model pertumbuhan

7/23/2019 Model Pertumbuhan

http://slidepdf.com/reader/full/model-pertumbuhan 1/29

TUGAS TAKE HOME

Oleh: Muhammad Achirul Nanda (F151150241)

SOAL

1) Suatu Fungsi Sebagai Berikut:

Dimana f(x) periodik pada

1. Gambarkan grafik f(x) pada selang

2. Carilah fungsi deret fourier yang mempresentasikan f(x).

3. Gambarkan fungsi fouriernya jawaban (2) dengan excel di overlay dengan grafik jawaban

(1) tapi warna grafiknya dibedakan antara kedua grafik tersebut.

4. Carilah nilai x sehingga memenuhi

5. Digunakan ( log ), dengan x = 100. Tentukan nilai log101 dengan metodaAproksimasi

6. Digunakan () = 2, dengan x = 3. Tentukan nilai dengan metodaaproksimasi.

7. Carilah suatu fungsi segitiga penuh periodik pada Tπ yang terdifinisi pada selang -πxπ Definisikan fungsi tersebut pada selang -πxπ Lalu carilah Fungsi deretFourier yang merepresentasikan fungsi periodik segitiga anda definisikan tersebut.

Tentukan sampai deret Fourier yang keberapa anda merasa puas dengan aproksimasiFourier tersebut terhadap fungsi f(x) tersebut. Perlu ditunjukkan dengan plot grafik untuk

menjawab kepuasaan saudara.

8. Lakukan solusi regresi linier dengan metoda least square untuk fungsi y = f(x)n dari datahasil percobaan sebagai berikut dan plotkan hasilnya.

X 3 4 5 7 8 9 10

Y 4 8 12 14 23 26 31

9. Lakukan solusi regresi non-linier dengan fungsi plinomial degree 2 (kuadratik) untukfungsi y = f(x)n dari data hasil percobaab sebagai berikut dan plotkan hasilnya.

X 0.4 1.2 3.5 4.6 7.2 11.5 13.2

Y 12.4 9.2 8.3 2.2 7.5 12.4 18.0



10. Gunakan interpolasi polinomial ordo 3 untuk mencari y = f(x) untuk data pengamatansebagai berikut dan plotkan hasilnya.

X Y

4.1168 0.213631

4.19236 0.2142324.20967 0.21441

4.46908 0.218788

11. Sebutkan tiga kegunaan permodelan dalam bidang engineering?

12. Berikan 1 kasus nyata bagaimana permodelan matematik dapat digunakan untuk melihatsuatu fenomena nyata sehingga bisa digunakan untuk rekayasa. Ulas cukup jelas dan rincisehingga mudah dipahami.



PENYELESAIAN

1. f x) Pada Selang

2. Carilah fungsi deret fourier yang mempresentasikan f x).

∑ cos sin

cos

cos cos cos

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8



∫ cos sin ∫ sin

sin cos sin cos

∫ π cos sin

sin sin

sin

∫ sin cos ∫ cos

cos sin cos cos

∫ π sin cos

cos sin

cos s in sin cos s in



cos cos cos cos

s i n sin sin sin sin sin s in

3. Gambarkan fungsi fouriernya jawaban 2) dengan excel di overlay dengan grafik jawaban 1)

tapi warna grafiknya dibedakan antara kedua grafik tersebut.

4. Carilah nilai x sehingga memenuhi ;

i.

ii.

cossin

sin

cos sin

sin

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

F(x)

n100



cos sin

sin

cos sin

i.

cos

cos

cos

cos

sin

sin sin sin sin sin sin

cos cos cos cos

sin


Diberikan

ii. cos cos cos cos

sin

sin



sin sin sin sin sin

cos

cos

cos cos

sin


Diberikan

5. Digunakan ) log ( ), dengan x = 100. Tentukan nilai log101 dengan metoda

Aproksimasi

log

Aproksimasi,

log

= 2 log

ln ln

ln

ln

ln

= 0.0043



= 2 +( 0.0043 × 1)

= 2.00043

6. Digunakan

) = 2

, dengan x = 3. Tentukan nilai dengan metoda

aproksimasi.

