8. persamaan differensial parsial

7/23/2019 8. Persamaan Differensial Parsial

1/21

8PERSAMAAN

DIFFERENSIAL PARSIAL

Persamaan differensial parsial secara umum untuk orde dua dalam

variabel bebas x dan y dapat dinyatakan sebagai berikut :

0y

u,

x

u,u,y,xD

y

uC

yx

uB

x

uA

2

22

2

2

=

+

+

+

(8.1)

Persamaan differensial parsial dapat diklasifikasikan tergantung dari nilai B2

4AC.

- jika B2 4AC < 0, maka persamaan Eliptik

- jika B2 4AC = 0, maka persamaan Parabolik

- jika B2 4AC > 0, maka persamaan Hiperbolik

Jika koefisien A, B, dan C dalah fungsi x, y, dan/atau u, persamaan mungkinberubah dari satu klasifikasi menjadi klasifikasi lain pada titik bervariasi. Dalam

teknik kimia persamaan yang sering dijumpai adalah persamaan differensial

eliptik dan parabolik, sehingga kedua persamaan itulah yang akan dibahas dalam

bab ini.


2/21

228

8.1. PERSAMAAN DIFFERENSIAL ELIPTIK

Persamaan differensial eliptik terbentuk jika koefisien A dan C pada

persamaan (8.1) sama dengan 1 dan B sama dengan nol, sehingga B2 4AC < 1.

Ada 2 type persamaan differensial eliptik yang akan dibahas, yaitu

- Persamaan Laplace

0y

uC

x

uA

2

2

2

2

=

+

(8.2)

- Persamaan Poisson

0y

u,

x

u,u,y,xD

y

uC

x

uA

2

2

2

2

=

+

+

(8.3)

8.1.1. PERSAMAAN LAPLACE

Persamaan Laplace sering muncul dari penyusunan persoalan

perpindahan panas dalam suatu plat. Bentuk paling sederhana persamaan Laplace

adalah

0y

u

x

u2

2

2

2

=

+

(8.4)

Penyelesaian persamaan Laplace adalah metode beda hingga.

=

+

2

2

2

2

y

u

x

u

( )2j,1ij,ij,1i

x

u2u

+ + +( )2

1j,ij,i1j,i

y

u2u

+ + (8.5)

Jika diambil x = y = h

=

+

2

2

2

2

y

u

x

u2h

1[ ui+1,j+ ui-1,j+ ui,j+1+ ui,j-1 4ui,j] = 0 (8.6)

Contoh 8.1. Profil Temperatur pada Plat

Tentukan distribusi temperatur pada sebuah plat bujursangkar yang salah satu

sisiya mengikuti persamaan T = 100*sin(*y), sedang ketiga sisi yang lain sama

dengan nol.


3/21

229

Program Matlab

% Profil Temperatur pada Plat Rektanguler% Persamaan Laplace% d^2 U d^2 U% ----- + ----- = 0% d x^2 d y^2% Temperatur salah satu sisi = 100*sin(Pi*y)% sedang ketiga sisi yang lain = 0% Penyelesaian dengan Metode Finite Difference%% Author's Data: Housam BINOUS% Department of Chemical Engineering% National Institute of Applied Sciences and Technology% Tunis, TUNISIA% ---------------------------------------------------------------% Surakarta, Oktober 2005% Jurusan Teknik Kimia, Fak. Teknik% Universitas Sebelas Maret% ***************************************************************%

% Jumlah titik adalah 29*29% Penyelesaian sistem AU = X dengan U adalah temperatur% yang tidak diketahui pada titik interior.

clear;N=30;

for j=0:N-2for i=1:N-2

X(i+j*(N-1))=0;end

endfor i=1:N-1

X(i*(N-1))=-100*sin(i*pi/N);end

% Penyusunan matriks Afor i=1:(N-1)*(N-1)

