viskositas materi quark-gluon plasma

7/25/2019 Viskositas Materi Quark-gluon Plasma

1/87

UNIVERSITAS INDONESIA

VISKOSITAS MATERI QUARK-GLUON PLASMA

DISERTASI

TJONG PO DJUN

1206327922

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMPROGRAM STUDI MATERIAL SAINS

DEPOK2015


2/87

UNIVERSITAS INDONESIA

VISKOSITAS MATERI QUARK-GLUON PLASMA

DISERTASI

Diajukan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Doktor

TJONG PO DJUN

1206327922

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMPROGRAM STUDI FISIKA

KEKHUSUSAN ILMU MATERIALDEPOK

2015


3/87

HALAMAN PERNYATAAN ORISINALITAS

Disertasi ini adalah hasil karya saya sendiri,

dan semua sumber baik yang dikutip maupun yang dirujuk

telah saya nyatakan dengan benar.

Nama : Tjong Po Djun

NPM : 1206327922

Tanda Tangan :

Tanggal : 24 April 2015

ii


4/87

HALAMAN PENGESAHAN

Disertasi ini diajukan oleh :Nama : Tjong Po Djun,NPM : 1206327922,Program Studi : Ilmu Bahan-Bahan Judul Disertasi : Viskositas Materi Quark-Gluon

Plasma.

Disertasi ini diajukan sebagai bagian persyaratan yang diperlukan untuk

memperoleh gelar Doktor pada Program Studi Fisika, Kekhususan IlmuMaterial, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas

Indonesia.

DEWAN PENGUJI

Promotor : Prof. Dr. Terry Mart (.......................................)

Ko-promotor : Dr. Laksana Tri Handoko (.......................................)

Tim Penguji : Dr. Bambang Soegijono (........................................)

: Dr. rer. nat. Agus Salam (........................................)

: Dr. Albertus Sulaiman (........................................)

: Dr. Handhika S Ramadhan (........................................)

Ditetapkan di : DepokTanggal : 24 April 2015

iii


5/87

KATA PENGANTAR

Segala puji dan syukur untuk kemulian Allah, karena atas berkat danrahmatNYA, disertasi ini dapat saya selesaikan. Disertasi ini ditulis un-

tuk memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan program Doktor dari

Program Studi Ilmu Material Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan

Alam Universitas Indonesia. Saya menyadari bahwa tanpa batuan dan bim-

bingan dari berbagai pihak sangatlah sulit bagi saya untuk menyelesaikan

disertasi ini. Oleh karenya, pada kesempatan ini saya secara khusus meng-

ucapkan terima kasih kepada :

1. Prof. Dr. Terry Mart atas bimbingan dan dukungan yang diberikan.

2. Dr. L.T. Handoko atas ide-idenya yang brilian.

3. Dr. Bambang Soegijono yang tanpa lelah terus mendorong dan mem-

beri semangat pada saya.

4. Juga semua pihak yang tidak dapat disebutkan di sini atas dukungan

dan doa kepada penulis selama penyelesaian tugas akhir ini.

Saya menyadari bahwa isi disertasi ini masih jauh dari sempurna, karena-

nya saya selalu mengharapkan kritik dan saran membangun dari para pem-

baca.

Depok, 24 April 2015

Tjong Po Djun

iv


6/87

HALAMAN PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASIDISERTASI UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS

Sebagai sivitas akademik Universitas Indonesia, saya yang bertanda tangan

dibawah ini:

Nama : Tjong Po DjunNPM : 1206327922Program Studi : Ilmu MaterialDepartemen : FisikaFakultas : Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam Jenis Karya : Disertasi

Demi pengembangan ilmu pengetahuan, menyetujui untuk memberikan

kepada Universitas Indonesia Hak Bebas Royalti Noneksklusif ( Non-exclusive

Royalty Free Right) atas karya ilmiah saya yang berjudul:

Viskositas Materi Quark-Gluon Plasma

beserta perangkat yang ada (jika diperlukan). Dengan Hak Bebas Royalti

Noneksklusif ini Universitas Indonesia berhak menyimpan, mengalihme-

dia/formatkan, mengelola dalam bentuk pangkalan data (database), mera-

wat, dan memublikasikan disertasi saya selama tetap mencantumkan nama

saya sebagai penulis/pencipta dan sebagi pemilik Hak Cipta.

Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya.

Dibuat di : Depok

Pada tanggal : 24 April 2015

Yang menyatakan

(Tjong Po Djun)

v


7/87

ABSTRAK

Nama : Tjong Po Djun

Program Studi : Ilmu Material

Judul : Viskositas Materi Quark-Gluon Plasma

Plasma sebagai material yang semakin banyak dipakai di dunia industri

akan dibahas secara singkat. Kemudian, quark-gluon plasma sebagai sa-

lah satu jenis plasma akan ditinjau secara mendalam. Sebuah teori un-

tuk quark-gluon plasma akan diformulasikan melalui penyusunan sebuah

densitas Lagrangian. Simetri gauge untuk setiap suku di dalam Lagrang-

ian akan tetap dipertahankan, kecuali untuk suku viskositasnya. Meka-

nisme transisi dari partikel titik ke medan alir, dan sebaliknya, didisku-

sikan dengan jelas. Kemudian akan diturunkan persamaan tensor energi-

momentum yang relevan untuk plasma gluonik. Dengan menerapkan hu-

kum kekekalan energi dan kekekalan momentum, viskositas shear dan vis-

kositas bulk akan didapatkan dengan penurunan analitik. Hasil penghi-

tungan menunjukkan bahwa pada tingkat energi yang dekat dengan ha-dronisasi, viskositas bulk akan jauh lebih besar dari viskositas shear. Peng-

hitungan ini juga memberikan hasil yang cukup dekat dengan hasil yang

didapat dari eksperimen.

Kata kunci :

Transformasi gauge, quark-gluon plasma, viskositas

vi


8/87

ABSTRACT

Name : Tjong Po Djun

Study Program : Material science

Title : Viscosities of Quark-Gluon Plasma

Plasma as a kind of material that has become more and more commonly

utilized in industry is introduced. A kind of plasma, which is called quark-

gluon plasma is elaborated deeply. A theory for viscous quark-gluon plas-

ma is formulated through the construction of a Lagrangian density. Gauge

symmetry is preserved for all terms inside the Lagrangian, except for the

viscous term. The transition mechanism from point particle eld to uid

eld, and vice versa, is discussed. The energy momentum tensor that is re-

levant for the gluonic plasma having the nature of uid bulk of gluon sea

is derived within the model. By imposing the law of energy and momen-

tum conservation, the values of shear and bulk viscosities are analytically

calculated. The result shows that at the energy level close to hadronizationthe bulk viscosity is bigger than shear viscosity. Also, the values are close to

experiments result.

Keywords :

Gauge transform, quark-gluon plasma, viscosity

vii


9/87

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL iHALAMAN PERNYATAAN ORISINALITAS iiLEMBAR PENGESAHAN iiiKATA PENGANTAR ivLEMBAR PERSETUJUAN PUBLIKASI ILMIAH vABSTRAK viABSTRACT viiDAFTAR ISI viiiDAFTAR GAMBAR xBAB 1. PENDAHULUAN 11.1 Latar Belakang 11.2 Perumusan Masalah 51.3 Hipotes 71.4 Tujuan Penelitian 71.5 Manfaat Penelitian 81.6 Batasan Penelitian 81.7 Sistimatika Penulisan 9

BAB 2. TINJAUAN PUSTAKA 102.1 Kondisi Mutakhir Penelitian Quark-Gluon Plasma 102.2 Teori Medan yang Terhibridisasi sebagai Teori Alternatif 12BAB 3. DASAR TEORI QUARK-GLUON PLASMA 143.1 Aksi dan Persamaan Gerak 143.2 Simetri dan Transformasi Gauge 153.3 Lagrangian dan Teori Invarian Gauge untuk Sistim Medan

yang Terhibridisasi 21

3.4 Solusi Medan Gauge dari Persamaan Gerak FluidaRelativistik Non-Abelian 283.5 Lagrangian dan Teori Invarian Gauge untuk QGP 313.6 Tensor Energi Momentum dari QGP Terdominasi

Gluon 333.7 Bentuk Eksplisit Viskositas Shear () dan Viskositas Bulk ( ) 42BAB 4. HASIL DAN PEMBAHASAN 544.1 Viskositas Shear () dan Bulk ( ) dalam Sistim Quark -

Gluon Plasma dengan Kecepatan Fluida Konstan 544.2 Grak Dinamika Viskositas dan Pembahasan 57

viii


10/87

ix

BAB 5. APLIKASI TEORI QGP 605.1 Teori QGP untuk Pemodelan Transisi Fasa pada Bintang

Kompak 60

5.2 Semesta Awal - Era QGP 645.2.1 Densitas dan tekanan QGP pada

semesta awal - era QGP 645.2.2 Parameter Hubble dan Faktor Skala

semesta awal - era QGP 66BAB 6. KESIMPULAN DAN SARAN 726.1 Kesimpulan 726.2 Saran 73

REFERENSI 74DAFTAR PUBLIKASI 76

Universitas Indonesia


11/87

DAFTAR GAMBAR

Gambar 1.1 Terjadinya fasa uida sebelum hadronisasi 4

Gambar 1.2 Diagram fasa quark-gluon plasma 5

Gambar 4.1 Viskositas bulk ( ) dari QGP terdominasi gluonsebagai fungsi temperatur yang dihitungsesuai Pers. (4.4) 57

Gambar 4.2 Viskositas shear () dari QGP terdominasi gluonsebagai fungsi temperatur yang dihitungsesuai Pers. (4.3) 58

Gambar 4.3 Perkembangan penemuan nilai Viskositasshear () sejak 2007 59

Gambar 5.1 Distribusi densitas sebagai fungsi radius bintangkompak yang dinormalisasi, dengan

T s = 175 MeV dan T 0 = 1 GeV. 65

Gambar 5.2 Parameter Hubble era QGP pada tingkat energimedan gluon 0,3 GeV hingga 0.75 GeV 69

x


12/87

Bab 1

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Materi plasma memiliki peran yang semakin penting di dalam dunia indus-

tri. Beberapa penggunaan paling umum dari materi plasma diantaranya

adalah sebagai material etching pada proses produksi semikonduktor, seba-

gai impurity doping pada proses modikasi material, dan sebagai bahan pe-

ngurai limbah kimia yang sangat efektif dan murah. Di samping digunakan

sebagai bahan bantu proses produksi, plasma juga banyak digunakan seba-

gai bahan utama pembuatan produk akhir. Misalnya untuk bahan baku

pada pembuatan layar televisi atau monitor, bahan coating, antena plasma,

dan banyak lagi produk-produk baru yang sedang dikembangkan.

Dengan kegunaannya yang beragam, apakah sesungguhnya materi yang

disebut sebagai plasma ini? Secara umum, plasma adalah gas yang terben-

tuk dari elektron-elektron bebas, ion-ion, serta partikel-partikel bermuatan

lainnya. Plasma disebut juga sebagai fase keempat dari materi walaupun

sesungguh plasma adalah fase materi yang pertama terbentuk pada awalalam semesta. Pada suhu ruang konduktivitas gas sangatlah kecil. Namun

dengan pemanasan atau penambahan energi, gas yang semula bersifat iso-

lator dapat berubah menjadi konduktor. Dengan demikian, gas tersebut

telah berubah menjadi plasma yang berisikan elektron bebas (sebagai pem-

bawa arus listrik). Sebagian dari partikel-partikel bermuatan di dalam plas-

ma akan saling bertumbukan dan memancarkan radiasi (gelombang elek-

tromagnetik). Spektrum gelombang yang dihasilkan dari radiasi tersebut

memiliki rentang frekuensi yang sangat luas. Stabilitas dan instabilitas dari

1


13/87

2

frekuensi gelombang tersebut menjadi pilihan unik dalam aplikasinya pa-

da bidang-bidang industri tertentu. Frekuensi gelombang yang merupakan

hasil agregat frekuensi tumbukan partikel-partikel bebas ini berbanding ter-

balik dengan mean free path, yaitu bahwa mean free path yang semakin besar

menunjukkan frekuensi tumbukan yang semakin kecil. Frekuensi tumbuk-

an juga bergantung pada kecepatan partikel. Hubungan frekuensi tumbuk-

an dengan mean free path dan cross section dirumuskan sebagai

f T = v. (1.1)

Di sini f T adalah frekuensi tumbukan, adalah densitas, adalah cross sec-

tion, dan v adalah kecepatan relativistik.

