bab i matematika diskrit: dasar-dasar logika

7/24/2019 BAB I Matematika Diskrit: Dasar-dasar Logika

http://slidepdf.com/reader/full/bab-i-matematika-diskrit-dasar-dasar-logika 1/72

CHAPTER I

FUNDAMENTAL OF LOGICSDwi Maryono



Hidup adalah pilihan Segala situasi memunculkan pilihan Ada aksi ada reaksi

Ada masalah ada solusi Ternyata hal ini juga berlaku pada dunia

komputer◦ Turn on computer -> …

◦ lik start -> …◦ !o reaction "or #$ minutes -> …

INTRODUCTION



Di dunia pemrograman %contoh Siakad&

◦ 'roses (ogin

)sian data user dan password benar -> …

Data user benar password salah -> …

Data user salah passw juga salah -> …◦ 'roses da"tar M

'engambilan melebihi batas maks -> …

Mengambil M* ada syarat yang dipenuhi -> …

Dunia komputer adalah dunia logika Tidak ada komputer tanpa logika Tidak ada program tanpa logika Tidak ada teknisi tanpa logika

S+ , STA.T (A.! )!/+.MAT)0S /.+M (+1)0S222

INTRODUCTION



'ernyataan3 kalimat deklarati" yang mempunyai nilai benaratau salah saja %tidak bisa keduanya&

'ernyataan biasanya direpresentasikan dengan huru" kecilseperti3 p* 4* r* s* dst

0ontoh3◦ p 3 Hari ini hari kamis◦ q 3 )bukota )ndonesia adalah 5akarta

◦ r 3 6 7# 8 9

:agaimana jika ini◦ s 3 'acar saya cantik

◦ t 3 6;< 7 9 8=$

◦ p 3 Semarang dekat dengan Solo

◦ 4 3 Hari ini turun hujan

◦ r 3 Tahun depan :apak naik haji

◦ u3 6-<8$

Pernyataan/Preposisi



alimat◦ Apakah setiap kalimat merupakan pernyataan?

◦ alimat tanya* kalimat perintah* kalimat harapan apakah jugapernyataan?

◦ alimat terbuka3 kalimat yang belum dapat ditentukan nilai

kebenarannya@ :iasanya kalimat terbuka memuat ariabel-ariabel

◦ 0ontoh 3 6 B < 8 $

◦ : adalah kota hujan

◦ Tuan C berasal dari 5akarta

◦

alima terbuka menjadi pernyataan jika ariabel diberikan nilai@◦ 0ontoh3 6 B < 8 $ untuk 8 6 atau 8 -6

◦ : adalah kota hujan* untuk : 8 :ali

◦ Tuan C berasal dari 5akarta* untuk C 8Dwi Maryono




:agaimana jika ini◦ 'ak :ashori tidak ada di kantornya

◦ Soimah hari ini ke jakarta dan ditemani suaminya

◦ Si din beli beras atau beli telur@

◦ .udi masih di 5akarta atau sudah tiba di kos %C+.&

◦ 5ika hari ini hari Sabtu saya berangkat mudik lagi@




0ontoh3◦ p 3 Hari ini hari kamis

◦ q 3 )bukota )ndonesia adalah 5akarta

◦ r 3 6 7# 8 9

disebut pernyataan primiti" karena sudah tidakdapat dipecah lagi menjadi lebih sederhana@:erbeda dengan < contoh sebelumnya◦ 'ak Manajer tidak ada di kantornya

◦ Soimah hari ini ke jakarta dan ditemani suaminya◦ .udi masih di 5akarta atau sudah tiba di kos

◦ 5ika hari ini hari Sabtu saya berangkat mudik lagi@




Dari pernyataan primiti" kita bisamemperoleh pernyataan baru dengan cara◦ !egasiE)ngkaran

◦ Menggabungkan dua atau lebih pernyataan

%'ernyataan Majemuk& dengan kata penghubunglogika onjungsi

Disjungsi

)mplikasi :iimplikasi




Suatu pernyataan yang diperoleh daripernyataan sebelumnya dan mempunyai nilaikebenaran yang berlawanan dengan pernyataansebelumnya disebut ingkaran atau negasi