A(i,i)=-4;endfor i=1:N-2

for k=0:N-2A(i+k*(N-1),i+1+k*(N-1))=1;end

endfor k=0:N-3

for i=1:N-1A(i+k*(N-1),i+(k+1)*(N-1))=1;end

endfor i=1:(N-1)*(N-1)

for j=1:iA(i,j)=A(j,i);end

end

% Inversi Matriks dan Perhitungan temperaturM=inv(A);U=M*X';

% Plot hasil pada bentuk contourfor i=1:N-1

for j=1:N-1x(i,j)=U(j+(i-1)*(N-1));end


4/21

230

end

[i,j]=meshgrid(1:1:N-1,1:1:N-1);[c,h]=contourf(i,j,x);

Gambar 8.1. Keluaran Program Contoh 8.1

Contoh 8.2. Aliran Panas Steady State

Plat tipis dari baja mempunyai ukuran 10 cm x 20 cm. Jika salah satu sisi

ukuran 10 cm dijaga pada 100 OC dan ketiga sisi yang lain dijaga pada 0 OC.

Tentukan profil temperatur pada plat. Untuk baja k = 0,16 kal/detik.cm2.C/cm.

Penyelesaian

=

+

2

2

2

2

y

u

x

u0

dengan u(x,0) = 0,

u(x,10) = 0,

u(0,y) = 0,


5/21

231

u(20,y) = 100.

Program Matlab

% Profil Temperatur pada Plat Rektanguler% Persamaan Laplace% d^2 U d^2 U% ----- + ----- = 0% d x^2 d y^2

% Plat ukuran 10cm x 20cm% Temperatur salah satu sisi = 100% sedang ketiga sisi yang lain = 0% Penyelesaian dengan Metode Finite Difference%% ---------------------------------------------------------------% Surakarta, Oktober 2005% Jurusan Teknik Kimia, Fak. Teknik% Universitas Sebelas Maret% ***************************************************************%

% Jumlah titik adalah 9*19% Penyelesaian sistem AU = X dengan U adalah temperatur% yang tidak diketahui pada titik interior.

clear;N=20;M=10;

for j=0:N-2for i=1:M-2

X(i+j*(M-1))=0;end

endfor i=1:M-1

X(i*(N-1))=-100;end

% Penyusunan matriks Afor i=1:(N-1)*(M-1)

A(i,i)=-4;endfor i=1:N-2

for k=0:M-2A(i+k*(N-1),i+1+k*(N-1))=1;end

endfor k=0:M-3

for i=1:N-1A(i+k*(N-1),i+(k+1)*(N-1))=1;end

endfor i=1:(N-1)*(M-1)

for j=1:iA(i,j)=A(j,i);end

end

% Inversi Matriks dan Perhitungan TemperaturG=inv(A);U=G*X';

% Plot hasil bentuk contourfor i=1:M-1

for j=1:N-1x(i,j)=U(j+(i-1)*(N-1));end


6/21

232

endT = x[i,j]=meshgrid(1:1:N-1,1:1:M-1);[c,h]=contourf(i,j,x);

Keluaran program


Contoh berikut menggunakan fungsi ellipgen dalam penyelesaian persamaan

differensial Eliptik.

function [a,om]=ellipgen(nx,hx,ny,hy,G,F,bx0,bxn,by0,byn)% Penyelesaian persamaan PD Parsial Eliptik% d^2 Z d^2 Z% ----- + ----- + G(x,y)*Z = F(x,y)

% d x^2 d y^2% pada plat rektanguler% Cara menggunakan fungsi ini% hx,hy = ukuran titik arah x, y% F, G = array (ny+1,nx+1) representasi F(x,y), G(x,y)% bx0, bxn = vektor baris kondisi batas pada x0, xn% by0, byn = vektor baris kondisi batas pada y0, yn% a = array (ny+1,nx+1) penyelesaian%% Nama File : ellipgen.m% Surakarta, Oktober 2005% ---------------------------------------------------------------