Aproksimasi,

= 8

ln

ln

= 5.5452

= 8+( 5.542× 0.015)

= 8.08313

7.

arilah suatu fungsi segitiga penuh periodik pada Tπ yang terdifinisi pada selang -

πxπ Definisikan fungsi tersebut pada selang -πxπ Lalu carilah Fungsi deret

Fourier yang merepresentasikan fungsi periodik segitiga anda definisikan tersebut. Tentukan

sampai deret Fourier yang keberapa anda merasa puas dengan aproksimasi Fourier tersebut

terhadap fungsi f x) tersebut.



cos

cos

cos

∫

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

xy

xy

xy

xy



Integral Tabel ;

cos

sin

cos

sin

{

sin

sin

sin

∫ sin

Integral Tabel ;

cos sin cos sin

{



= 0

Maka ;

cossin

cos



8. Lakukan solusi regresi linier dengan metoda least square untuk fungsi y = f x)n dari data

hasil percobaan sebagai berikut dan plotkan hasilnya.

1 3 4 9 16 12

2 4 8 16 64 32

3 5 12 25 144 60

4 7 14 49 196 98

5 8 23 64 529 184

6 9 26 81 676 234

7 10 31 100 961 310

∑ 46 118 344 2586 930

Rataan 6.57 16.86 49.14 369.43 132.86

Solusi regresi linear data xi dan yi di fit-kan ke persamaan ()=+

Maka;

Solusi regresi linear data xi dan yi di fit-kan ke persamaan ()=+ Maka;

Dalam Matriks Form;

[

]

[

]

[

]

[

]

Pada Tabel;



Maka;

(dihitung dengan excel =MMULT(MINVERSE(ARRAY1)), ARRAY2)

Maka solusi regresi linear nya adalah;

1 3 4 3.62

2 4 8 7.33

3 5 12 11.03

4 7 14 18.45

5 8 23 22.15

6 9 26 25.86

7 10 31 29.56



Koefisien korelasi (r2);

(∑ )∑ ∑

0

5

10

15

20

25

30

35

0 5 10 15

xy

xy



9. Lakukan solusi regresi non-linier dengan fungsi plinomial degree 2 kuadratik) untuk fungsi

y = f x)n dari data hasil percobaab sebagai berikut dan plotkan hasilnya.

1 0.4 12.4 0.16 0.06 0.03 4.96 1.98

2 1.2 9.2 1.44 1.73 2.07 11.04 13.25

3 3.5 8.3 12.25 42.88 150.06 29.05 101.68

4 4.6 2.2 21.16 97.34 447.75 10.12 46.55

5 7.2 7.5 51.84 373.25 2687.39 54.00 388.80

6 11.5 12.4 132.25 1520.88 17490.06 142.60 1639.90

7 13.2 18 174.24 2299.97 30359.58 237.60 3136.32

S 41.6 70 393.34 4336.09 51136.93 489.37 5328.48

Solusi regresi non-linear data xi dan yi di fit-kan ke persamaan;

Pada table;

}

}



x

x

x

}

}



Sehingga solusi persamaan regresi non linear nya adalah;

x

1 0.4 12.4 11.7

2 1.2 9.2 9.95

3 3.5 8.3 6.35

4 4.6 2.2 5.49

5 7.2 7.5 5.67

6 11.5 12.4 12.80

7 13.2 18 17.97

10. Gunakan interpolasi polinomial ordo 3 untuk mencari y = f x) untuk data pengamatan

sebagai berikut dan plotkan hasilnya.

0 4.1168 0.213631

1 4.19236 0.214232

2 4.20967 0.21441

3 4.46908 0.218788

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0 2 4 6 8 10 12 14

duga

yi



x x x

x x x

x x

x x x

x x x

x

x

x

x x x

x x x

x x x

x x x

x x x



x x x

x

() ( ) ( )

x

x

( )

Sehingga solusi interpolasi polynomial ordo 3 dari data tersebut adalah;

0 4.1168 0.213631 0,2063361 4.19236 0.214232 0,206558

2 4.20967 0.21441 0,20701

3 4.46908 0.218788 0,211091



11. Sebutkan tiga kegunaan permodelan dalam bidang engineering?

Kegunaan permodelan dalam bidang engineering adalah :- Permodelan digunakan untuk menjelaskan fenomena nyata

Model matematika dapat digunakan untuk menjelaskan karakteristik fenomena yang

dimodelkannya, dapat secara kualitatif atau kuantitatif. Model matematika dapat berupa

persamaan, sistem persamaan atau ekspresi-ekspresi matematika yang lain seperti fungsi

maupun relasi. Dalam memperoleh, membuat, mengembangkan atau menurunkan model

matematika juga melibatkan asumsi-asumsi, pendekatan-pendekatan maupun batasan -

batasan yang didasarkan atas eksperimen maupun observasi terhadap fenomena sebenarnya.