Plasma yang dapat terbentuk pada suhu yang tinggi serta dalam rentang

densitas dan tekanan yang luas menjadikannya cocok untuk digunakan pa-

da banyak jenis industri. Densitas dan temperatur berhubungan langsung

dengan tekanan plasma. Tekanan dihasilkan oleh gerak partikel-partikel

di dalamnya, dan diukur berdasarkan gaya per satuan area. Pada plasma,

biasanya tekanan dirumuskan sebagai P = T . P adalah tekanan, ada-lah densitas, dan T adalah temperatur. Terlihat jelas bahwa tekanan akan bertambah seiring dengan meningkatnya temperatur. Pada perkembangan

teknologi terkini, plasma telah dipakai untuk membuat antena, khusunya

antena untuk operasi rahasia. Cara kerja antena plasma secara prinsip da-

pat dijelaskan sebagai berikut. Transmisi gelombang yang diterima oleh ta-

bung antena berisi gas argon akan mengionisasi gas tersebut menjadi plas-

ma. Selama proses transmisi, elektron di dalam plasma akan berosilasi se-

perti halnya elektron pada antena berbahan logam. Dengan demikian maka

transmisi sinyal radio dapat dilakukan. Ketika antena plasma dimatikan,

gas di dalam tabung kembali menjadi gas netral. Dengan demikian ante-

na plasma tidak terdeteksi oleh radar karena radar tidak dapat mendeteksi

gas.

Sejauh ini, plasma yang umum digunakan di dalam dunia industri ada-

lah plasma elektromagnetik, yaitu gas yang terdiri dari partikel-partikel

elektron atau positron. Jika pada materi plasma dilakukan penambahan

energi yang terus menerus (menaikkan temperatur dan tekanan), maka partikel-



14/87

3

partikel di dalam plasma akan bertambah energik dan terurai menjadi par-

tikel yang lebih elementer. Pada tingkat kepadatan energi tertentu, plasma

akan terisi oleh elektron dan positron. Lalu pada densitas energi di atas 200

MeV, plasma akan terisi oleh quark dan gluon.

Sifat-sifat penting lainnya dari plasma adalah konduktivitas dan viskosi-

tas. Pada disertasi ini kita akan membahas hasil penelitian tentang sifat-sifat

dissipatif salah satu jenis plasma, yaitu viskositas shear dan viskositas bulk

dari quark-gluon plasma (QGP). Viskositas dirumuskan sebagai ukuran re-

sistensi unit-unit terkecil dalam material untuk bergerak ketika dikenakan

gaya. Secara matematis didenisikan sebagai, Viskositas = shear stress / shear

rate . Pada denisi ini, shear stressadalah gaya per unit area yang diperlukanuntuk menggerakkan satu lapis uida dalam hubungannya dengan lapisan

uida lainnya. Sedangakan shear rate adalah ukuran perubahan kecepatan

gerak dari sebuah lapisan uida terhadap lapisan lainnya.

Untuk jenis material tertentu, besar viskositas akan cenderung tetap atau ti-

dak terpengaruh oleh perubahan tekanan dan temperatur. Contoh material

dengan nilai viskositas yang cenderung tetap ini misalnya adalah air dan

madu, dan jenis uida dengan sifat ini disebut uida Newtonian. Namun

pada material umumnya besaran viskositas akan berubah sesuai perubah-

an temperatur dan tekanan.

Data besaran viskositas dari berbagai jenis material sangat diperlukan oleh

industri manufaktur untuk memperkirakan bagaimana sebuah material akan

berperilaku dalam dunia nyata. Sebagai contoh, jika plasma elektromag-

netik tidak diproduksi dengan besar viskositas yang tepat, maka plasma

tersebut tidak akan berfungsi dengan baik ketika dipakai untuk material

coating ataupun untuk penggunaan pada industri lainnya. Demikian jugahalnya dengan material non-plasma. Dengan demikian, ketersediaan da-

ta viskositas material sangatlah diperlukan karena akan berpengaruh pada

bagaimana sebuah proses produksi dan transportasi dirancang.

Keberadaan quark-gluon plasma baru ditemukan sekitar 40 tahun yang

lalu melalui eksperimen tumbukan ion berat ultrarelativistik di laboratori-

um RHIC ( Relarivistic Heavy Ion Collider), Amerika Serikat.

Sejak ditetapkan keberadaannya di dalam eksperimen, sebagian ilmuwan

sika partikel mulai gencar melakukan riset-riset teoritis untuk mempre-



15/87

4

Gambar 1.1: Terjadinya fasa uida sebelum hadronisasi. (Sumber : Nonaka,Asakawa, 2012)

diksi sifat-sifat material baru ini. Berbagai teori dari berbagai sub-teori

sika diusulkam. Para ahli dengan latar belakang penguasaan QCD ( qu-

antum chromodynamics) memandang quark-gluon plasma berada dalam ra-nah QCD. Mereka berusaha menghitung viskositas shaer dan bulk dengan

menggunakan teori QCD latis. Ini dilakukan karena pada teori QCD yang

merupakan teori partikel dengan konstanta kopling yang besar tidak di-

mungkinkan untuk melakukan penghitungan secara analitis. Dalam ren-

tang waktu yang relatif pendek ini para peneliti belum mendapat hasil riset

dan kesimpulan yang baku. Ilmuwan pertama yang memakai istilah plas-

ma adalah Irving Langmuir pada tahun 1920. Ketika itu beliau meneliti

beberapa jenis gas merkuri yang berpijar, dan mendapati bahwa gas-gas

tersebut mempunyai struktur yang sama. Gas-gas tersebut dinamainya se-

bagai plasma.

Quark-gluon plasma adalah sebuah fasa dari kromodinamika kuantum yang

eksis pada densitas dan temperatur yang sangat tinggi, yaitu pada tempe-

ratur sekitar 2 1012K . Fasa ini mengandung quark dan gluon yang bebasasimtutik. Quark dan gluon ini adalah partikel dasar yang membangun ma-

teri. Pada materi umumnya, quark selalu berada dalam kondisi terikat an-tara satu dengan yang lainnya ( conned), sedangkan pada fasa quark-gluon

plasma, quark berada dalam kondisi bebas ( deconned). Pada teori kromo-

dinamika kuantum, quark digolongkan sebagai komponen fermion yang

membangun meson dan barion, dan gluon digolongkan sebagai komponen

boson yang membawa muatan gaya ( colour force).



16/87

5

Gambar 1.2: Diagram fasa quark-gluon plasma. (Sumber : Gauss Center forSupercomputing - Sabine Hoer and Thierfeldt, 2013)

1.2 Perumusan Masalah

Teori-teori yang diusulkan untuk mendeskripsi dinamika dan transisi fasa

pada materi quark-gluon plasma (QGP) serta proses sebaliknya untuk kem-

bali menjadi materi hadronik, sejauh ini masih belum memuaskan. Pada

eksperimen-eksperimen energi-tinggi, kita hanya dapat mengukur partikel-

partikel yang dihasilkan pada nal state. Berarti bahwa proses ekuilibrisasi

(menjadi equilibrium ) ketika densitas energi berkurang atau bertambah, ti-

dak dapat dipelajari dari eksperimen-eksperimen yang sejauh ini dapat di-

lakukan. Demikian pula halnya dengan derajat kebebasan yang ada selama

proses hadronisasi. Dengan demikian, fenomenologi dari QGP, dan khu-susnya dinamika transisi fasa menjadi semacan black box.

Melalui berbagai ekperimen tumbukan ion berat yang dilakukan sejak 1970-

an, beberapa kelompok riset pada tahun 2000 menyimpulkan bahwa peri

laku quark-gluon plasma dapat dirumuskan sebagai uida ideal, teruma

pada wilayah pusat tumbukan. Semakin jauh dari pusat tumbukan, sifat

dissipatif semakin besar, yang berarti sifat uida ideal quark-gluon plasma

menjadi berkurang. Dengan demikian, maka perumusan viskositas yang te-

pat pada quark-gluon plasma menjadi hal yang sangat penting. Temuan ini



17/87

6

juga mendorong para ilmuwan untuk mengajukan pemodelan-pemodelan

quark-gluon plasma yang berbasis uida non-ideal.

Sejauh ini model distribusi viskositas yang memuaskan belumlah dite-

mukan , sehingga riset intensif oleh berbagai kelopok ilmuwan masih terus

digalakkan. Sedikit temuan terbaru dari beberapa kelompok eksperimen-

talis adalah indikasi bahwa viskositas pada quark-gluon plasma sangatlah

kecil. Dari kelompok peneliti yang mendalami teori AdS/CFT menemukan

bahwa /s 1/ 4 . adalah viskositas shear, dan s adalah entropi quark-gluon plasma pada temperatur jauh di atas tingkat energi hadronisasi. Wa-

lau minim dengan teori pendukung dan hasil eksperimen yang ada, sedi-

kitnya data tersebut dapat dijadikan salah satu acuan untuk rumusan vis-kositas yang sedang dibangun.

Permasalahan - permasalahan yang muncul dalam penelitian dapat diru-

muskan sebagai berikut:

1. Quark-gluon plasma yang pada awalnya diperkirakan eksis sebagai

uida ideal, dalam perkembangannya kini ditemukan melalui eks-

perimen sebagai materi yang memiliki nilai viskositas shear dan bulk

yang sangat kecil. Hal ini menjadi topik yang menarik untuk ditinjau lebih jauh, apakah QGP sungguh merupakan uida ideal (tanpa

viskositas), atau benar adanya sebagai jenis materi baru dengan vis-

kositas yang amat kecil?

2. Jika QGP merupakan materi berviskositas (yang sangat kecil), hubung-

an antara viskositas shear dan bulk menjadi hal yang menarik untuk

diteliti.

3. Dinamika viskositas shear dan bulk saat menjelang hadronisasi diha-

rapkan memiliki perilaku yang unik karena sebuah sistim akan men-

jadi sangat labil ketika mengalami perubahan fasa.

4. Jika QGP memiliki viskositas, berapa besarkah nilai shear dan bulk -

nya? Apakah nilai itu tetap di sepanjang rentang energi di mana QGP

dapat terbentuk? Bagaimanakah komparasi nilai viskositas shear dan

bulk hasil hitungan penelitian ini dengan nilai yang dihasilkan oleh

teori-teori lain, ataupun dengan nilai viskositas shear versi AdS/CFT?



18/87

7

5. Menelaah lebih jauh teori dan model yang diajukan dalam disertasi

ini, apakah teori ini juga valid untuk rentang energi yang lebih luas,

dan dapat diaplikasikan untuk pemodelan sisitm lain, pada semesta

awal misalnya ?

1.3 Hipotesa

Dari rumusan masalah di atas dapat disusun hipotesa sebagai berikut:

1. Pemodelan materi quark-gluon plasma dengan menggunakan Lagrang-

ian Quantum Chromodynamics (QCD) yang ditambah dengan suku dis-

sipatif adalah relevan, dan penerapan hukum kekekalan energi dan

momentum pada tensor energi momentum dari QGP akan mengha-

silkan persamaan viskositas shear dan bulk .