!egasi dari p dituliskan Fp dibaca Gnegasi patau Gbukan p

0ontoh 3◦ p3 < adalah bilangan ganjil

◦ Fp3 < bukan bilangan ganjil◦ 4 3 = 7 = 8 6

◦ F4 3 = 7 = ≠6

Negasi/Ingkaran



5ika pernyataan p bernilai benar maka Fpbernilai …

5ika pernyataan p bernilai salah maka Fpbernilai …

Atau bisa dinyatakan daam tabel kebenaran

Negasi/Ingkaran

p p

:

S



(atihan3 Tentukan !egasi dari pernyataan berikut◦ Manusia adalah makhluk sosial@

◦ Semua bilangan bulat adalah bilangan real@

◦ √6 adalah bilangan rasional@

◦

Di kepulauan Seribu ada seribu pulau@◦ 6< 8 6 7 6 7 6 7 6

◦ :eberapa proinsi di )ndonesia adalah daerah istimewa@

◦ log %ab& 8 log a 7 log b

◦ :eberapa negara tidak mempunyai kepala

pemerintahan@◦ # 7 I J <

Negasi/Ingkaran



onjungsi

◦ onjungsi adalah pernyataan majemuk yangdibentuk dari dua pernyataan yang dihubungkandengan kata KdanG %A!D&@

◦

ata hubung KdanK dilambangkan dengan ∧@ 5ika pdan 4 pernyataan tunggal maka konjungsi dari p dan

4 dinyatakan dengan

p ∧ 4 0ontoh

◦ p 3 5akarta ibukota )ndonesia◦ 4 3 5akarta terletak di pulau 5awa

◦ p ∧ 4 3 5akarta adalah ibukota )ndonesia dan terletak di pulau jawa

Pernyataan Ma!e"#k



Menentukan nilai kebenaran kalimat konjungsi◦ p 3 5akarta ibukota )ndonesia

◦ 4 3 5akarta terletak di pulau 5awa

◦ p ∧ 4 3 5akarta adalah ibukota )ndonesia dan

terletak di pulau jawa 5ika p benar dan 4 benar maka p ∧ 4 benar Apa akibatnya

◦ 5ika p benar dan 4 salah maka p ∧ 4 bernilai salah

◦ 5ika p salah dan 4 benar maka p ∧ 4 bernilai salah

◦ 5ika p salah dan 4 salah maka p ∧ 4 bernilai salah

$on!#ngsi



.angkum dalam tabel kebenaran berikut

$on!#ngsi

p % p ∧ %

: : :

: S S

S : S

S S S



Disjungsi adalah pernyataan majemuk yangdiben-tuk dari dua pernyataan tunggal yangdihubungkan dengan kata Katau %+.&@

ata Gatau dilambangkan dengan G∨K@

5ika p dan 4 pernyataan tunggal maka disjungsidari p dan 4 dinyatakan dengan

p ∨ 4

0ontoh3◦ p 3 6 adalah bilangan ganjil◦ 4 3 6 adalah bilangan prima

◦ p ∨ 4 3 6 adalah bilangan ganjil atau bilangan prima

Dis!#ngsi



Menentukan nilai kebenaran kalimat konjungsi◦ p 3 6 adalah bilangan genap

◦ 4 3 6 adalah bilangan prima

◦ p ∨ 4 3 6 adalah bilangan genap atau bilangan prima

5ika p benar dan 4 benar maka p∨4 benar Apa akibatnya

◦ 5ika p benar dan 4 salah maka p ∨ 4 bernilai benar

◦ 5ika p salah dan 4 benarmaka p ∨ 4 bernilai benar

◦

5ika p salah dan 4 salah maka p ∨ 4 bernilai salah

Dis!#ngsi



Tabel ebenaran 'ernyataan Disjungsi

Dis!#ngsi

p % p ∨ %

: : :

: S :

S : :

S S S



Ada sebuah kasus unik dari kata hubung Gatau 0ontoh3

◦ p3 Sekarang Ali di 5akarta

◦ 43 Sekarang Ali di bandung

◦

5ika baik p dan 4 benar bagaimana◦ r 3 Sekarang Ali di 5akarta atau di :andung %salah&

◦ 'ernyataan r bernilai benar atau salah?