Asumsi, pendekatan maupun pembatasan ini digunakan untuk mempelajari fenomena tersebutsecara sederhana.

- Permodelan digunakan untuk memprediksiModel matematik dapat digunakan untuk memprediksi suatu fenomena. Dalam hal ini fenomenadapat berupa situasi yang sudah terjadi atau masa mendatang. Salah satu contoh bahwasebuah model matematik dapat digunakan untuk memprediksi situasi pada saat mendatangadalah model pertumbuhan populasi. Model tersebut dapat digunakan untuk memprediksiberapa jumlah populasi untuk beberapa tahun mendatang.

- Permodelan untuk memperoleh solusi yang optimalModel matematik seringkali digunakan untuk mempelajari fenomena alam nyata yang kompleks

dengan cara analisis. Dalam situasi dimana penyelesaian masalah untuk sistem yang kompleks

sangat sulit dianalisis secara langsung dengan cara analitik, maka teknik optimasi pada simulasidimaksudkan agar cepat mendekati solusi optimal.

12. Berikan 1 kasus nyata bagaimana permodelan matematik dapat digunakan untuk melihat

suatu fenomena nyata sehingga bisa digunakan untuk rekayasa. Ulas cukup jelas dan rinci

sehingga mudah dipahami.

0,204

0,206

0,208

0,21

0,212

0,214

0,216

0,218

0,22

4 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5

yi

yduga



Penyelesaian so al No. 12

Perbandingan Model Eksponensial dan Model Logistik Dalam Pendugaan Jumlah

Penduduk Provinsi Bengkulu

Oleh: Muhammad Achirul Nanda (F151150241)

1. PENDAHULUAN

Pertumbuhan penduduk suatu daerah merupakan hal penting karena dapat

mempengaruhi kemajuan dan kemakmuran daerah tersebut. Faktor-faktor yang

mempengaruhi pertumbuhan penduduk antara lain: kelahiran (natalitas), kematian (mortalitas),

dan migrasi (mobilitas). Tingkat pertumbuhan penduduk yang terlalu tinggi akan sangat

beresiko menimbulkan berbagai masalah pada daerah tersebut, seperti tingkat pengangguran

yang tinggi, kemiskinan, dan kelaparan. Namun disisi lain, dampak-dampak negatif di atas

dapat dikurangi jika kita mampu mempersiapkan sarana yang cukup untuk mengantisipasi hal

tersebut. Oleh karena itu salah satu hal untuk mengatasi permasalahan tersebut adalah

dengan melakukan pendugaan jumlah penduduk selama beberapa tahun ke depan. Studi

kasus pendugaan jumlah penduduk dilakukan di provinsi Bengkulu dengan data online dari

Badan Pusat Statistika (BPS). Adapun tujuan dari makalah ini adalah :

a) Menyelesaikan model pendugaan jumlah penduduk secara diffrensial

b) Memperoleh persamaan model yang di eksponensial dan logistik

c) Membandingkan keakuratan model populasi eksponensial dan logistik

d) Menentukan model terbaik untuk menduga jumlah populasie) Menentukan jumlah penduduk pada tahun 2020 di provinsi Bengkulu berdasarkan

model terbaik

2. PENYELESAIAN PEMODELAN

2.1 Model Populasi Eksponensial

Model populasi eksponensial diasumsikan bahwa populasi bertambah dengan laju

pertumbuhan populasi yang sebanding dengan besarnya populasi. Misalkan P (t ) menyatakan

jumlah populasi pada saat t ( waktu ), dan k menyatakan laju pertumbuhan populasi makamodel populasi eksponensial dinyatakan dalam bentuk :

∫ ∫



(solusi umum)

IC : t (0) , P= P 0

(solusi khusus) .......................................................................... (1)

2.2 Model Populasi Logistik

Model populasi logistik adalah model pertumbuhan yang memperhitungkan faktor logistik

berupa ketersediaan makanan dan ruang hidup. Model ini mengasumsikan bahwa pada waktu

tertentu jumlah populasi akan mendekati titik kesetimbangan (equilibrium). Pada titik ini jumlah

kelahiran dan kematian dianggap sama sehingga grafiknya mendekati konstan. Bentuk yang

paling sederhana untuk laju pertumbuhan relatif yang mengakomodasi asumsi ini adalah