nmax=(nx-1)*(ny-1); r=hy/hx;a=zeros(ny+1,nx+1); p=zeros(ny+1,nx+1);if nargin==6

ncase=0;mode=F;endif nargin==10


7/21

233

test=0;if F==zeros(ny+1,nx+1), test=1; endif bx0==zeros(1,ny+1), test=test+1; endif bxn==zeros(1,ny+1), test=test+1; endif by0==zeros(1,nx+1), test=test+1; endif byn==zeros(1,nx+1), test=test+1; endif test==5

disp(' WARNING ')disp(' ')break

endbx0=bx0(1,ny+1:-1:1); bxn=bxn(1,ny+1:-1:1);a(1,:)=byn; a(ny+1,:)=by0;a(:,1)=bx0'; a(:,nx+1)=bxn';ncase=1;

endfor i=2:ny

for j=2:nxnn=(i-2)*(nx-1)+(j-1);q(nn,1)=i; q(nn,2)=j; p(i,j)=nn;

endendC=zeros(nmax,nmax); e=zeros(nmax,1); om=zeros(nmax,1);if ncase==1, g=zeros(nmax,1); endfor i=2:ny

for j=2:nxnn=p(i,j); C(nn,nn)=-(2+2*r^2); e(nn)=hy^2*G(i,j);if ncase==1, g(nn)=g(nn)+hy 2*F(i,j); endif p(i+1,j)~=0

np=p(i+1,j); C(nn,np)=1;

elseif ncase==1, g(nn)=g(nn)-by0(j); end

endif p(i-1,j)~=0

np=p(i-1,j); C(nn,np)=1;else

if ncase==1, g(nn)=g(nn)-byn(j); endendif p(i,j+1)~=0

np=p(i,j+1); C(nn,np)=r^2;else

if ncase==1, g(nn)=g(nn)-r^2*bxn(i); endendif p(i, j-1)~=0

np=p(i,j-1); C(nn,np)=r^2;else

if ncase==1, g(nn)=g(nn)-r^2*bx0(i); endend

end

endif ncase==1

C=C+diag(e); z=C\g;for nn=1:nmax

i=q(nn,1); j=q(nn,2); a(i,j)=z(nn);end

else[u,lam]=eig(C,-diag(e));[om,k]=sort(diag(lam)); u=u(:,k);for nn=1:nmax

i=q(nn,1); j=q(nn,2);a(i,j)=u(nn,mode);

endend

Contoh 8.3. Distribusi Temperatur pada Plat Rektanguler


8/21

234

Tentukan distribusi temperatur dalam suatu plat rektanguler, dengan kondisi

batas sebagai berikut

x = 0, T = 100y

x = 3, T = 250y

y = 0, T = 0

y = 2, T = 200 + (100/3)x2

Penyelesaian untuk ukuran 6 x 6.

Program Matlab

% Profil Temperatur pada Plat Rektanguler% Persamaan Laplace% Plat ukuran 2 x 3% pada x = 0, T = 100y% pada x = 3, T = 250y% pada y = 0, T = 0% pada y = 2, T = 200 + (100/3)x^2% Penyelesaian dengan Metode Finite Difference%% ---------------------------------------------------------------% Surakarta, Oktober 2005% Jurusan Teknik Kimia, Fak. Teknik% Universitas Sebelas Maret% ***************************************************************%

clear all% Jumlah titik arah x, ynx=6; ny=6;

% Ukuran titik arah x, yhx=0.5; hy=0.3333;

% Input data pada kondisi batasby0=[0 0 0 0 0 0 0];byn=[200 208.33 233.33 275 333.33 408.33 500];bx0=[0 33.33 66.67 100 133.33 166.67 200];bxn=[0 83.33 166.67 250 333.33 416.67 500];

% Penyelesaian dg fungsi ellipgenF=zeros(ny+1,nx+1); G=F; % PD Laplacea=ellipgen(nx, hx, ny, hy, G, F, bx0, bxn, by0, byn);

% Plot hasilcontourf(a)xlabel('Titik-titik dalam arah x');ylabel('Titik-titik dalam arah y');

Keluaran program


9/21

235

Gambar 8.3. Keluaran Program Contoh 8.3.