2. Viskositas shear materi quark-gluon plasma lebih kecil beberapa orde

dari viskositas bulk

3. Seperti yang biasanya terjadi pada teori interaksi kuat, pada tingkat

energi yang dekat dengan energi hadronisasi viskositas bulk akan me-lonjak secara asimtotik, sedangkan viskositas shear hanya akan ber-

tambah secara linier.

4. Hasil perhitungan viskositas shear dari pemodelan ini akan berada de-

kat dengan hasil perhitungan versi AdS/CFT, yaitu sekitar 10 GeV/fm 2.

5. Pemodelan quark-gluon plasma ini akan menghasilkan teori yang da-

pat diaplikasikan untuk pemodelan fenomena sis plasma lainnya.

1.4 Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini dapat disarikan sebagai berikut :

1. Membuat pemodelan quark-gluon plasma berviskositas dengan La-

grangian invarian gauge yang ditambah dengan suku viskositas, dan

berbasis simetri SU (n)

SU (n).



19/87

8

2. Mendapatkan nilai viskositas shear dan viskositas bulk dari quark-gluon

plasma dalam fungsi densitas energi.

3. Mendapatkan hubungan nilai viskositas shear dan viskositas bulk padatingkat energi menjelang energi hadronisasi.

4. Mendapatkan perbandingan nilai viskositas shear dari pemodelan ini

dengan nilai viskositas shear dari hasil penghitungan teori yang berba-

sis hidrodinamika relativistik, maupun dari penghitungan teori yang

berbasis kuantum kromodinamika latis.

5. Mengaplikasikan teori quark-gluon plasma pada bidang kosmologi,

diantaranya untuk pemodelan transisi fasa pada bintang kompak, dan

penghitungan parameter Hubble pada era semesta awal ( early uni-

verse).

1.5 Manfaat Penelitian

Penelitian ini diharapkan bermanfaat untuk menyumbangkan sebuah su-

dut pandang baru dalam meneliti plasma QCD, khususnya viskositas padaquark-gluon plasma. Lebih jauh lagi, dari teori yang dikembangkan di da-

lam disertasi ini diharapkan dapat digunakan untuk memperkaya temuan-

temuan baru dalam bidang semesta awal.

1.6 Batasan Penelitian

Pada penelitian ini, kajian akan dibatasi pada proses pembangunan model

quark-gluon plasma dan penghitungan viskositas shear dan bulk . Dasar te-ori yang digunakan adalah teori kromodinamika kuantum yang diperluas

dengan usaha unikasi berbagai medan pada tingkat lagrangiannya. Uni-

kasi tersebut dapat dianggap benar melalui pengerjaan dan pembuktian

simetri gauge yang tetap terjaga pada setiap suku yang ada di dalam la-

grangian ini. Sistim yang dibahas di sini dianggap saja berada dalam kea-

daan yang dekat dengan keadaan setimbang. Nilai viskositas shear dan bulk

hanya akan dihitung pada rentang energi di sekitar temperatur hadronisasi.



20/87

9

Nilai viskositas untuk tingkat energi diluar rentang hadronisasi tidak diba-

has, atau kita anggap saja tidak valid untuk dihitung dengan model ini.

1.7 Sistimatika Penulisan

Sistimatika penulisan pada penelitian ini meliputi Bab 1 hingga Bab 6 yang

mengacu pada pedoman teknis penulisan tugas akhir mahasiswa Universi-

tas Indonesia sesuai dengan surat Keputusan Rektor Universitas Indonesia

No.628/SK/R/UI/2008. Bab 1 merupakan pendahuluan yang terdiri dari

latar belakang, perumusan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian,

batasan penelitian, dan sistimatika penulisan. Bab 2 merupakan tinjauanpustaka yang terdiri dari pemahaman perkembangan materi quark-gluon

plasma. Berbagai macam teori pendekatan yang pernah dan sedang dikem-

bangkan sebagai alat analisa, dan hasil-hasil hitungan dan temuan yang

terkini. Bab 3 menerangkan dasar teori yang digunakan untuk membangun

teori quark gluon plasma. Diantaranya adalah konsep simetri dan teori ga-

uge non-Abelian. Model yang berhasil dibangun kemudian dipakai untuk

menghitung viskositas shear dan viskositas bulk . Bab 4 membahas hasil dan

pembahasan. Pada Bab 5 akan diperkenalkan beberapa aplikasi dari teori

QGP. Sebagai penutup, pada Bab 6 dituliskan kesimpulan-kesimpulan dan

saran.



21/87

Bab 2

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Kondisi Mutakhir Penelitian Quark-Gluon Plasma

Penelitian ini bersifat teoritik dengan hasil-hasil perhitungan yang kemu-

dian dibandingkan dengan hasil perhitungan peneliti lain ataupun data

eksperimen dari RHIC. Dasar teori yang digunakan adalah teori kromo-

dinamika kuantum yang diperluas dengan usaha unikasi berbagai me-

dan pada tingkat Lagrangiannya. Unikasi tersebut dapat dianggap be-

nar melalui pengerjaan dan pembuktian simetri gauge yang tetap terjaga

pada setiap suku yang ada di dalam Lagrangian ini. Namun kemudian si-

fat simetri tersebut terpaksa dirusak ketika suku viskositas ditambahkan ke

dalamnya. Suku Lagrangian viskositas yang ditambahkan tersebut diba-

ngun dengan melakukan hitung balik terhadap tensor viskositas yang baku

yang diusulkan oleh Landau dkk. Selanjutnya dari Lagrangian dengan tam-

bahan suku viskositas ini akan dibentuk tensor energi-momentum. Sejauh

ini tensor energi momentum yang terbentuk adalah tensor energi momen-

tum untuk sistim partikel. Untuk memasukkan sifat alir ke dalam tensorenergi momentum tersebut, maka dilakukan semacam transformasi terha-

dap setiap medan gluon yang ada sehingga tensor energi momentum terse-

but juga menggambarkan sekelompok partikel yang mengalir seperti ui-

da. Dengan hukum kekekalan energi dan kekekalan momentum, dari ten-

sor energi-momentum dapat dicari hubungan berbagai persamaan keadaan

(equation of state), yang lebih lanjut akan dipakai untuk membangun persa-

maan viskositas.

Secara sederhana kondisi sis quark-gluon plasma dapat dikatakan se-

10


22/87

11

bagai gas atau uida yang bermuatan. Namun deskripsi quark-gluon plas-

ma sebagai gas ataupun uida sesungguhnya tidaklah tepat, karena plasma

adalah plasma, bukan gas ataupun uida. Dalam melakukan pendekatan,

terpaksa sebagian peneliti menganggap dinamika quark-gluon plasma da-

pat direpresentasikan oleh hidrodinamika relativistik. Unsur relativistik di-

perlukan karena quark-gluon plasma hanya terjadi pada temperatur dan

atau tekanan yang sangat tinggi. Pada pendekatan ini sifat-sifat sis quark-

gluon plasma yang beranalogi dengan uid relativistik dapat diekstrak, se-

perti momentum transversal, tekanan, densitas dan lain-lain. Dan kemu-

dian hasil penghitungan tersebut dibandingakan dengan hasil eksperimen

pada laboratorium LHC maupun RHIC (Bouras, Molmar, Niemi, Xu, El,Fochler, Greiner, Rischke, 2009; Romatschke, 2010; Teaney, Laurent, Shur-

yak, 200; Houvinen, Kolb, Heinz, Ruuskanen, Voloshin, 2001; Kolb, Heinz,

Huovinen, Eskola, Tuominen, 2001; Kolb, Rapp, 2003; Hirano, Tsuda, 2002;

Baier, Romatschke, 2007). Persamaan utama yang biasa dipakai untuk me-

mulai penelitian adalah persamaan tensor energi momentum uida ideal,

yang kemudian ditambah dengan suku viskositas sebagai bagian dissipa-

tifnya. Seperti misalnya, yang terdapat pada penelitian P. Romatske, atau

penelitian lainnya, pembahasan dimulai dengan tensor energi momentum

T = ( + P )uu P g + (2.1)

adalah densitas energi, P adalah densitas tekanan. u dan g adalah

vektor-4 kecepatan dan metrik Minkowski. Sedangkan adalah tensor

viskositas.

= [ u + u 23 ( u)] + ( u) (2.2)

Di sini, = g uu .Ada juga kelompok peneliti lainnya yang cenderung memandang quark-

gluon plasma sebagai bidang ilmu yang berada dalam ranah kromodinami-

ka kuantum murni. Dalam pendekatan ini proses interaksi antar partikel

di dalam sistim menjadi lebih memungkinkan untuk diteliti. Namun efek-

tivitas alat hitung analitis yang sudah dikembangkan untuk menganalisa

interaksi antar partikel yang berinteraksi kuat (QCD) masih sangatlah ter-



23/87

12

batas jika dipakai untuk menganalisa dinamika dan interaksi partikel yang

jumlahnya sangat besar seperti yang terdapat di dalam sistim QGP. Sebagai

jalan keluar, maka dilakukan komputasi numerik, yang dalam hal ini dila-

kukan melalui teori latis gauge (Gottlieb, 2007; Petreczky, 2008) .

Kemudian, terdapat juga model hidrodinamika relativistik berbasis uni-

kasi medan muatan dan medan uida yang dinyatakan dengan tensor ku-

at medan efektif, M F + m/q S . Model ini sudah digeneralisir lebih lanjut ke sistim medan non-Abelian (Mahajan, 2003; Bambah, Mahajan,

Mukku, 2006).

Terinspirasi dengan model unikasi tersebut, pada tulisan ini dikem-

bangkan sebuah teori yang juga menggabungkan medan muatan dan me-dan uida, namun yang tetap berpegang pada rst principal. Teori yang

dibangun akan dimulai dari Lagrangian materi, yang kemudian padanya

dilakukan transformasi gauge untuk menghasilkan medan boson gauge. Da-

ri Lagrangian yang terbentuk dapat dianalisa lebih lanjut untuk mengha-

silkan tensor energi momentum dan persamaan gerak ataupun persamaan

keadaan yang relevan.

2.2 Teori Medan yang Terhibridisasi Sebagai Teori Alter-natif

Pada dasarnya, menggambarkan quark-gluon plasma baik sebagai materi-

al yang didominasi oleh quark maupun gluon dengan hidrodinamika re-

lativistik maupun kromodinamika kuantum murni, adalah hanya sebuah

wacana untuk kondisi sesungguhnya. Menimbang pada kenyataan bah-

wa quark-gluon plasma memang berisikan banyak gluon, quark dan anti-quark, maka menjadi sangat beralasan jika quark-gluon plasma ditangani

dengan teori kromodinamika kuantum. Di sisi lain, hasil dari beberapa eks-

perimen menunjukkan quark-gluon plasma juga bersifat uida, sehingga

quark-gluon plasma juga sangat beralasan untuk digambarkan sebagai sis-

tim uida dengan partikel-partikel uida yang berinteraksi kuat. Sehingga

dengan menimbang kedua fakta tersebut beberapa peneliti melakukan uni-

kasi atau hibridasasi antara medan muatan ( charge eld) dengan medan

uida ( ow eld) (Mahajan, 2003; Bambah, Mahajan, Mukku, 2006).