( )

Kalikan dengan P , maka diperoleh model untuk pertumbuhan populasi yang dikenal

persamaan diferensial logistik :

......................................................................................................... (2)

Perhatikan dari persamaan (2) bahwa jika P kecil dibandingkan dengan K, maka mendekati 0

dan Namun, jika P K (populasi mendekati kapasitas tampungnya), maka

,

sehingga . Jika populasi P berada diantara 0 dan K, maka ruas kanan persamaan di

atas bernilai positif, sehingga dan populasi akan naik. Tetapi melampaui kapasitas

tampunya ( P>K), maka 1- negatif, sehingga dan populasi turun. Solusi persamaan

logistik adalah :

∫

∫

∫ ∫



∫ ∫

........................................................................................................... (3)

Dari persamaan 3 jika kita memberikan nilai awal t = 0 dan P (0) = P o kemudian

disubstitusikan ke dalam 3 maka akan diperoleh nilai c = ln (P 0 / K - P 0 ) selanjutnya nilai c

tersebut disubstitusikan kembali ke dalam persamaan 3, sehingga diperoleh solusi khusus dari

model logistik seperti berikut ;

Sehingga persamaan akhir adalah :

............................................................................................. (4)

Keterangan:

P : Jumlah populasi pada saat t

P 0 : Jumlah populasi awal saat t = 0.

K : Daya tampung (carrying capacity) dari suatu daerah untuk populasi.

k : Merupakan laju pertumbuhan per kapita populasi.

t : M enyatakan waktu.

Penentuan nilai k dapat dilakukan dengan cara trial error , yaitu dengan cara

mensubstitusikan perkiraan nilai k ke dalam model yang diperoleh hingga hasil yang diperoleh

model mendekati jumlah populasi yang sebenarnya.

3. HASIL DATA DAN PEMBAHASAN3.1 Pengumpulan Data

Tabel 1. Jumlah Penduduk Provinsi Bengkulu

Tahun t Jumlah Penduduk Hasil Sensus

1971 0 519316

1980 9 768064

1990 19 1179122

1995 24 1409117

2000 29 1567432

2010 39 1715518

sumber : BPS, (2015)



3.2 Penyelesaian Model Populasi Eksponensial

Dengan menggunakan persamaan (1) maka dapat dihitung sebagai berikut:

Diketahui :

P (t=0) = 519316

Ditanyakan : k ..............?

Maka:

t = 9 ; P = 768064

768064 = 519316 .

1,479 =

In 1,479 =

0,0435 = k

(model 1)

t = 19 ; P = 1179122

1179122 = 519316 .

2,271 =

In 2,271 =

0,0432 = k

(model 2)

t = 24 ; P = 1409117

1409117 = 519316 .

2,713 =

In 2,713 =

0,0416 = k

(model 3)

t = 29 ; P = 1567432

1567432 = 519316 .

3,018 =

In 3,018 =

0,038 = k

(model 4)



Sehingga dapat didapatkan persamaan model populasi eksponensial :

Tabel 1. Hasil persamaan model eksponensial

Persamaan Model

Model 1

Model 2

Model 3

Model 4

Berdasarkan persamaan di atas, selanjutnya dapat dibentuk tabel sebagai berikut:

Tabel 2. Perbandingan hasil sensus dan model eksponensial

Tahun t Hasil sensusModel Populasi Eksponensial

1 2 3 4

1971 0 519316 519316 519316 519316 519316

1980 9 768064 768171,2 766099,9 755147,1 731072,4

1990 19 1179122 1186796 1180051 1144717 1069036

1995 24 1409117 1475146 1464564 1409390 1292731

2000 29 1567432 1833556 1817673 1735260 1563235

2010 39 1715518 2832776 2799826 2630456 2285894

Total 7158569 8615762 8547529 8194287 7461285

Selisih (total hasil sensus - jumlah model k-n) 1457193 1388960 1035718 302715,8

Eror pendugaan (%) 20,356 19,403 14,468 4,229

Gambar 1. Grafik perbandingan berbagai model eksponensial

0

500000

1000000

1500000

2000000

2500000

3000000

1971 1980 1990 1995 2000 2010

P o p u l a s i

Tahun

Model Eksponensial

Hasil Sensus

Model 1

Model 2

Model 3

Model 4



3.2 Penyelesaian Model Populasi Logistik

Dengan menggunakan persamaan (4) maka dapat dihitung sebagai berikut:

Diketahui :

P 0 : Jumlah populasi awal saat t = 0. = 519316

K : Daya tampung (carrying capacity) dari suatu daerah untuk populasi. Karena

jumlah penduduk provinsi maluku sejak tahun 1971-2010 masih berada dibawah

2.000.000 maka diasumsikan untuk kapasitas tampungnya yaitu K = 2.000.000

Ditanyakan :

k : Merupakan laju pertumbuhan per kapita populasi.