8.1.2. PERSAMAAN POISSON

Bentuk persamaan umum

=

+

y

u,

x

u,u,y,xF

y

uC

x

uA

2

2

2

2

Contoh 8.4. Defleksi Membran

Tentukan defleksi membran bujursangkar seragam dengan ujung-ujung tetap

dijaga. Sedang beban distribusi dapat didekati dengan suatu beban pada suatu

titik. Permasalahan ini mengikuti persamaan Poisson dengan F(x,y)

menunjukkan beban membran.

Penyelesaian dengan fungsi ellipgen.% Defleksi Membran% Persamaan Poisson% Plat ukuran 2 x 3% d^2 U d^2 U% ----- + ----- = F (x,y)% d x^2 d y^2% Penyelesaian dengan Metode Finite Difference%% ---------------------------------------------------------------% Surakarta, Oktober 2005% Jurusan Teknik Kimia, Fak. Teknik% Universitas Sebelas Maret% ***************************************************************%

% Jumlah titik arah x, ynx=6; ny=6;


10/21

236

% Ukuran titik arah x, yhx=1/6; hy=1/6;

% Input data pada kondisi batasby0=[0 0 0 0 0 0 0];byn=[0 0 0 0 0 0 0];bx0=[0 0 0 0 0 0 0];bxn=[0 0 0 0 0 0 0];

% Penyelesaian dg fungsi ellipgenF=-ones(ny+1,nx+1); G=zeros(nx+1,ny+1);a=ellipgen(nx, hx, ny, hy, G, F, bx0, bxn, by0, byn);

% Plot hasilsurfl(a)axis([1 7 1 7 0 0.1])xlabel('titik-titik arah x');ylabel('titik-titik arah y ');zlabel('tebal');

Keluaran program


8.2. PERSAMAAN PARABOLIK

Persamaan parabolik akan sering dijumpai dalam persamaan aliran panas

satu dimensi unsteady state.


11/21


12/21

238

uin = 0.5; % nilai u untuk seluruh x pada t = 0uA =1; % nilai u untuk x = 0 (bagian atas) pada t > 0uB = 0.2; % nilai u untuk x = 1 (bagian bawah) pada t > 0

% Interval x = 0 sampai x = L, dibagi N bagian sama besarAL = 1; % panjang sisiN = 25; % sisi x dibagi sebanyak N bagian

% ModulusAM = 4;

% Interval waktu dibagi bagian kecil sebesar deltJend = 100; % jumlah hitungan waktu yaitu t = delt*Jenddelx = AL/N;delt = delx^2/AM;

%Kondisi awalfor i=1:N+1

x(i)= (i-1)*delx;u(i,1)= uin;

end

for j=1:Jendfor i=2:N

u(1,j+1)=uA;u(N+1,j+1)=uB;u(i,j+1)=(u(i-1,j)+(AM-2)*u(i,j)+u(i+1,j))/AM;

endend

% Plot x,y kondisi awalplot(x',u(:,1),'LineWidth',2)disp('kondisi awal t = 0')x = x', u0 = u(:,1)

% Tidak semua hitungan perlu diplotkandisp('kondisi t >= 0')hold onfor w=1:Jend

j=ceil(w/20);uu(:,j) = u(:,w);t(j)=delt*w;

endx=x ,t, un=uuplot(x,uu,'LineWidth',2)

Keluaran program>> kondisi awal t = 0x =

00.04000.08000.12000.16000.20000.24000.28000.32000.36000.40000.44000.48000.52000.56000.6000


13/21

239

0.64000.68000.72000.76000.80000.84000.88000.92000.96001.0000

u0 =0.50000.50000.50000.50000.50000.50000.50000.50000.50000.50000.50000.50000.50000.50000.50000.50000.5000

0.50000.50000.50000.50000.50000.50000.50000.50000.5000

kondisi t >= 0x =

00.04000.08000.12000.16000.20000.2400

0.28000.32000.36000.40000.44000.48000.52000.56000.60000.64000.68000.72000.76000.80000.84000.88000.92000.96001.0000