24/87

13

Dengan tujuan untuk melengkapi pendekatan-pendekatan yang sudah

ada, kami membangun sebuah model dengan pembentukan Lagrangian

yang memiliki simetri gauge non-Abelian untuk materi di dalam uida (Su-

laiman, Fajarudin, Djun, Handoko, 2009; Djun, Handoko, 2011; Sulaiman,

Djun., Handoko, 2006; Nugroho, Latief, Djun, Handoko, 2012). Dalam ke-

rangka kerja ini, sistim kromodinamika kuantum yang berinteraksi kuat le-

bih dianggap sebagai bulk yang merepresentasi uida ideal dari pada se-

bagai sistim interaksi antar partikel pada tingkat mikroskopik. Selanjutnya

dapat ditunjukkan bahwa dari Lagrangian yang terbentuk tersebut dapat

diturunkan persamaan tensor energi momentum dan juga persamaan kea-

daan.Kemudian, dari Lagrangian quark-gluon plasma berbasis uida ideal di-

kembangkan lebih lanjut ke lagrangian quark-gluon plasma berbasis uida

berviskositas. Mengikuti alur penelitian yang sama dengan quark-gluon

plasma uida ideal, kita dapat menurunkan persamaan tensor energi mo-

mentumnya. Karena pada quark-gluon plasma berviskositas tidak terlihat

suku eksplisit dari tekanan dan densitas energi seperti halnya pada ten-

sor energi-momentum uida ideal, maka hubungan antar variable di da-

lam sistim quark-gluon plasma akan dicari melalui hukum kekekalan ten-

sor energi-momentum, T = 0 . Dari hubungan tersebut, akan dibangunpersamaan keadaan ( equation of state) sistim quark-gluon plasma bervisko-

sitas, yang nantinya diharapkan dapat dipakai untuk menemukan sebuah

rumusan viskositas.



25/87

Bab 3

DASAR TEORI QUARK-GLUON PLASMA

Di dalam bab ini pembahasan akan difokuskan pada penyusunan teori QGP.Topik-topik bahasan akan disusun secara runut, dimulai dari prinsip-prinsip

dasar sika partikel elementer , yaitu dari konsep aksi, persamaan gerak, si-

metri, serta konsep invarian gauge. Berbekal pada konsep-konsep tersebut,

kemudian akan diperkenalkan bagaimana sebuah teori / Lagrangian dapat

dibangun melalui proses transformasi gauge. Beberapa contoh akan diba-

has, dari Lagrangian yang sederhana hingga yang kompleks, seperti pada

Lagrangian untuk medan yang terhibridisasi. Kemudian kita akan sampaipada topik utama yaitu pembentukan teori / Lagrangian untuk quark glu-

on plasma. Setelah Lagrangian QGP terbentuk, maka langkah berikutnya

adalah usaha untuk mencari tensor energi momentum. Pada sub-bab tera-

khir persamaan eksplisit untuk viskositas shear dan bulk akan diturunkan

melalui hukum kekekalan energi dan momentum.

3.1 Aksi dan Persamaan Gerak

Secara umum, hukum fundamental dalam sika dapat dinyatakan dalam

konstruksi matematika yang disebut aksi. Ansatz untuk aksi adalah

S = dtL = dx4L. Ini dapat dianggap sebagai sebuah formulasi darisebuah teori. Notasi yang dipakai dalam perumusan tersebut adalah no-tasi ruang-waktu dalam koordinat Minkowski, di mana titik koordinat di-

nyatakan dengan (ct, x ) = ( x0, x1, x2, x3) = x, dan operator derivatifnya

sebagai = ( t ,

) dan = ( t ,

) untuk derivatif kontravarian dan

kovarian. Dari sebuah aksi kemudian dapat dirumuskan hal-hal berikut:

14


26/87

15

persamaan gerak (melalui prinsip Hamilton),

hukum kekekalan (dari teori Noether),

transisi dari sika klasik kepada sika kuantum (dengan path integralataupun kuantisasi kanonik).

Pada teori medan klasik, densitas Lagrangian L merupakan fungsi darimedan-medan dan turunannya. Melalui prinsip least action yang meva-

riasikan aksi terhadap medan dan turunan pertama medannya , dapat

diperoleh sebuah persamaan gerak sebagai berikut,

S = d4xL

= d4x L + L [ ] ( )= 0 . (3.1)

Lakukan integration by part pada suku kedua,

d4x L [ ] ( ) = d4x L [ ] () = d4x L [ ] (),sehingga didapat, d4x L L [ ] = 0,

L

L [ ]

= 0. (3.2)

Pada mekanika klasik, medan merupakan variabel posisi x, dan turunan-

nya menjadi x, sehingga persamaan Euler-Lagrange-nya menjadi

Lx ddt L x = 0. (3.3)

3.2 Simetri dan Transformasi Gauge

Setelah mendapatkan persamaan gerak, pembahasan berikutnya adalah me-

ngenai simetri. Sebuah kondisi dikatakan sebagai simetri jika perubahan

bentuk dari vaiabel-variabel yang ada di dalam sebuah persamaan tidak

mengakibatkan perubahan pada persamaan geraknya. Keadaan persamaan

gerak yang tidak berubah ini disebut juga sebagai invarian. Sebagai contoh,



27/87

16

kondisi invarian dapat terjadi karena translasi ruang, perubahan pada va-

riabel waktu, atau sebuah rotasi. Simetri yang terjadi pada hal-hal tersebut

adalah simetri eksternal, yaitu simetri yang bergantung pada perubahan

ruang-waktu. Selain simetri eksternal, terdapat juga simetri internal untuk

medan yang perubahannya tidak bergantung pada ruang-waktu. Pada me-

kanika klasik terdapat sebuah teorema yang sangat terkenal, yang disebut

sebagai teorena Noether. Teorema ini menghubungkan sifat simetri dengan

kekekalan energi, momentum, atau kekekalan kuantitas lainnya. Untuk ke-

kekalan energi, penurunan matematisnya dapat dilakukan sebagai berikut.

Lakukan variasi pada koordinat ruang waktu,

x x + a (3.4)

di mana a sangatlah kecil dan merupakan parameter sembarang yang meng-

gambarkan pergerakan dalam ruang-waktu. Lakukan ekspansi Taylor se-

hingga medan berubah menjadi

(x) (x + a) = (x) + a . (3.5)

Dengan sebuah variasi yang sangat kecil (perturbasi), medan dapat ditulis

sebagai

+ . (3.6)Ini berarti bahwa variasi dari medan dapat ditulis secara eksplisit sebagai

= a . (3.7)

Berikutnya, lakukan variasi terhadap Lagrangian. Dalam hal ini, Lagrangi-an yang dimaksud adalah Lagrangian yang hanya bergantung pada medan

dan turunan pertamanya.

L= L

+ L ( )

( ). (3.8)

Sebelumnya, dari persamaan Euler-Lagrange terdapat hubungan

L

= L [ ]

. (3.9)



28/87

17

Maka variasi dari Lagrangian dapat ditulis sebagai

L = L [ ]

+ L ( )

( )

= L [ ]

+ L ( )

() .

(3.10)

Dari bentuk ini dapat diubah menjadi bentuk total derivatif. Gunakan hu-

kum perkalian dari kalkulus, (fg ) = f g + fg . Denisikan

f = L [ ]

g = ,

sehingga dapat dituliskan

L= L [ ]

= ( fg ) .

Kemudian gunakan persamaan = a = a = a , maka akan

didapat

L=

L [ ]

a .

Sama halnya dengan variasi pada Lagrangian,

L= (L)a = (L)a .

Di sini, adalah simbol Kronecker delta, = 1 untuk = , dan sisanya

adalah nol. Dari kedua persamaan di atas kemudian didapat

L= (L)a = L [ ] a .

Kumpulkan suku yang sama,

L [ ]

L a = 0 .



29/87

18

Pada persamaan ini, a merupakan parameter sembarang. Agar persamaan

tersebut menjadi nol, maka suku derivatifnya harus sama dengan nol,

L [ ] L = 0 .Suku-suku yang terdapat di dalam tanda kurung adalah suku-suku yang

membentuk persamaan tensor energi momentum. Yaitu,

T = L [ ]

L. (3.11)

Di sini relasi kekekalannya terlihat dengan jelas,

T = 0 (3.12)

Jika diambil = = 0 , maka diperoleh

T 00 = L

L= H. (3.13)

T 00 tidak lain adalah densitas Hamiltonian, yaitu densitas energi, sedang-

kan persamaan

0T 0

0 = 0

menggambarkan kekekalan energi. Komponen-komponen densitas momentum dari medan diwakili oleh T 0i , di mana

i adalah indeks ruang. Komponen momentumnya sendiri adalah integral

setiap suku terhadap ruang.

P i = d3x T 0i (3.14)

Hal berikutnya yang akan diulas di sini adalah mengenai transformasi gauge. Ide transformasi gauge muncul dari analisa mengenai listrik dan magnet

di mana potensial skalar dan vektor A dapat diubah tanpa menyebabkan

perubahan pada persamaan medan E dan B . Sebagai contoh, medan mag-

net B dapat didenisikan dengan vektor potensial A melalui curl,

B = A.



30/87

19

Diketahui bahwa terdapat relasi vektor ( F ) = 0 untuk sembarang F . Persamaan Maxwell B = 0 akan tetap terpenuhi ketika B = A.

Sekarang andaikan f adalah fungsi skalar, dan denisikan sebuah vektor

potensial A sebagai

A = A + f.

Dengan menggunakan relasi f = 0, akan terlihat bahwa medan mag-net B menjadi tetap walaupun A berubah.

B = A = ( A + f ) = A + f = A

Transformasi elektrodinamik seperti ini disebut sebagai transformasi gauge.

Pada teori medan, transformasi yang serupa dapat diterapkan pada La-

grangian dengan kondisi invarian yang tetap terjaga. Untuk jelasnya, kita

ikuti contoh berikut. Lagrangian Klein-Gordon dengan medan kompleks

dinyatakan sebagai

L= m2. (3.15)

Di sini, adalah konjugat kompleks dari , dan m adalah massa partikel.

Lalu, denisikan U adalah transformasi unitary (unitary transformation ) yang

dilakukan terhadap medan-medan di dalam Lagrangian. Secara matematis

ditulis sebagai

U, (3.16)

dan

U . (3.17)

Karena transformasinya bersifat unitary , maka U U = U U = 1 . Untuk me-

lihat perubahan yang terjadi di dalam Lagrangian, analisa dapat dilakukan

untuk suku per suku. Pada suku pertama,

(

U

)

(U) .



31/87

20

Karena U tidak bergantung pada ruang-waktu, maka operator turunan ti-

dak memberi pengaruh terhadapnya. Sehingga,

(U ) (U) = ()(U U ) () = .

Sama halnya dengan suku kedua,

m2 m2(U )(U) = m2(U U ) = m2 .

Dengan demikian terlihat bahwa dalam persamaan ini transformasi gauge

menjaga Lagrangian tetap invarian. Karena U konstan, maka bentuknya da-

pat dituliskan sebagai U = ei

, di mana adalah konstan. Atau dalam kon-teks tertentu dapat berupa matriks Hermitian. Karena konstan, maka

transformasi gauge-nya disebut transformasi gauge global. Selain transfor-

masi gauge global, terdapat juga transformasi gauge lokal yang bergantung

pada perubahan ruang-waktu.

Kembali pada U, namun U bergantung pada ruang-waktu U = U (x).Ini berarti bahwa suku seperti U tidak menjadi nol. Sekarang akan di-

ulas bagaimana sebuah Lagrangian berubah sesuai dengan transformasi

U. Sebut saja L = m2. Pada Lagrangian ini, sukukeduanya tetap invarian, seperti yang ditunjukkan sebagai berikut,

m2 m2U (x)U (x) = m2.

Suku pertama akan berubah karena U = U (x), sebagai berikut

(U ) = ( )U + (U ).

Dan juga

(U ) = ( U ) + U ().



32/87

21

Karena U adalah unitary , maka persamaannya dapat ditulis sebagai berikut

(U) = ( U ) + U ()= UU ( U ) + U ()

= U [ + ( U U )] .

Agar tetap invarian, suku (U U ) harus dihilangkan. Hal ini dapat di-

lakukan dengan mengintrodusir sebuah medan yang bergantung ruang-

waktu A = A(x). A disebut sebagai potensial gauge. Lalu diintrodusir

juga derivatif kovarian yang bekerja terhadap medan ,

D = iA . (3.18)

Dengan derivatif kovarian ini, maka bentuk Lagrangian akan tetap invarian

terhadap transformasi gauge lokal. Di sini U (x) berubah menjadiD U (x)D, dan A bertransformasi menjadi A UAU + iU U .