Maka:

t = 9 ; P = 768064

(model 1)

t = 19 ; P = 1179122

(model 2)

t = 24 ; P = 1409117



(model 3)

t = 29 ; P = 1567432

(model 4)

Sehingga dapat didapatkan persamaan model populasi logistik:

Tabel 3. Hasil persamaan model eksponensial

Persamaan Model

Model 1

Model 2

Model 3

Model 4

Berdasarkan persamaan di atas, selanjutnya dapat dibentuk tabel sebagai berikut:Tabel 4. Perbandingan hasil sensus dan model logistik

Tahun t Hasil SensusModel populasi logistik

1 2 3 4

1971 0 519316 519345,6 519345,6 519345,6 519345,6

1980 9 768064 767590,6 812316,6 837177,3 839368,5

1990 19 1179122 1082080 1179112 1230971 1235463

1995 24 1409117 1237162 1350984 1409462 1414444

2000 29 1567432 1381031 1502066 1561290 1566236

2010 39 1715518 1617073 1727344 1775593 1779449

Total 7158569 6604283 7091168 7333840 7354306

Selisih (total hasil sensus - jumlah model k-n) 554286,1 67400,64 175271,2 195737

Eror pendugaan (%) 7,743 0,942 2,448 2,734



Gambar 2. Grafik perbandingan berbagai model logistik

3.3 Model Terbaik Untuk Menduga Jumlah Populasi

Model terbaik untuk menduga populasi dipilih dengan nilai eror pendugaan paling kecil. Nilai

eror terkecil pada model eksponensial terjadi pada model 4 sebesar 4,229%. Sedangkan eror

terkecil pada model logistik terjadi pada model 2 sebesar 0,942%. Dari persamaan model

eksponensial dan logistik, maka persamaan model terbaik adalah dengan menggunakan

model ke 2 logistik. Hal ini dikarenakan nilai eror pada model logistik lebih kecil dibandingkan

dengan model eksponensial. Berikut adalah persamaan untuk menduga jumlah penduduk di

provinsi Bengkulu.

Keakuratan model logistik lebih mendekati realita lapangan jika dibandingkan dengan model

eksponensial, karena pada model eksponensial faktor penghambat pertumbuhan penduduk

diabaikan, sedangkan pada model logistik di perhatikan faktor-faktor penghambat

pertumbuhan penduduk seperti peperangan, kelaparan, wabah penyakit dan sebagainya.

0

200000

400000

600000

800000

1000000

1200000

1400000

1600000

1800000

2000000

1971 1980 1990 1995 2000 2010

P o p u l a s i

Tahun

Model Logistik

Hasil Sensus

Model 1

Model 2

Model 3

Model 4



3.4 Jumlah Penduduk Pada Tahun 2020 (t=49) di Provinsi Bengkulu Berdasarkan Model

Terbaik

Sehingga pendugaan jumlah populasi pada tahun 2020 di provinsi bengkulu adalah

sebesar .

4. KESIMPULAN

Pada makalah ini dapat disimpulkan bahwa :- Model terbaik untuk menduga jumlah populasi di provinsi Bengkulu adalah dengan

menggunakan model ke 2 logistik. Hal ini dikarenakan nilai eror pada model logistik lebih

kecil dibandingkan dengan model eksponensial yakni sebesar 0,942%. Berikut adalah

persamaan untuk menduga jumlah penduduk di provinsi Bengkulu.

- Pendugaan jumlah populasi pada tahun 2020 di provinsi bengkulu adalah sebesar

.

5. DAFTAR PUSTAKA

BPS. 2015. http://www.bps.go.id/linkTabelStatis/view/id/1267. Diakses Pada Tanggal 2

Januari 2016 Pukul 23:13 WIB

model pertumbuhan

Documents