0m < 2Jadi, agar f(x) = x2 4 x m + 2 definit positif, maka m < 2Contoh 2:Tentukan fungsi kuadrat yang hanya negatif bagi 2 < x < 2 dan grafiknya melalui titik (3, 10) !Jawab:Fungsi kuadrat y = f(x)y < 0 untuk 2 < x < 2 berarti parabola terbuka ke atas.y = a(x + 2) (x 2), melalui titik (3, 10) berarti10 = a(3 + 2) (3 2)= 5aa = 2Jadi, y = 2(x + 2) (x 2) atau y = 2x2 8.Latihan 111. Tentukan batas-batas x supaya fungsi berikut ini negatif!1. y = x2 7x + 10 b. y = 6x2 5x 6 c. y = 2x2 + x 61. Tentukan nilai x agar fungsi berikut ini positif!1. y = x2 x 2 b. y = x2 + 2x + 8 c. y = 2x2 9x 51. Tentukan batas-batas m supaya y = x2 +6x + m positif untuk setiap nilai m !1. Tentukan batas-batas nilai p supaya fungsi berikut ini definit positif !1. y = x2 2px + 3p + 4 b. y = (p + 2)x2 (2p + 1)x + (p 2)1. Tentukan nilai a supaya y = (a 1)x2 + 2ax + a tidak positif untuk setiap harga x !1. Tentukan fungsi kuadrat menjadi negatif untuk 2 < x < 4 dan mempunyai minimum 6 !1. Tentukan fungsi kuadrat yang hanya positif untuk 1 < x < 2 dan melalui titik (0, 2) !1. Diketahui dua buah fungsi yang dinyatakan oleh f(x) = 3x2 + mx + 2m2 dan g(x) = x2 + 2mx + m2. Jika grafik f(x) selalu di atas grafik g(x), tentukan batas-batas m !1. c. Persamaan Garis Singgung pada Grafik Fungsi ParabolaAntara garis lurus dan grafik fungsi kuadrat terdapat tiga hubungan, yaitu:v garis memotong grafikv garis menyinggung grafikv garis tidak memotong dan tidak menyinggung grafik.Koordinat titik potong antara garis y = mx + n dan grafik fungsi kuadrat y = ax2 + bx+c diperoleh dengan mencari nilai x dan y yang memenuhi kedua persamaan tersebut.Garis lurus y = mx + n (1)Parabola y = ax2 + bx + c (2)Persamaan (1) disamakan dengan persamaan (2), maka diperoleh ax2 + (b m)x + c n, merupakan persamaan kuadrat dalam x, sehingga terdapat kemungkinan sebagai berikut:1) D > 0 mempunyai dua akar real berlainan yang berarti terdapat dua titik potong atau garis memotong parabola.2) D = 0 mempunyai sebuah akar kembar, yang berarti mempunyai sebuah titik persekutuan atau garis menyinggung parabola.3) D < 0 tidak mempunyai akar real, yang berarti garis tidak memotong parabola.Contoh 1:Tentukan koordinat titik potong garis y = x + 5 dengan parabola y = x2 3x.Jawab: y = x + 5 dan y = x2 3x disamakanx + 5 = x2 3 x Untuk x = 5 maka y = 5 + 5 = 10x2 4 x 5 = 0 Untuk x = 1 maka y = 1 + 5 = 4(x 5) (x + 1) = 0x = 5 dan x = 1Jadi, koordinat titik potong antara garis y = x + 1 dan parabola y = x2 3xadalah (5, 10) dan (1, 4).Contoh 2:Tentukan nilai m, supaya garis y = x + m menyinggung parabola y = x2 2 .Jawab: y = x + m dan y = x2 2 disamakanx + m = x2 2x2 2x 2m 2 = 0Syarat supaya bersinggungan: D = 0.D = (-2)2 4 . 