3.3 Lagrangian dan Teori Invarian Gauge untuk Sistim

Medan yang Terhibridisasi

Selama beberapa dasawarsa terakhir, banyak peneliti yang berusaha untuk

menggambarkan hibridisasi dari berbagai medan muatan dengan medan

uida dalam suatu sistim kuantum yang dinamis. Salah satu perumusan

yang banyak terlihat dalam publikasi adalah unikasi medan eletromag-

netik dengan medan uida, yang dinyatakan dengan tensor kuat medan

efektif, M F + m/q S . Di sini F dan S adalah tensor kuat medandari medan elektromagnetik dan medan uida. m/q adalah sekedar faktorskala yang terdiri dari massa partikel dan konstanta kopling.

Jalan lain yang memungkinkan untuk melakukan hibridisai pada skala ku-

antum adalah dengan beranalogi pada teori unikasi sika partikel, di ma-

na medan muatan dan medan uida didenisikan sebagai medan-medan

kuantum yang berinteraksi maupun dalam keadaan bebas. Dengan ber-

basis simetri gauge, unikasi yang dibuat tersebut bahkan dapat mewakili

bentuk kombinasi yang lebih luas.



33/87

22

Fluida Abelian berinteraksi dengan medan elektromagnetik dengansimetri grup U (1)F U (1)G .

Fluida non-Abelian berinteraksi kuat dengan medan gauge non - Abe-lian dengan simetri grup G(n)F G(n)G

Fluida non-Abelian berinteraksi dengan medan elektromagnetik de-ngan simetri grup G(n)F U (1)G

Berpegang pada rst principle, prosedur yang digunakan untuk memba-

ngun sebuah teori atau Langrangian adalah dengan melakukan transfor-

masi gauge pada medan materi di dalam sebuah grup tertentu. Dari proses

transformasi tersebut akan muncul medan-medan baru yang memiliki de-

rajat kebebasanya sendiri, serta menunjukkan interaksinya dengan medan

materi. Untuk sampai pada perumusan lagrangian quark-gluon plasma,

pembahasan akan dimulai dari densitas Lagrangian untuk medan boson.

Densitas Lagrangian untuk medan boson dinyatakan sebagai berikut :

L= m2. (3.19)

adalah konjugat kompleks dari . Untuk unikasi medan materi dan

medan gauge, dilakukan transformasi gauge lokal, U (1)F DU (1)G pada me-

dan materi,

(x) U (x)F U (x)EM (x).Di sini U (x)F = e

i (x) , dan U (x)EM = e i (x) . U (x) dapat diekpansi seba-

gai berikut, e i (x) (1 i (x)) .Lalu dikerjakan transformasi gauge lokal sehingga didapatkan suku-suku

tambahan :

= i ( + ) = i ( + )

= i i i ( + ) = i + i + i ( + )



34/87

23

Pada tahap ini akan terlihat bahwa Lagrangian tidak invarian terhadap trans-

formasi gauge lokal, L= 0

L = L + L + L ( ) ( ) + L ( ) ( )= ( + ) i ( )= ( + ) J , (3.20)

dimana J = i ( ).

Untuk membuat Lagrangian invarian terhadap transformasi gauge lokal,

maka diperlukan beberapa suku tambahan pada densitas Lagrangian.

L1 = (eA + gB) J A dan B adalah medan gaugedengan transformasikan gaugesebagai

berikut :

A (x) A (x) + 1e

,

B (x) B (x) + 1g

.

e dan g adalah konstanta kopling yang menentukan kekuatan interak-

si antara medan terkait.

Dengan demikian innitesimal dari L1 adalah:

L1 = ( + ) J (eA + gB) J . (3.21)

Namun

L+ L1 = (eA + gB) J = 2 (eA + eA + gB + gB )= 0 (3.22)

J adalah J = 2 ( + ).

Di sini terlihat bahwa masih diperlukan tambahan suku Lagrangian

berikutnya.

L2 = ( e2AA + g2BB + 2 egAB ) ,Universitas Indonesia


35/87

24

di mana L2 = (2 eA + 2 gB + 2 gB + 2 eA ) .Sehingga didapatkan : L+ L1 + L2 = 0.Maka bentuk Lagrangian yang invarian gauge adalah,

L= m2 (eA + gB) J + e2AA + g2BB + 2 egAB (3.23)

Agar medan gauge yang statis memiliki bentuk dinamis maka diperlukan

suku kinetik yang tersusun dari A dan B . Bentuk skalar yang me-

menuhi dan invarian terhadap transformasi gauge ataupun Lorentz adalah

sebanding dengan F

F dan S

S . Dengan :

F (x) = A A (3.24)S (x) = B B (3.25)

Densitas Lagrangian total yang invarian terhadap transformasi gauge lokal

menjadi,

Ltotal =

m2

(eA + gB) J

+ e2AA + g2BB + 2 egAB

14

F F 14

S S . (3.26)

Jika Lagrangian tersebut ditulis dengan derivatif kovarian, yaitu

D = + ieA + igB,

dan transformasinya D (x) U (x) D (x), maka

Ltotal = DD m2 14F F 14S S . (3.27)Kemudian dengan proses yang sama, Lagrangian yang simetri gauge untuk

medan fermion dapat diturunkan.

Lagrangian untuk medan fermion adalah sebagai berikut,

L= i m. (3.28)



36/87

25

Setelah dilakukan transformasi gauge pada medan fermion akan didapatk-

an

L=

iD

m

1

4F F

1

4S S , (3.29)

di mana D = ( + ieA + igB) .

Setelah melakukan transformasi gauge lokal pada medan boson dan me-

dan fermion, untuk selanjutnya transformasi tersebut juga dapat diterapkan

pada grup medan gauge yang lebih besar. Untuk kasus yang lebih umum

adalah transformasi medan boson dan medan fermion yang menggambark-

an interaksi antara uida non-Abelian dengan medan gauge non-Abelian

yang dinyatakan dengan G (n)F G (n)G .

Lagrangian medan materi untuk medan boson dan medan fermion dapat

dinyatakan sebagai berikut,

L= m2 i m. (3.30)

Kemudian medan materinya dapat ditransformasikan sebagai berikut :

= exp [i ( + )] , (3.31) = exp[i ( + )] . (3.32)

Di sini = a T a , dan = a T a . T a adalah generator dari grup Lie yang me-

rupakan matriks Hermitian dan traceless T a = T a dan T rT a = 0. Generator-

generator ini memenuhi relasi komutasi tertutup,

[T a , T b] = iC abcT c (3.33)

dengan C abc adalah konstanta struktur antisimetrik dengan C abc = C bac . Jumlah generator dan medan gauge ditentukan oleh dimensi dari grup. Me-

dan materi merupakan multiplet n 1 dengan jumlah elemen n untuk grupLie dengan dimensi n seperti SU(n). Grup SU(n) memiliki generator seba-

nyak n2 1 dan index a = 1, 2, ....n 2 1. Untuk SU(3), T a = a2 dengan aadalah matriks Gell-Mann dan a = 1, 2....8. Lagrangian yang invarian terha-

dap transformasi gauge lokal diatas dapat diperoleh dengan memasukkan



37/87

26

suku yang mengandung medan gauge Aa dan medan uida non-Abelian

Ba dengan sifat transformasi :

Aa Aa Aa + 1gG a + C abcbAc , (3.34)Ba Ba Ba +

1gF

a + C abc bBc , (3.35)

dengan gF sebagai konstanta kopling uida dan gG merupakan konstanta

kopling gauge. Secara umum densitas Lagrangian materi yang invarian ter-

hadap simetri gauge adalah :

L=

Lmateri +

Lkinetik +

Linteraksi, (3.36)

dengan :

Lkinetik = 14

S a S a 14

F a F a , (3.37)

S a = B a B a + gF C abcB b B c , (3.38)

F a = A a Aa + gG C abcAb A c . (3.39)

Sedangkan suku-suku interaksi pada densitas Lagrangiannya adalah :

untuk Boson :

Lint = gF Ba J aF gG Aa J aG + g2G Aa AbT aG T bG +g2F B

a Bb

T aF T bF + gF gGAa Bb (T aG T bF + T bF T aG ) , (3.40)

untuk fermion :

Lint = gF Ba J aF gGAa J aG . (3.41)

J a adalah arus materi untuk materi boson dan fermion dengan perumusan

J a boson = i T aX T aX , (3.42)J a fermion =

T aX , (3.43)



38/87

27

dengan : X = F, G dan = o. Densitas Lagrangian untuk materi dapat

juga ditulis dalam bentuk derifatif kovarian,

L= ( D ) D + (i D m) 14S a S a 14F a F a , (3.44)di mana derifatif kovariannya adalah,

D = + igGAbT bG + igF BbT bF . (3.45)

Dari densitas Lagrangian paling umum yang terbentuk tersebut, kondisi-

kondisi khusus dapat diterapkan ketika diperlukan untuk mengkonstruksi

sistim yang lebih sederhana, seperti misalnya untuk memodelkan sistimquark-gluon plasma.

Pada tahap berikutnya, dari densities lagrangian yang terkonstruksi da-

pat dirumuskan persamaan gerak melalui persamaan Euler-Lagrange se-

suai dengan medan yang dikehendaki, misalnya U a ,

LU a

L ( U a )

= 0. (3.46)

Substitusikan Pers.( 3.44) ke dalam Pers.( 3.46), akan didapat,untuk medan gauge Abelian

S = gF J F , (3.47)

dan untuk medan gauge non-Abelian,

D S a = gF J aF , (3.48)

dengan arusnya,

J aF , boson i[(D)T aF T aF (D)],J aF , fermion J aF . (3.49)

Dengan mendenisikan medan gluon sebagai medan alir (penjelasan terda-

pat pada sub Bab 3.6),

U a = ( U a0 , U

a ) ua (1, v )a , (3.50)Universitas Indonesia


39/87

28

di mana u adalah vektor-4 untuk kecepatan relativistik dan a adalah se-

buah medan skalar, maka Pers.( 3.48) dapat ditulis sebagai

0( U a0 0U a ) i( U ai iU a ) = gF J aF + F a , (3.51)di sini

F a C abcF [ 0(U bU c0 ) i(U bU ci )] i T dF U d0 +

gGgF

T dGAd0 ( U a0 0U a + gF C abcF U bU c0 )

+ i T dF U d i +

gGgF

T dG Ad i ( U ai iU a + gF C abcF U bU ci ).

(3.52)

Integralkan persamaan Pers.( 3.51) terhadap ruang-waktu ,

t

U a U a0 = gF dx (J aF + F a ). (3.53)Kondisi di atas didapat dengan mengasumsikan bahwa sistim yang dibahas

terbentuk dari uida irrotational, yang berarti vortisitas a U a = 0 ,serta identitas, j U a

i iU a

j = jik (

U a )k .

Kemudian substitusikan Pers.( 3.52) ke dalam Pers.( 3.53) sehingga didapat,

t

( v a ) + (a ) = gF dx (J aF 0 + F a0 ). (3.54)

Ini adalah persamaan gerak untuk uida relativistik non-abelian.

3.4 Solusi Medan Gauge dari Persamaan Gerak Fluida

Relativistik Non-Abelian

Pers.( 3.54) yang merupakan persamaan gerak uida relativistik non-Abelian

adalah persamaan differensial parsial non-linear.

t

( v a ) + (a ) = gF dx (J aF 0 + F a0 ). (3.55)

Agar tetap dapat diselesaikan secara analitik, persamaan tersebut harus di-

sederhanakan. Penyederhanaan yang akan dilakukan di sini adalah sebagai

berikut, medan alir gluon a untuk a = 1, 2, 3, ..... 8 dianggap homogen se-



40/87

29

hingga a = . Konsekwensi dari asumsi yang homogen ini adalah bahwa

generator T a dari grup SU (3) dapat dituliskan sebagai penjumlahan aljabar

T = a T a , dan lebih jauh lagi nilainya dapat dianggap sebagai T = 1. Lalu

medan skalar dianggap hanya terdiri dari 2 variabel = (t, x ), serta di-

ambil asumsi bahwa kecepatan uida v adalah konstan.