◦ ,hy? )ni disebut dengan E&'(#si)e OR %*OR&*

dilambangkan dengan ∨

!ilai p ∨ 4 bernilai benar jika hanya salah satu saja

yang bernilai benar

E&'(#si)e OR



Tabel ebenaran 'ernyataan Disjungsi

p % p %

: : S

: S :

S : :

S S S

E&'(#si)e OR



)mplikasi adalah pernyataan majemuk yangdibentuk dari dua pernyataan yang dihubungkandengan Kjika … maka …@G %)/ … TH! …&

)mplikasi dilambangkan dengan G→@ 5ika p dan

4 adalah pernyataan* maka implikasi Kjika pmaka 4K ditulis p → 4@

0ontoh3◦ p 3 < tidak habis dibagi 6

◦ 4 3 < adalah bilangan genap◦ p → 4 3 jika < tidak habis dibagi 6 maka < bilangan

genap

I"p(ikasi



0ontoh◦ p 3 Hari ini Sabtu

◦ 4 3 Dewanto mudik ke kampung

◦ p → 4 3 5ika hari ini hari Sabtu maka Dewanto mudik kekampung

Tabel kebenaran◦ Misalkan diketahui 5ika hari Sabtu Dewanto pasti mudik ke

kampung

◦ /akta3

hari ini Sabtu dan Dewanto mudik ke kampung %p3:enar*43:enar&

Hari ini Sabtu dan Dewanto tidak mudik ke kampung %p3benar* 4 3 salah&

Hari ini .abu dan Dewanto mudik ke kampung %p salah* 4benar&

Hari ini .abu dan Dewanto tidak mudik ke kampung %p salah*

4 salah&

I"p(ikasi



Tabel ebenaran )mplikasi

I"p(ikasi

p % p %

: : :

: S S

S : :

S S :



:iimplikasi adalah pernyataan majemuk yangdibentuk dari dua pernyataan yang dihubungkandengan kata G… jika dan hanya jika@@@

ata GbiimplikasiK dilambangkan dengan ↔@

5ika p dan 4 adalah pernyataan* makabiimplikasi Kp jika dan hanya jika 4K dinyatakan

dengan p ↔ 4

:iimplikasi p ↔ 4 merupakan gabungan

G%jika p maka 4& dan %jika 4 maka p&atau

%p→4& ∧ %4→p&

+ii"p(ikasi



0ontoh3◦ aryawan akan dapat bonus jika dan hanya jika

ia tidak pernah datang terlambat@

◦ a7b 8 $ jika dan hanya jika b8-a

◦ 6n adalah bilangan genap jika dan hanya jika nbilangan bulat

+ii"p(ikasi



Tabel ebenaran dari :iimplikasi

+ii"p(ikasi

p % p %

: : :

: S S

S : S

S S :



Misalkan dalam web siakad terdapat menu login 'ernyataan

p3 entry user ada di database

43entry password sesuai dengan user ser bisa masuk jika %p dan 4& benar ser tidak bisa masuk jika %p dan 4& salah@

apan itu terjadi??? S+

F%p ∧ 4& 8 Fp ∨ F4

0oba periksa dengan Tabel ebenaran222

Negasi $on!#ngsi



Misalkan dalam sebuah penerimaan guru T) Syarat administrassi yang harus dipenuhi adalah3

lulusan S= Teknik )n"ormatika atau S= 'endidikan T) ◦

p3 penda"tar lulusan S= Teknik )n"ormatika◦ 43 penda"tar lulusan S= 'endidikan T)

'enda"tar lulus administrasi jika %p ∨4& benar* kapanitu terjadi?@@

Dia gagal administrasi jika…@ So

F%p ∨ 4& 8 Fp ∧ F4

0oba periksa dengan Tabel ebenaran222

Negasi Dis!#ngsi



)ngat bahwa dalam pernyataan jika p maka 4 makadapat diartikan bahwa jika p terjadi maka pasti 4

juga terjadi@ Apakah berlaku sebaliknya?