1 (2m 2) = 04 + 8m + 4 = 08m = 8m = 1Jadi, agar garis menyinggung parabola maka m = 1.Latihan 121. Tentukan koordinat titik potong antara garis dengan parabola berikut ini : 1. y = x + 1 dan y = x2 x 22. y = 3x 8 dan y = x2 3x3. y = 2x + 9 dan y = 2x2 4x + 72. Tentukan nilai m supaya garis y = mx + 1 menyinggung parabola !3. Tentukan persamaan garis yang melalui (0, -1) dan menyinggung parabola y = x2 !4. Ditentukan parabola dan garis y = x 2 : 1. Tentukan koordinat titik potong antara garis dan parabola.2. Tentukan persamaan garis singgung yang melalui titik potong itu.5. Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya mempunyai titik puncak (1, 2) dan menyinggung garis y = x !6. Tentukan m supaya garis y = mx +2 menyinggung parabola y = mx2 + x + 4 ! 1. Tentukan persamaan garis singgung pada parabola y = x2 + 2 yang sejajar dengan garis x 2y 4 = 0 Tentukan pula koordinat titik singgungnya!2. Fungsi kuadrat y = (m + 3)x2 (3m + 3)x + (m 5) grafiknya melalui titik asal. Tentukan persamaan garis singgung pada parabola itu yang melalui titik asal !3. Fungsi kuadrat y = x2 + (m + 2) x + 2 m 4 grafiknya selalu melalui sebuah titik yang tidak tergantung pada nilai m. Tentukanlah titik tersebut !4. Tentukan dua buah titik tetap yang selalu dilalui fungsi kuadrat y = m x2 +(3 m 2 ) x + 2 3 m !1. Pertidaksamaan Pangkat TinggiHal-hal yang perlu diperhatikan dalam pertidaksamaan pangkat tinggi :1. Jadikan ruas kanan nol.2. Faktorkan ruas kiri3. Bila terdapat definit positif, definit tersebut dapat dihilangkan begitu saja, tetapi bila terdapat definit negatif, definit ini bisa dihilangkan apabila tanda pertidaksamaan diubah menjadi lawan dari tanda mula-mula.4. Bila hasil faktorisasi terdapat perpangkatan ganjil, maka tidak ada pengaruh apa-apa pada pertidaksamaan.5. Bila hasil faktorisasi terdapat perpangkatan genap, maka pada garis bilangan akan terdapat pengulangan tanda (mengikuti tanda di sebelah kanannya)Contoh 1 :Tentukan nilai x yang memenuhi: (x 1)2 (x + 2)3 (x 3) > 0 !Jawab : (x 1)2 (x + 2)3 (x 3) > 0+ + + + + | - - - - | - - - | + + + + +2 1 3Jadi nilai x yang memenuhi adalah: x < 2 atau x > 3Contoh 2 :Selesaikan : (2 x)5 (x + 3) (x2 + x + 1) > 0 !Jawab : x2 + x + 1 adalah definit positifSehingga pertidaksamaan itu dapat ditulis menjadi :(2 x)5 (x + 3) > 0- - - - | + + + + + | - - -3 2Nilai x yang memenuhi adalah : 3 < x < 2Latihan 13Tentukan nilai x yang memenuhi :1. (x2 3 x + 5) (x + 2) (x 1) < 0 6. (-2 + 3 x 4 x2) (x + 4) (x 3) < 02. (x 1) (x + 2) (x 3) (x + 4) 0 7. (x + 10)5 (x 7)2 (x + 5)2 03. (x + 1) (2 x) (x + 3) 0 8. x4 13 x2 + 36 04. (x 5) (x +1)2 (x + 3 > 0 9. x (x2 x 2) (15 2x x2) > 05. (2 x)2 (x + 3)5 (x 1) < 0 10. (x2 2 x 3) (x2 + 4 x + 3) 01. Pertidaksamaan PecahanDalam menyelesaikan pertidaksamaan pecahan perlu diingat bahwa :1. Hasil bagi dua bilangan mempunyai tanda yang sama dengan hasil kali bilangan itu.2. Penyebut suatu pecahan tidak boleh sama dengan nol3. Bila terdapat definit positif , definit positif dapat dihilangkan tanpa mempengaruhi pertidaksamaan, tetapi