Dengan demikian , persamaan diferensial tersebut menjadi

t

( v ) + 1x

() = gF dx(J F 0 + F 0). (3.56)Lakukan derivatif x terhadap Pers.( 3.56), hasilnya adalah

tx ( v ) + xx () = gF (J F 0 + F 0). (3.57)

Di sini J F 0 = = 0 .Dan,

F 0 = i U i + gGgF

Ai ( 0U i iU 0)= i v +

gGgF

A ( t ( v ) x ())= i v t ( v )

gGgF A

t () + i v x ( v ) g

GgF A x ()

= i 2v 2 t gGgF

A t + i 2v 2 x gGgF

A x. (3.58)

Substitusikan kembali F 0 ke Pers.(3.57), didapat

v tx + xx = gF i 2v 2( t + x) + gGgF

A ( t + x). (3.59)

Lalu denisikan = v , = gF , = i 2v 2, dan = gGgF A , maka

Pers.( 3.59) menjadi

tx + xx + + t + x t x = 0. (3.60)

Agar dapat diselesaikan, persamaan diferensial parsial ini harus diubah

menjadi persamaan diferensial biasa.



41/87

30

Denisikan = (x iCt ), di mana z = x iCt , sehinggaz x

= 1 x = z ,z t

= iC t = iC z , tx = iC zz , xx = zz .

Sekarang persamaannya menjadi,

iCzz + zz iC z + z + iC z z = 0

atau,

(iC + )zz (iC )z + ( iC ) = 0.

atau,

1zz 2z + 3z = . (3.61)

Di sini, 1 = iC + , 2 = iC , and 3 = iC .Dari Pers.( 3.61) kemudian akan dicari solusi homogennya.

1zz 2z + 3z = 0. (3.62)

Misalkan = z , lalu persamaan di atas dapat diubah menjadi

1zzz 2z zz + 3zz = 0

atau,

1zzz 2

2 (2z )z + 3zz = 0. (3.63)



42/87

31

Integralkan Pers.( 3.63),

1zz 2

2 2z + 3z = 0,

1 dz

dz = 2

2 2z 3z ,

dz 22 2z 3z = 11 dz. (3.64)Mengikuti rumus diferensial dxbx2 ax = 1a ln( bx ax ), persamaan di atas akanmenjadi,

13

ln ( 22 z 3

z) + C 1 =

z 1

+ C 2. (3.65)

Kemudian medan dapat dinyatakan secara eksplisit

= z = 2 2 eC 1 3

2 eC 1 3 2 e 3 1

z + C 23. (3.66)

3.5 Lagrangian dan Teori Invarian Gauge untuk QGP

Pada pemaparan berikutnya, quark-gluon plasma akan digambarkan seba-

gai sistim yang terdiri dari quark dan anti-quark yang berinteraksi dengan

gluon-gluon dan medan elektromagnetik. Densitas Lagrangiannya dinya-

takan dengan simetri gauge SU (3)F U (1)G . Lagrangian medan materinya(fermion) dapat dinyatakan sebagai berikut,

L= i Q Q mQ QQ. (3.67)

Q dan Q adalah quark dan anti-quark. adalah matriks Dirac. Dan mQadalah massa quark. Kemudian transformasi medan materinya adalah se-

bagai berikut :

Q Q = exp [i ( + u)] Q. (3.68)

Di sini = (x), dan u = ua T a . T a adalah generator dari grup Lie. Lagrang-

ian yang invarian terhadap transformasi gauge lokal diatas dapat diperoleh

dengan memasukkan suku yang mengandung medan gauge A dan medan



43/87

32

uida non-Abelian U a dengan sifat transformasi :

A A A + 1gG

, (3.69)

U a U a U a + 1gF

ua + f abcubU c , (3.70)

dengan gF sebagai konstanta kopling medan uida, gG merupakan konstan-

ta kopling medan gauge, dan f abc adalah konstanta struktur dari grup. Den-

sitas Lagrangian materi yang invarian terhadap simetri gauge adalah ,

L= Lmateri + Lkinetik + Linteraksi , (3.71)

dengan

Lkinetik = 14

S a S a 14

F F , (3.72)

S a = U a U a + gF f abcU b U c , (3.73)

F = A A . (3.74)

Sedangkan suku-suku interaksi pada densitas Lagrangiannya adalah,

Lint = gF U a J aF + gG AJ G (3.75)dengan J aF = Q T a Q, dan J

G = Q Q. J

aF adalah arus quark yang mun-

cul sebagai konsekuensi dari invarian gaugegrup SU (3), dan J G adalah arus

quark dari invarian gauge grup U (1) . Dengan demikian densitas Lagrangi-

annya dapat dituliskan sebagai,

L= i Q Q

mQ QQ

1

4S a S a

1

4F F + gF U a J aF + gG AJ

G . (3.76)

Pada perkembangan riset terkini untuk quark-gluon plasma, sebagian pe-

neliti meyakini bahwa unsur-unsur pembentuk quark-gluon plasma lebih

didominasi oleh quark dan sebagian lainnya mempercayai bahwa quark-

gluon plasma lebih didominasi oleh gluon.

Merujuk pada pembahasan bab sebelumnya yang menunjukkan bahwa da-

ri medan gluon dalam Lagrangian yang didenisikan dengan kombinasi

medan skalar dan vektor kecepatan relativistik dapat diturunkan persama-



44/87

33

an gerak uida, maka sistim quark gluon plasma yang digambarkan oleh

Lagrangian yang dibuat adalah QGP gluonik.

Konsekuensi pertama untuk quark-gluon plasma yang terdominasi gluon

adalah bahwa suku-suku yang tidak mengandung gluon serta suku yang

tidak menunjukkan adanya interaksi medan lain dengan medan gluon da-

pat diabaikan. Dalam hal ini yaitu suku pertama dan suku kedua pada

lagarngian. A sebagai medan gauge elektromagnetik yang merupakan me-

dan perantara interaksi lemah juga dapat diabaikan karena pengaruhnya

kecil sekali di dalam sistim interaksi kuat quark dan gluon.

Sekarang Lagrangian quark-gluon plasma dapat ditulis dalam bentuk yang

jauh lebih sederhana,

L= 14

S a S a + gF U a J aF . (3.77)

Sifat uida pada quark-gluon plasma di dalam Lagrangian ini direpresen-

tasikan oleh medan gauge gluon (U a ), dan kemudian quark (Q) serta anti-

quark ( Q) akan berlaku sebagai partikel-partikel yang berada dalam medan

uida.

3.6 Tensor Energi Momentum dari QGP Terdominasi Glu-on

Sekarang kita dapat melangkah lebih jauh untuk menurunkan persamaan

tensor energi-momentum dari Lagrangian yang telah dibangun. Dari eks-

perimen diketahui bahwa pada saat medan gluon dan quark bearada dalam

keadaan quark-gluon plasma, observabelyang bersifat relativistik klasik juga

sangat menonjol, seperti viskositas dan entropi misalnya. Karenanya, ak-

si total QGP dapat dirumuskan di dalam kerangka geometry ruang-waktu

yang umum R, dituliskan sebagai S = R d4x gL, dimana g adalah de-terminan dari metrik g . Persamaan baku yang ada untuk mencari tensorenergi-momentum adalah,

T = 2 g

(L g)g

. (3.78)



45/87

34

Lagrangian QGP, L= 14 S a S a + gF U a J aF , diubah ke bentuk berikut

L L g = 14

S a S a + gF J a U

a g= 14S a S a g + gF J a U a g (3.79)

Untuk suku pertama,

L1 = 14

S a S a g

= 14

g g S a S a g (3.80)

Kemudian, L1g

= 14

g

g g S a S

a g + g

g

g S a S

a g

+ g g S a S a

gg

= 14

g S a S

a g + g S a S a g

+ g g S a S a

12 g g

= 14 g

S

a S

a g + g

S

a S

a g

12 g g S

a S

a

= 14

S a S a g + S a S a g

12 g g S a S a . (3.81)

Ubah dummy index , , L1g

= 14

S a S a g + S a S a g

12 g g S a S a . (3.82)

Untuk suku pertama, indeks dan diubah, dan pada suku kedua sifat

antisimetri S a = S a dipergunakan. L1g

= 14

S a S a g S a S a g

12 g g S a S a . (3.83)



46/87

35

Kita juga kemudian menggunakan sifat antisimetri dari S a = S a . L1g

= 14 S a S a g S a S a g

12 g g S a S a

= 14 2S a S a g

12 g g S a S a

= 14 2 g S a S a

12 g g S a S a

= 1

2 g S aS a + g

14

S a S a

(3.84)

Pada suku kedua,

L2 = gF J a U a g= gF g J a U

a g. (3.85)

Kemudian,

L2g

= gF g

g J a U

a g + gF g J a U a

gg

= gF J a U a

g + gF J a U

a

1

2

gg

= 1

2 g[2gF J a U a g gF J a U a ] (3.86)

Sehingga secara keseluruhan,

Lg

= 1

2 g S aS a g

14

S a S a + gF J a U

a + 2gF J a U a

= 1

2 g[S aS a g L+ 2 gF J a U a ]. (3.87)

Akhirnya didapatkan,

T = 2 g

Lg

= 2 g

12 g[S aS a g L+ 2 gF J a U a ]

= S aS a

g L+ 2 gF J a U a (3.88)

Untuk memasukkan sifat uida ke dalam lagrangian dan tensor energi mo-

mentum di atas, medan gluon U a disusun ulang agar mengandung suku



47/87

36

kecepatan relativistik seperti berikut.

U a = ( U a0 , U

a ) = ua . (3.89)

Di sini u = (1, v ) dan = (1 |v a |2)1/ 2. a = a (x) adalah medan ska-lar yang dibuat berdimensi satu agar dimensi keseluruhan persamaan tetap

konsisten, dan a juga merepresentasikan distribusi medan. Dengan deni-

si seperti ini, medan gluon tunggal U a yang secara konvensional berperan

sebagai partikel, dapat juga berlaku sebagai uida pada skala tertentu. Atau

dapat pula dianggap sebagai transisi fasa material quark-gluon plasma. Ke-

tika berlaku sebagai partikel, medan gluon tersebut akan terikat dalam ha-

dron yang stabil, dan memiliki vektor polarisasi sebagai mana partikel pada

umumnya U a = a . Sedangkan untuk keadaan sebelum hadronisasi se-

perti halnya kondisi quark-gluon plasma, medan gluon berperilaku sebagai

partikel alir berenergi tinggi, dengan sifat sis yang didominasi oleh kece-

patan relativistiknya.

Hubungan U a = ua dan U a = a , seperti semacan transisi fasa,

hadronic state

QGP state

u .Ketika denisi U a = ( U a0 , U a ) = ua digunakan pada persamaan tensor

energi momentum yang terbentuk di atas, dan semua medan gluon diang-

gap homogen 1, 2, ....... 8 = , maka persamaan tensor energi momentum-

nya dapat diolah lebih lanjut.

T = S aS

a g L+ 2 gF J

a U

a

(3.90)



48/87

37

Suku pertama di sebelah kanan persamaan dapat dijabarkan sebagai ber-

ikut.

S aS a = ( U a U a + gF f abcU bU c ) ( U a U a + gF f ade U dU e )= U a

U a U a U a + U a gF f ade U dU e U a U a + U a U a U a gF f abcU dU e + gF f abcU bU

c

U a gF f abcU bU c U a + g2F f abcf ade U bU c U dU e = 2 U a

U a 2 U a U a + 2 U a gF f

ade U dU e 2gF f abcU bU c U a+ g2F f

abcf ade U bU c U

dU e

(3.91)

Kemudian suku tensor kuat medan pada suku kedua di sebelah kanan per-

samaan.