14/21

240

t =

0.0080 0.0160 0.0240 0.0320 0.0400

un =1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.00000.8714 0.9099 0.9267 0.9366 0.94320.7557 0.8244 0.8558 0.8748 0.88760.6620 0.7472 0.7896 0.8160 0.83410.5939 0.6810 0.7298 0.7614 0.78360.5494 0.6272 0.6776 0.7121 0.73690.5235 0.5855 0.6335 0.6684 0.69430.5100 0.5550 0.5974 0.6307 0.65620.5038 0.5337 0.5689 0.5988 0.62260.5013 0.5197 0.5470 0.5722 0.59310.5004 0.5109 0.5304 0.5502 0.56730.5001 0.5055 0.5179 0.5319 0.54470.5000 0.5021 0.5083 0.5163 0.52440.5000 0.4996 0.5001 0.5023 0.50570.4999 0.4971 0.4922 0.4889 0.48790.4998 0.4937 0.4835 0.4751 0.47000.4992 0.4882 0.4728 0.4600 0.45130.4977 0.4798 0.4592 0.4428 0.43130.4940 0.4670 0.4418 0.4228 0.40950.4859 0.4487 0.4200 0.3997 0.38550.4703 0.4237 0.3935 0.3732 0.35920.4437 0.3914 0.3621 0.3434 0.33070.4028 0.3517 0.3262 0.3105 0.30010.3466 0.3054 0.2865 0.2752 0.2677

0.2772 0.2540 0.2440 0.2381 0.23420.2000 0.2000 0.2000 0.2000 0.2000



15/21

241

Contoh 8.6. Distribusi Temperatur sebagai Fungsi Waktu pada Plat Tipis

Plat besi yang sangat luas mempunyai tebal 2 cm. Temperatur mula-mula dalam

plat merupakan fungsi jarak dari salah satu sisinya sebagai berikut :

u = 100x untuk 0 #x #1,

u = 100( 2 x) untuk 0 #x #1.Tentukan temperatur tebal plat sebagai fungsi x dan t, jika kedua permukaan

tetap dijaga 0 OC. Untuk besi k = 0,13 kal/detik.cm.OC, c = 0,11 cal/g.OC, =

7,8 g/cm3.

Penyelesaian

( ) M1

2

1

xc

tk2

==

, x = 0,25 sehingga t = 0,206 detik

Program Matlab% Persamaan Differensial Parsial% Persamaan Parabolik% d^2 u c*rho d u% ------- = ----- -----% d x^2 k d t% Plat tebal 2 cm% Kondisi awal% u(x,0) = 100x utk 0


16/21

242

delt=M*c*rho*delx^2/k;xo=0;Jend=10;

for i=1:N+1x(i)=xo+delx*(i-1);

end

% Kondisi awalfor i=1:ceil((N+1)/2)

u(1,i)=100*x(i);endfor i=N+1:-1:ceil((N+1)/2)

u(1,i)=100*(2-x(i));endfor i=1:Jend

t(i)=delt*i;endfor j=1:Jend

for i=2:ceil((N+1)/2)+1u(j+1,i)=(k*delt/(c*rho*delx^2))*(u(j,i-1)+u(j,i+1))+...

(1-2*k*delt/(c*rho*delx^2))*u(j,i);endfor i=N+1:-1:ceil((N+1)/2)+1

u(j+1,i)=u(j+1,ceil((N+1)/2)*2-i);end

endxt=t'