0ontoh3 ada orang yang berteori 5ika bogor hujan lebih dari 6 jam maka 5akarta banjir

p3 :ogor hujan lebih dari dua jam

43 5akarta :anjir

p → 40ari pernyataan %"akta& yang dapat digunakanuntuk menyanggah teori ini@

Negasi ,ari I"p(ikasi



0ontoh3a3 :ogor tidak hujan tapi 5akarta banjir

b3:ogor hujan tapi 5akarta tidak banjir

c35akarta tidak banjir dan bogor tidak hujanMana di antara pernytaan yang dapatmenyanggah teori di atas?

:uat contoh lain2222

SoF%p→4& 8 p ∧ %F4&

Tunjukkan dengan Tabel kebenaran222

Negasi ,ari I"p(ikasi



F%p ↔ 4& 8 F%%p→4&∧%p→4&& 8

%p ∧F4&L %4 ∧Fp& :uat contoh222

Negasi ,ari +ii"p(ikasi



Misalkan diberikan beberapa pernyataanprimiti"3◦ p3 Ali pergi jalan-jalan

◦ 43 Malam terang bulan

◦ r 3 0uaca mendung

!yatakan pernyataan gabungan yangdinotasikan berikut dalam kalimat◦ %4∧Fr&→p

◦ 4 →%Fr→p&

◦ F%p↔%4∨r&&

Ga-#ngan $ata .#-#ng



!yatakan dalam notasi◦ 5ika cuaca mendung dan bulan tidak terang maka

Ali tidak akan pergi jalan-jalan

◦ 5ika cuaca tidak mendung maka Ali pergi jalan-

jalan jika dan hanya jika bulan terang◦ :ulan tidak terang dan cuaca mendung* tapi Ali

tidak pergi jalan-jalan

Ga-#ngan $ata .#-#ng



Dalam bahasa pemrogram biasanya benarsalah diwakili oleh = %true& and $ %"alse&

Ta-e( ke-enaranrangk#"an



Dalam pemrograman dikenal adanya struktur)"@@then @@ Atau i" …then …else…

:edanya jika dalam pernytaan majemuk jika pmaka 4* keduanya baik p dan 4 adalah pernytaan

yang bernilai benar atau salah Dalam bahasa pemrograman i" p then 4* p adalah

kondisi yang harus dipenuhi %berupa pernyataanbernilai benar atau salah& sedangkan 4 adalahpernyataan eksekusi

0ontoh◦ )" % mod 6 8$& then write % adalah bilangan genap&N

◦ )" %bangun8persegiO& then (uas38s;sN

Str#kt#r Logika ,a(a"Pe"rogra"an



:agaimana i" p then 4 else r? 0ontoh3

◦ 5ika rerata ujian lebih besar atau sama dengan 9$maka status8lulusO jika tidak status8remidiO

◦ :eri contoh lain22

i" rata-rata≥ 9$ then status8lulusO

else status8tidak lulusO

Str#kt#r Logika ,a(a"Pe"rogra"an



:uktikan bahwaF%4∧%Fr→p&& ≅ F4 ∨ %Fr ∧ Fp&

Tanda ≅ dibaca ekuialenO

:uktikan lagi

LATIHAN



Tentukan tabel kebenaran dari◦ p→%p∨4&

◦ p∧%Fp ∧ 4&

!ilai p→%p∨4& selalau bernilai :enar untuk

apapaun nilai p dan 4 %Tautologi& !ilai p∧%Fp ∧ 4& selalu bernilai salah untuk

apapaun nilai p dan 4 %ontradiksi& Tautology 3 pernyataan yang selalu bernilai

benar ontradiksi 3 pernyataan yang selalu bernilai

salah

Ta#to(ogi ,an $ontra,iksi



0hallenge3 Dari nilai- nilai berikut* pernyataan mana yang bernilai

benar jika 0* D* * / bernilai salah dan A* : bernilai benar?◦ %A and :& or %%0 and D& or & and /