S a S a = ( U a U a + gF f abcU b U c ) ( U a U a + gF f ade U d U e )

= U a

U a

U a

U a

+ U a gF f

ade

U d

U e

U a U a + U a U a U a gF f ade U d U e+ gF f abcU b U

c

U a gF f abcU b U c U a + g2F f abcf ade U b U c U d U e= 2 U a

U a 2 U a U a+ 2 U a gF f

ade U d U e 2gF f abcU b U c U a+ g2F f

abcf ade U b U c U

d U e (3.92)



49/87

38

Setelah semuanya dijumlahkan, persamaan tensor energi momentum men-

jadi sebagai berikut.

T = S aS a g L+ 2 gF J a U a = S aS

a g (

14

S a S a + gF J a U

a ) + 2 gF J a U a

= S aS a

+ 14

g S a S a g gF J a U a + 2 gF g J a U a

= 2 gF g J a U a + S aS

a g gF J a U a +

14

g S a S a

= [2gF g J a U a + g2F f

abcf ade U bU c U

dU e ]

[g gF J a U a 14

g g2F f abcf ade U bU

c U

dU e ] (3.93)

Sumasi dari S aS a dan 14 g S a S a di dalam tensor energi momentum

dapat disederhanakan karena suku-suku yang bersesuaian akan saling me-

niadakan. Sebagai contoh, suku pertama dari S aS a akan ditiadakan oleh

suku kedua dari 14 g S a S a .

2 U a U a =

14

g (2 U a U a )

= 1

4g (2 g g U a g

g U a g )

= 1

4(2 g g g g U a g

g U a )

= 1

4(2

U

a

U a )

= 1

4(2 U a

U a )

= 1

4(2 U a 4

U a )

= 2 U a U a

Sama juga yang terjadi pada:

suku kedua dari S aS a dengan suku pertama dari S a S a ,

suku ketiga dari S aS a dengan suku keempat dari S a S a ,

suku keempat dari S aS a dengan suku ketiga dari S a S a .

Akhirnya, suku kelima dan kedua, S aS a dan S a S a dijumlahkan.

Kemudian asumsikan bahwa solusi dari J adalah solusi untuk fermion be-

bas, = u( p)e ip x untuk (i m) = 0, di mana u adalah spinor bebas



50/87

39

komponen-4.

(i m)u( p)e ip x = 0i [ (u( p)e ip x )] m u( p)e ip x = 0

i [u( p) (e ip x ) + ( e ip x )( u( p))] m u( p)e ip x = 0i u( p) (e ip x ) m u( p)e ip x = 0

i u( p)(ip)(e ip x ) m u( p)e ip x = 0 u( p) p(e ip x ) m u( p)e ip x = 0

Kalikan kedua sisi dengan = u( p)eip x , didapat

u1,2 pu1,2 mu1,2u1,2 = 0 , dengan u1,2u1,2 = 2mu3,4 pu3,4 + mu3,4u3,4 = 0, dengan u3,4u3,4 = 2mSehingga,

u pu = m(4m)

u p pu = 4m2 p

u u = 4 p (3.94)

J a = T a = u uT a = 4 pT a .

Kemudian, karena U a = ua

J a U a = 4 pT a ua

= 4 mQ u T a ua

= 4 mQ T a a (3.95)

Bawa kembali hasil ini kepada tensor energi momentum

T = [2gF g J a U a + g2F f abcf ade U bU c U dU e ][g gF J a U a

14

g g2F f abcf ade U bU

c U

d U e ]

= [2gF g (4mQ T a a )uu + g2F f abcf ade uu bcde]

[4g gsmQ T a a 14

g g2s f abcf ade bcde]

= [8gsmQ T a a + g2F f abcf ade bcde]uu

[4gs mQ T a

a

14g

2F f

abcf

ade

b

c

d

e]g . (3.96)



51/87

40

Atau ditulis juga sebagai

T = [8gF T a f Q mQ + g2F f 2g 4]uu

[4gF T a f Q mQ 14g2F f 2g 4]g . (3.97)

Di sini f 2g = f abcf abc , dan f abc adalah konstanta struktur untuk colour gluon,

dan f Q adalah faktor penjumlahan colour quark dari J a U a . mQ adalah mas-

sa quark, gF adalah konstanta kopling interaksi kuat.

Tidak seperti bentuk sebelumnya, pada bentuk ini tensor energi momentum

terlihat jelas sebagai tensor energi momentum uida ideal. Dalam konteks

quark-gluon plasma, berarti persamaan ini adalah tensor energi momen-

tum untuk quark-gluon plasma yang berbasis uida ideal.

Sebagai keterangan tambahan, ketika medan gluon dianggap homogen, ma-

ka timbul konsekuensi pada generator grup, T = a T a , dan lebih jauh lagi

T = 1. Ini bisa dilihat dari sifat transformasi dari grup SU (3) serta kebera-

daan medan-medan gauge yang timbul menyertainya.

U a e ia T a U a .

U a U a eia

T a

.

Generator grupnya mengikuti komutasi aljabar Lie [T a , T b] = if abcT c, dan

a,b,c = 1, 2, ......, 8, yang juga berarti dimensi grup SU (3) adalah 8.

Medan gaugeyang otomatis ditimbulkan dalam penerapan grup SU (3) , ada-

lah U = T a U a , juga berjumlah 8 sesuai dengan dimensi grup, yang juga

jumlah generator. Jika U a dianggap homogen (semua medan gluon sama),

maka U = T a U , yang berarti T a = 1 .

Jika T a = 1 diterapkan kembalik ke bentuk transformasi gauge SU (3)

U a e iaU a . = ( U e i

1 U ),

U a U a eia

= ( U U ei1 ),

terlihat bahwa transformasinya sama dengan bentuk transformasi gaugeU (1)

yang terdapat pada QED.

Mengingat bahwa hasil-hasil eksperimen quark-gluon plasma selalu me-

nunjukkan keberadaan viskositas, maka akan menjadi lebih natural jika pa-



52/87

41

da persamaan tensor energi momentum di atas juga ditambahkan suku vis-

kositas. Merujuk pada skema penelitian oleh P. Romatschke, dkk. [3] [9],

tensor energi momentum dengan tambahan suku viskositas dituliskan se-

bagai berikut,

T = S aS a g Lg + 2gF J a U a + t(vis ) . (3.98)

t (vis ) = cT a ( U a + U a U a U a U a U a U a U a )+

23

cT a U a (g U a U a ) cT a U a (g U a U a )=

cT a ( U a + U

a

U a U

a U a

U a U

a U a )

+23

cT a U a g (1 U a U a )cT a U a g (1 U a U a ) (3.99)

Substitusikan U a = ua ke dalam t(vis ) , and c = 1 .

t (vis ) = T a (ua ) + (u a ) (u a )(u a ) (ua )(ua )(u a ) (u a )+ 2

3T a (u a )g 1 (a )2

T a (u a )g 1 (a )2 (3.100)

Suku viskositas ini diadopsi dari bentuk baku tensor energi momentum un-

tuk viskositas shear () dan viskositas bulk ( ) yang dirumuskan oleh L.D.

Landau (Landau, Lifshitz, 1981) pada penelitian uida relativistik.

Bentuk kontravarian tensor energi momentum yang lengkap untuk medan

gluon yang homogen menjadi,

T total = T + t (vis )= [8gF T f Q mQ + g2F f

2g

4]uu [4gF T f Q mQ 14

g2F f 2g

4]g

T (u) + (u ) (u )(u ) (u)

(u)(u ) (u ) + 23

T (u )g (1 2)

T (u )g (1

2) (3.101)



53/87

42

3.7 Bentuk Eksplisit Viskositas Shear () dan ViskositasBulk ( )

Prinsip kekekalan energi dan momentum dapat dipakai untuk memberikansolusi untuk mencari persamaan eksplisit viskositas shear dan bulk , yaitu

T = 0 (Djun, Soegijono, Mart, Handoko, 2014) . Melihat pada komplek-sitas matematis yang ada, maka pencarian observable-observable terkait akan

lebih mudah jika energy momentum tensor tersebut dianggap hidup dalam

ruang-waktu yang datar ( at space-time).

Dan tensor energi momentum yang siap untuk diolah pada tahap selanjut-

nya dinyatakan ulang sebagai berikut.

T = [8gF mQ T a a + g2F f abcf ade bcde]uu [4gF mQ T a a

14

g2F f abcf ade bcde]g

T a (ua ) + (u a ) (u a )(u a ) (ua )

(ua )(u a ) (u a ) + 23

T a (u a )g (1 (a )2)T a (u )g (1 (a )2). (3.102)

Di sini adalah viskositas bulk . Untuk mengurangi kompleksitas, medan

gluon diasumsikan sebagai skalar. Akibatnya suku ke 2 dan suku ke 4

pada sebelah kanan persamaan menjadi nol yang dikarenakan sifat anti-

simetris dari konstanta struktur f abc , dan T = a T a . Sehingga tensor energi

momentum tersebut dapat ditulis sebagai,

T = (8 gF mQ T a )uu (4gF mQ T a )g T (u) + (u ) (u )(u ) (u)(u)(u ) (u )+

23

T (u )g (1 2) T (u )g (1 2). (3.103)



54/87

43

Untuk memendekkan penulisan, denisikan gF mQ = . Lalu tensor energi

momentum dengan indeks 00 dapat dituliskan sebagai,

T 00 = 8 Tu0u0 4Tg00T [ 0(u0) + 0(u0) (u0)(u ) (u0) (u0)(u ) (u0)]+

23

T (u )g00[12]T (u )g00[12]

= 8 Tu0u0 4Tg00

T [2 0(u0)

2(u0)(u ) (u0)]

+23

T (u )g00[12]T (u )g00[12].

(3.104)

Lalu turunannya terhadap waktu,

0T 00 = 8 T [( 0)u0u0 + ( 0u0)u0 + u0( 0u0)] 4T ( 0)g00

T 2 0 0(u0)2[( 0u0)u 2 (u0) + u0( 0u )2 )+ u0u ( 02) + u0u 2( 0 (u0))]

+23

T 0 (u )g00[12] (u )g00 02

T 0 (u

)g00

[12

] (u

)g00

02

. (3.105)



55/87

44

Tensor energi-momentum untuk indeks 0k,

T 0k = 8 Tu0uk 4Tg0k

T k(u0) + 0(uk) (uk)(u ) (u0)(u0)(u ) (uk)+

23

T (u )g0k 1 2 T (u )g0k(1 2

= 8 Tu0uk 4Tg0k

T k(u0) + 0(uk) uku 2 (u0)

u0u 2 (uk)+

23

T (u )g0k 1 2 T (u )g0k 1 2). (3.106)

Dan turunannya terhadap komponen k,

kT 0k = 8 T [( k)u0uk) + ( ku0)uk + u0( kuk)]T k k(u0) + k 0(uk)( kuk)u 2 (u0) uk( ku )2 (u0)uku ( k2) (u0) uku 2 k (u0)( ku0)u 2 (uk) u0( ku )2 (uk)u0u ( k2) (uk) u0u 2 k (uk) . (3.107)



56/87

45

Persamaan kekekalan energi secara lengkap dinyatakan sebagai berikut,

0T 00 + kT 0k= 8 T [( 0)u0u0 + ( 0u0)u0 + u0( 0u0)] 4T ( 0)g00

T 2 0 0(u0) 2[( 0u0)u 2 (u0) + u0( 0u )2 )+ u0u ( 02) + u0u 2( 0 (u0))]

+23

T 0 (u )g00[12] (u )g00 02

T 0 (u )g00[12] (u )g00 02+8 T [( k)u0uk) + ( ku0)uk + u0( kuk)]

T k k(u0) + k 0(uk)( kuk)u 2 (u0) uk( ku )2 (u0)uku ( k2) (u0) uku 2 k (u0)( ku0)u 2 (uk) u0( ku )2 (uk)u0u ( k2) (uk) u0u 2 k (uk)

= 8 T ( 0)u0u0 + (

0u0)u0 + u0(

0u0)

1

2(

0)g00

+( k)u0uk) + ( ku0)uk + u0( kuk)

T 2 0 0(u0) 2[( 0u0)u 2 (u0)+ u0( 0u )2 ) + u0u ( 02) + u0u 2( 0 (u0))]

23

0 (u )g00[12] + 23

(u )g00 02

+ k k(u0) + k 0(uk)

( kuk)u 2 (u0)

uk( ku )2 (u0)

uku ( k2) (u0) uku 2 k (u0)( ku0)u 2 (uk) u0( ku )2 (uk)u0u ( k2) (uk) u0u 2 k (uk)T 0 (u )g00[12] (u )g00 02

= 0 .