u

Keluaran program

x =0 0.2500 0.5000 0.7500 1.0000 1.2500 1.5000 1.7500 2.0000

t =0.20620.41250.61870.82501.03131.23751.44371.65001.85632.0625

u =0 25.0000 50.0000 75.0000 100.000 75.0000 50.0000 25.0000 00 25.0000 50.0000 75.0000 75.0000 75.0000 50.0000 25.0000 00 25.0000 50.0000 62.5000 75.0000 62.5000 50.0000 25.0000 00 25.0000 43.7500 62.5000 62.5000 62.5000 43.7500 25.0000 00 21.8750 43.7500 53.1250 62.5000 53.1250 43.7500 21.8750 00 21.8750 37.5000 53.1250 53.1250 53.1250 37.5000 21.8750 00 18.7500 37.5000 45.3125 53.1250 45.3125 37.5000 18.7500 00 18.7500 32.0313 45.3125 45.3125 45.3125 32.0313 18.7500 00 16.0156 32.0313 38.6719 45.3125 38.6719 32.0313 16.0156 00 16.0156 27.3438 38.6719 38.6719 38.6719 27.3438 16.0156 00 13.6719 27.3438 33.0078 38.6719 33.0078 27.3438 13.6719 0

Contoh 8.7. Difusi Alkohol


17/21

243

20 cm

Suatu tabung panjang 20 cm mula-mula berisi udara dengan 2 % uap alkohol.

Pada bagian bawah tabung berhubungan dengan bejana berisi alkohol sehingga

alkohol tersebut menguap melalui tabung yang mula-mula berisi udara diam

tersebut. Pada bagian ini konsentrasi alkohol dijaga tetap 10 %. Pada bagian atas

(puncak) tabung uap alkohol di permukaan atas tabung dapat dianggap selalu

nol.

Gambar 8.6. Difusi Alkohol

Tentukan distribusi konsentrasi alkohol pada tabung sampai minimal 100 detik.

Diketahui = 0,119 cm2/ detik. Ambil r = t/(x)2=1/2 dan x = 4 cm.

Penyelesaian

t = 0.5(x)2/= 67,2 detik

Program Matlab

% Persamaan Differensial Parsial% Persamaan Parabolik% d^2 c d c% D ------- = -----% d x^2 d t% Kondisi awal% c(0,t) = 2% Kondisi batas% c(0,t) = 0 c(20,t) = 10% Penyelesaian dengan Finite Difference% Metode Eksplisit%% ---------------------------------------------------------------% Surakarta, Oktober 2005% Jurusan Teknik Kimia, Fak. Teknik% Universitas Sebelas Maret% ***************************************************************%


18/21

244

format shortclcclear all

% Data-dataL=20; % panjang tube, cmD=0.119; % koefisien difusivitas, cm^2/detik

N=5;M=0.5;delx=L/N;delt=M/D*delx^2;xo=0;Jend=16;

for i=1:N+1x(i)=xo+delx*(i-1);

endx

%Kondisi awalu(1,1)=0.0;for i=2:N

u(1,i)=2;endu(1,N+1)=10.0;

% interval waktufor i=1:Jend+1

t(i) = delt*i-delt;endt=t'for j=1:Jend

u(j+1,1)=0.0;for i=2:N

u(j+1,i)=(delt*D/delx^2)*(u(j,i-1)+u(j,i+1))+...(1-2*delt*D/delx^2)*u(j,i);

endu(j+1,N+1)=10.0;

endu

Keluaran program

x =0 4 8 12 16 20

t =1.0e+003 *

00.06720.13450.20170.26890.33610.40340.47060.53780.60500.67230.73950.80670.87390.94121.00841.0756


19/21

245

u =0 2.0000 2.0000 2.0000 2.0000 10.00000 1.0000 2.0000 2.0000 6.0000 10.00000 1.0000 1.5000 4.0000 6.0000 10.00000 0.7500 2.5000 3.7500 7.0000 10.00000 1.2500 2.2500 4.7500 6.8750 10.00000 1.1250 3.0000 4.5625 7.3750 10.00000 1.5000 2.8438 5.1875 7.2813 10.00000 1.4219 3.3438 5.0625 7.5938 10.00000 1.6719 3.2422 5.4688 7.5313 10.00000 1.6211 3.5703 5.3867 7.7344 10.00000 1.7852 3.5039 5.6523 7.6934 10.00000 1.7520 3.7188 5.5986 7.8262 10.00000 1.8594 3.6753 5.7725 7.7993 10.00000 1.8376 3.8159 5.7373 7.8862 10.00000 1.9080 3.7875 5.8511 7.8687 10.00000 1.8937 3.8795 5.8281 7.9255 10.00000 1.9398 3.8609 5.9025 7.9140 10.0000