jika terdapat definit negatif, definit negatif dapat dihilangkan asalkan tanda pertidaksamaanberubah menjadi lawan dari tanda pertidaksa-maan mula-mulaContoh 1 :Selesaikan !Jawab :+ + + + - - - - - + + + +o o2 3Nilai x yang memenuhi : x < 2 atau x > 3Contoh 2 :Selesaikan !Jawab :+ + + + + - - - - + + + +o3 1Harga x yang memenuhi adalah 3 < x 1 (ingat penyebut tidak boleh nol)Contoh 3 :Tentukan nilai x yang memenuhi: !Jawab : Penyebut merupakan definit positif, jadi dapat diabaikanx2 + 2x 8 0(x + 4) (x 2) 0 + + + + | - - - - | + + + +4 2 Nilai x yang memenuhi adalah : x 4 atau x 2Latihan 14Tentukan nilai x yang memenuhi :1. 6.2. 7.3. 8.4. 9.5. 10.1. Pertidaksamaan IrasionalCara penyelesaian bentuk pertidaksamaan ini adalah :1. Bentuk bilangan di bawah tanda akar selalu lebih besar atau sama dengan nol2. Tanda akar dapat dihilangkan dengan mengkuadratkanContoh 1:Selesaikan !Jawab : Syarat :kuadratkan 2 x 1 02 x 1 < 9 2 x 12 x < 10 x . . . . . (2)x < 5 . . . . . .(1)o5 Jadi : x < 5Contoh 2 :SelesaikanJawab :Syarat I Syarat IIkuadratkan 2 x 10 > 0 2 x 02 x 10 > 2 x 2 x > 10 2 x2 x + x > 2 + 10 x > 5 x 23 x > 12x > 4 2 4 5Jadi tidak ada nilai x yang memenuhi.Contoh 3 :Tentukan nilai x yang memenuhi : !Jawab :Syarat I Syarat IIkuadratkan x + 3 > 0 12 2x 0x + 3 > 12 2 x x > 3 12 2xx + 2 x > 12 3 x 63 x > 9x > 3 3 3 6Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan di atas : 3 < x 6.Contoh 4 :SelesaikanJawab :Syarat :kuadratkan x2 + 2 x 0x2 + 2 x < x2 + 6 x + 9 x (x + 2) 02 x 6 x < 9 + + | - - - -| + + +4 x < 9 2 0x >2 x 2 atau x 0 2)o2 2 0Hasil penyelesaian : 2< x 2 atau x 0Latihan 15Tentukan nilai x yang memenuhi :1. < 3 6.2. < 4 7. < x 23. < 5 8. < 15 x4. 9.5. 10.1. Pertidaksamaan Nilai Mutlak.Nilai mutlak dari bilangan a ditulis | a | dan mempunyai nilai sebagai :| a | =Contoh 1 :| 70 | = 70 | 70 | = ( 70) = 70 | 0 | = 0Pertidaksamaan dengan nilai mutlak dapat diselesaikan dengan mengkuadratkanContoh 2 :Carilah nilai x yang memenuhi pertidaksamaan ; | x | a , a positif !Jawab : | x | akuadratkanx2 a2x2 a2 0(x a) (x + a) 0 + + + + - - - + + + +a aJadi ; a x + aContoh 3 :Tentukan nilai x yang memenuhi | x | a , a positif !Jawab : | x | akuadratkanx2 a2x2 a2 0(x a) (x + a) > 0(x a) (x + a) 0 + + + + - - - + + + + a aJadi x a atau x aContoh 4 :Selesaikan | x 4 | < 3Jawab ;Cara I Cara II| x 4 | < 3 Dari jawaban contoh 1, diperoleh:kuadratkan | x 4 | < 3(x 4)2 < 9 3 < x 4 < 3x2 8 x + 16 < 9 Jadi 1 5 !Jawab :Cara I Cara II| x + 2 | > 5 Dari jawaban contoh 2, diperolehkuadratkan | x + 2 | > 5(x + 2)2 > 25 x + 2 < 5 atau x + 2 > 5x2 + 4 x + 4 > 25 x < 7 atau x > 3x2 + 4 x 21 > 0(x + 7) (x 3) > 0+ + + + o- - - o+ + + + +-7 3Jadi x < -7 atau x > 3Latihan 16Selesaikan pertidaksamaan berikut :1. | x | 4 6. | x2 5 | 42. | x + 1 | > 2 7. | x2 x 1 | 13. | x2 2 | > 1 8. | 2 x2 8 x 1 | 94. | x2 4 x | > 0 9. 15. | x2 1 | < 7 10. 2