(3.108)



57/87

46

Karena u0 = , dan 0u0 = t = 0, dan juga ku0 = 0 maka persamaan

0T 00 + kT 0k = 0 dapat disederhanakan menjadi,

0T 00 + kT 0k= 8 T ( 0)u0u0

12

( 0)g00 + ( k)u0uk)

T 2 0 0(u0) 2[u0u ( 02) + u0u 2(u0 0 ))]

23

0 (u )g00[12] + 23

(u )g00 02

+ k k(u0) + k 0(uk)

uku ( k2) (u0) uku 2 k (u0)

u0u

( k

2) (u

k) u

0u

2 k (u

k)

T 0 (u )g00[12] (u )g00 02= 0 .

Kemudian hukum kekekalan momentum akan dipakai untuk mendapatkan

sebuah persamaan independen lainnya.

0

T i0 + kT ik = 0

T 10 + 1

T 11 + 2

T 12 + 3

T 13

+ 0T 20 + 1T 21 + 2T 22 + 3T 23+ 0T 30 + 1T 31 + 2T 32 + 3T 33 = 0 . (3.109)

Tensor energi momentum untuk indeks i0 adalah,

T i0 = (8 T )u iu0 (4T )gi0

T 0(ui) + i(u0) (u0)(u ) (ui)

(ui)(u ) (u0)+

23

T (u )gi0 1 2

T (u )gi0 1 2b). (3.110)



58/87

47

Di sini gi0 = 0 . Lalu T i0 menjadi,

T i0 = 8 Tuiu0

T 0(ui) + i(u0) u0u 2 (ui)uiu 2 (u0) . (3.111)

Kemudian turunannya terhadap waktu,

0T i0 = 8 T ( 0)uiu0 + ( 0ui)u0 + ui( 0u0)T 0 0(ui) + 0 i(u0)

( 0u0)u 2 (ui) u0( 0u )2 (ui)u0u ( 02) (ui) u0u 2 0 (ui)( 0u i)u 2 (u0) ui( 0u )2 (u0)uiu ( 02) (u0) uiu 2 0 (u0) . (3.112)

Tensor energi momentum dengan indeks ii adalah,

T ii = 8 Tuiui

4Tgii

T i(ui) + i(ui) (u i)(u ) (u i)(ui)(u ) (u i)+

23

T (u )gii 1 2

T (u )gii 1 2

= 8 Tuiui

4Tgii

T 2 i(u i) 2u iu 2 (u i)+

23

T (u )gii 1 2

T (u )gii 1 2 . (3.113)



59/87

48

Turunannya terhadap komponen i,

iT ii = 8 T ( i)u iu i + 16 T (u i iui) 4T ( i)gii

T 2 i i(u i) 2( iu i)u 2 (u i)2ui( iu )2 (ui) 2uiu ( i2) (u i)2uiu 2 i pd (u i)+

23

T i (u )gii 1 2 23

T (u )gii ( i2)

T i (u )gii 1 2 + T (u )gii ( i2). (3.114)

Lalu untuk indeks i, k, di mana i = k,

T ik = 8 Tuiuk 4Tgik

T k(ui) + i(uk) (uk)(u ) (ui)(ui)(u ) (uk)+

23

T (u )gik 1 2

T (u )gik 1 2

= 8 Tuiuk

T k(u i) + i(uk) uku 2 (ui)u iu 2 (uk) . (3.115)

Turunan T ik terhadap komponen k adalah,

k

T ik = 8 T ( k)uiuk + ( kui)uk + ui( kuk)

T k k(ui) + k i(uk)( kuk)u 2 (ui) uk( ku )2 (ui)uku ( k2) (ui) uku 2 k (ui)( iu )u 2 (uk) ui( ku )2 (uk)uiu ( k2) (uk) uiu 2 k (uk) . (3.116)

Kini ketiga hasil turunan tersebut dijumlahkan, 0

T i0 + i

T ii + k

T ik = 0 .



60/87

49

0T i0 + iT ii + kT ik= 8 T ( 0)u iu0 + ( 0u i)u0 + ui( 0u0)

+( i)u iu i + 2 (ui iu i) 12

( i)gii

+( k)u iuk + ( ku i)uk + ui( kuk)

T 0 0(u i) + 0 i(u0)( 0u0)u 2 (ui) u0( 0u )2 (ui)u0u ( 02) (ui) u0u 2 0 (ui)( 0ui)u 2 (u0) u i( 0u )2 (u0)uiu ( 02) (u0) u iu 2 0 (u0)+2 i i(ui) 2( iui)u 2 (u i) 2ui( iu )2 (u i)2uiu ( i2) (ui) 2uiu 2 i pd (u i)

23

i (u )gii 1 2 + 23

(u )gii ( i2)

+ k k(ui) + k i(uk)

(

kuk)u 2

(ui)

uk(

ku )2

(u i)

uku ( k2) (ui) uku 2 k (u i)( iu )u 2 (uk) u i( ku )2 (uk)uiu ( k2) (uk) u iu 2 k (uk)T i (u )gii 1 2 (u )gii ( i2)

= 0 .

(3.117)

Dengan 2 persamaan independen yang didapat, maka viskositas shear dan

bulk dapat ditentukan.



61/87

50

0T 00 + kT 0k= 8 T ( 0)u0u0 12( 0)g00 + ( k)u0uk)

T 2 0 0(u0) 2[u0u ( 02) + u0u 2(u0 0 ))]

23

0 (u )g00[12] + 23

(u )g00 02

+ k k(u0) + k 0(uk)

uku ( k2) (u0) uku 2 k (u0)u0u ( k2) (uk) u0u 2 k (uk)

T 0 (u )g00[12] (u )g00 02= 0 .

Jika bagian-bagian dari persamaan di atas dideniskan sebagai berikut,

c0 = 8 T ( 0)u0u0 12

( 0)g00 + ( k)u0uk) ,

a0

= T 2 0 0

(u0

) 2[u0

u

( 02

) + u0

u

2

(u0

0 ))]

23

0 (u )g00[12] + 23

(u )g00 02

+ k k(u0) + k 0(uk)

uku ( k2) (u0) uku 2 k (u0)u0u ( k2) (uk) u0u 2 k (uk) ,

b0 = T 0 (u )g00[1

2]

(u )g00 02 ,

maka didapat bentuk pernyataan yang sederhana, a0 + b0 = c0.



62/87

51

Lalu untuk persamaan kekekalan momentum,

0 T i0 + iT ii + kT ik= 8 T ( 0)u iu0 + ( 0ui)u0 + ui( 0u0) + ( i)u iu i + 2 (u i iui)

12

( i)gii + ( k)u iuk + ( kui)uk + ui( kuk)

T 0 0(u i) + 0 i(u0)( 0u0)u 2 (ui) u0( 0u )2 (ui)u0u ( 02) (ui) u0u 2 0 (ui)( 0ui)u 2 (u0) u i( 0u )2 (u0)

uiu ( 02) (u0) u iu 2 0 (u0)+2 i i(ui) 2( iui)u 2 (u i) 2ui( iu )2 (u i)2uiu ( i2) (ui) 2uiu 2 i pd (u i)

23

i (u )gii 1 2 + 23

(u )gii ( i2)

+ k k(ui) + k i(uk)

( kuk)u 2 (ui) uk( ku )2 (u i)

uku ( k2) (ui)

uku 2 k (u i)

( iu )u 2 (uk) u i( ku )2 (uk)uiu ( k2) (uk) u iu 2 k (uk)T i (u )gii 1 2 (u )gii ( i2) = 0. (3.118)



63/87

52

Persamaam tersebut dapat ditata ulang menjadi

z i = 8 T ( 0)u iu0 + ( 0ui)u0 + ui( 0u0) + ( i)uiui + 2 (u i iui)

12( i)gii + ( k)uiuk + ( kui)uk + ui( kuk) ,

x i = T 0 0(u i) + 0 i(u0)

( 0u0)u 2 (ui) u0( 0u )2 (ui)u0u ( 02) (ui) u0u 2 0 (ui)( 0ui)u 2 (u0) ui( 0u )2 (u0)

uiu

( 0

2) (u

0) u

iu

2 0 (u

0)

+2 i i(ui) 2( iui)u 2 (ui) 2ui( iu )2 (u i)2u iu ( i2) (ui) 2uiu 2 i (u i)

23

i (u )gii 1 2 + 23

(u )gii ( i2)

+ k k(ui) + k i(uk)

( kuk)u 2 (ui) uk( ku )2 (u i)

uku ( k2) (ui)

uku 2 k (u i)

( kui)u 2 (uk) u i( ku )2 (uk)uiu ( k2) (uk) u iu 2 k (uk) ,

yi = T i (u )gii 1 2 (u )gii ( i2) ,

sehingga menjadi, xi + yi = z i .



64/87

53

Dengan asumsi bahwa u = 0 maka, x, y and z menjadi,

z i = 8 T ( 0)uiu0 + ( i)u iu i 12

( i)gii + ( k)u iuk ,

xi = T 0 0(ui) + 0 i(u0)

u0u ( 02) (u i) u0u 2 0 (u i)u iu ( 02) (u0) u iu 2 0 (u0)+2 i i(u i)

2uiu ( i2) (u i) 2u iu 2 i pd (ui)

2

3 i (u

)gii

1 2

+

2

3 (u

)gii

( i2

)+ k k(u i) + k i(uk)

uku ( k2) (u i) uku 2 k (ui)u iu ( k2) (uk) uiu 2 k (uk) ,

yi = T i (u )gii 1 2 (u )gii ( i2) .

Kembali pada, a0 + b0 = c0 and xi + yi = z i , maka didapat persamaan

eksplisit untuk viskositas shear dan bulk .

= c0yi z ib0a0yi xib0

. (3.119)

= c0

xi

a0

z i

b0xi a0yi . (3.120)



65/87

Bab 4

HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Viskositas Shear () dan Bulk ( ) dalam sistim quark-gluon plasma dengan kecepatan uida yang tetap

Pada bab ini persamaan eksplisit untuk viskositas shear dan bulk yang telah

diturunkan pada Bab 3 akan dihitung nilainya dalam fungsi energi. Batas

energi yang dipakai adalah dari 150 MeV hingga 250 MeV. Adapun alasan

untuk memilih batasan energi tersebut adalah sebagai berikut. Pada analisa

quark-gluon plasma melalui teori hidrodinamika relativistik, batas energi

hadronisasi quark-gluon plasma yang di dapat adalah di sekitar 150 MeV.

Sedangkan analisa quark-gluon plasma yang dilakukan melalui kuantum

kromodinamika latis, nilai energi hadronisasi yang didapat selalu berada di

atas 200 MeV Dengan demikian, pemodelan quark-gluon plasma terdomi-

nasi gluon yang dikerjakan pada d

viskositas materi quark-gluon plasma

Documents