8.2.2. METODE IMPLISIT

Berikut penggunaan fungsi heat untuk penyelesaian persamaan

differensial parsial secara implisit.function u=heat(nx,hx,nt,ht,init,lowb,hib,K)% Penyelesaian persamaan PD Parsial Parabolik% d^2 U d U% K ----- = ----% d x^2 d t% Cara menggunakan fungsi ini% nx,hx = jumlah dan ukuran titik x% nt,ht = jumlah dan ukuran titik t% init = vektor baris (nx+1) nilai awal fungsi% lowb, hib = batas bawah dan atas x% lowb dan hib mempunyai nilai skalar% K = konstanta persamaan parabolik%% Nama File : heat.m% Surakarta, Oktober 2005% ---------------------------------------------------------------

alpha=K*ht/hx^2;A=zeros(nx-1,nx-1);u=zeros(nt+1,nx+1);u(:,1)=lowb*ones(nt+1,1);u(:,nx+1)=hib*ones(nt+1,1);u(1,:)=init;A(1,1)=1+2*alpha;for i=2:nx-2

A(i,i)=1+2*alpha;A(i,i-1)=-alpha;A(i,i+1)=-alpha;

endA(nx-1,nx-2)=-alpha;A(nx-1,nx-1)=1+2*alpha;b(1,1)=init(2)+init(1)*alpha;for i=2:nx-2

b(i,1)=init(i+1);endb(nx-1,1)=init(nx)+init(nx+1)*alpha;[L,U]=lu(A);for j=2:nt+1


20/21

246

y=L\b;x=U\y;u(j,2:nx)=x';b=x;b(1,1)=b(1,1)+lowb*alpha;b(nx-1,1)=b(nx-1,1)+hib*alpha;

end

Contoh 8.8. Distribusi Temperatur pada Dinding Batu Tahan Api sebagai

Fungsi Waktu

Dinding batu tahan api setebal 0,3 m mula-mula mempunyai temperatur seragam

100 OC. Temperatur kedua permukaan diturunkan secara tiba-tiba menjadi 20 OC

dan tetap dijaga pada temperatur ini. Tentukan distribusi temperatur pada

dinding pada interval 440 detik sampai 22000 detik. Untuk batu tahan api K =

5.10-7m2/detik.

Penyelesaian dengan menggunakan fungsi heat, dan diambil 15 subdivisi untuk

x dan 50 subdivisi untuk t.

Program Matlab

% Distribusi Temperatur Dinding Tahan Api% Persamaan Parabolik% Tebal dinding 0.3 m% Temperatur mula-mula seragam 100 oC% Secara tiba-tiba kedua sisi menjadi 20 oC% dan dijaga tetap seperti itu% Penyelesaian dengan Metode Finite Difference% Metode Implisit% ---------------------------------------------------------------% Surakarta, Oktober 2005% Jurusan Teknik Kimia, Fak. Teknik% Universitas Sebelas Maret% ***************************************************************

% Data-dataK=5e-7; % m^2/detikhx=0.02; % ukuran interval x

nx=15; % jumlah interval xht=440; % detik, ukuran interval tnt=50; % jumlah interval t

% Kondisi awalinit = 100*ones(1,nx+1);

% Kondisi bataslowb=20; hib=20;

% Perhitunganu=heat(nx,hx,nt,ht,init,lowb,hib,K);

% Plot Hasilsurfl(u)axis([0 16 0 50 0 120])view([-217 30])xlabel('x'); ylabel('waktu');zlabel('temperatur')


21/21

247

Keluaran Program


8. persamaan differensial parsial

Documents