◦ %A or :& and %%0 or D& and & or /

◦ %A and :& or %%0 or D& or & or /

◦ %A and :& and %%0 and D& and & and /

◦ %%A or :& or %0 or D& or & and /

5ika 4 benar tentukan nilai p*r*s agar pernytaan berikutini menjadi benar

Ta#to(ogi ,an $ontra,iksi



Misalkan p* dan 4 pernytaan primitie Dengan Tabel kebenaran* tunjukkan bahwa

nilai kebenaran pernyataan p→4 selalusama dengan Fp∨4

Dapat disebutkan bahwa pernyataan p→4ekuialen dengan Fp∨4* atau dapatdituliskan

p→4 ≅ Fp∨4 Dapatkah dibuktikan dengan cara lain?

Ek#i)a(ensi Logika H#k#"0.#k#" Logika1



Dua pernytaan s= dan s6 disebutekuialensi logis jika s= benar jika danhanya jika s6 benar dan s= salah jika danhanya jika s6 salah

'embuktian3◦ Tabel kebenaran untuk semua kemungkinan

kombinasi nilai

◦ Aljabar menggunakan hukum-hukum logika

0ontoh buktikan apakah

F%p ∨ 4& ≅ %p↔4&




Hukum De Morgan3 F%p ∧ 4& ≅ Fp ∨ F4

F%p ∨ 4& ≅ Fp ∧ F4

Hukum Distribusi ∧ atas ∨

p∧%4∨r& ≅ %p∧4& ∨ %p∧r&

Hukum Distribusi ∨ atas ∧ p ∨ %4 ∧ r& ≅ %p ∨ 4& ∧ %p ∨ r&

Ek#i)a(ensi Logika H#k#"0.#k#" LogikaLa2 o3 Logi's1



!egasi ganda3 F%Fp& ≅p omutati"3

p ∨ 4 ≅ 4 ∨ p

p ∧ 4 ≅ 4 ∧ p

Assosiati" p ∨ %4 ∨ r& ≅ %p ∨ 4& ∨ r

p ∧ %4 ∧ r& ≅ %p ∧ 4& ∧ r )dempotent3

p ∨ p ≅ p p ∧ p ≅ p )dentitas

p ∨ /alse ≅ p p ∧ True ≅ p )nerse

p ∨ Fp ≅ True p ∧ Fp ≅ /alse




Dominasip ∨ True ≅ True p ∧ /alse ≅ /alse

Absorpsip∨%p∧4& ≅ p

p ∧%p∨4& ≅ p




Misalkan diberikan implikasip → 4

Dikenal beberapa istilah◦ oners 3 4 → p

◦ )ners 3 Fp → F4

◦ ontraposisi 3 F4 → Fp

Diantara ketiganya* manakah yang

ekuialen dengan p→

4? p → 4 ≅ F4 → Fp :eri contoh22

I"p(ikasi4 $on)ers4 In)ers4$ontraposisi



0ontoh soal Dengan hukum-hukum logika yang ada*

buktikan bahwa3◦ %r∧s&→4≅ %Fr ∨ Fs&∨4

◦ %p→%4∨r&& ≅ %p∧F4&→r

◦ Pp→%4∨r&Q≅PFr→%p→4&Q

◦ p∨4%Fp∧F4∧r&≅p∨4∨r




Argumen yang alid Misalkan p=* p6* @@* pn* dan 4 adalah pernyataan-pernyataan dan

diberikan suatu implikasi %p=∧p6 ∧… ∧pn&→4

'ernyataan majemuk berikut ini disebut argumen

%p=∧p6 ∧… ∧pn&→4

di mana p=* p6* @@pn disebut premis dan 4 disebut kesimpulanargumen Argumen di atas disebut alid jika p=* p6* @@pn semua benar maka

kesimpulan 4 juga benar Sedangkan jika salah satu p=* p6 * @@atau pn saja bernilai salah maka

apapun nilai 4 maka

%p=∧p6 ∧… ∧pn&→4 akan bernilai benar Artinya untuk membuktikan sebuah argumen alid atau tidak adalah

dengan menunjukkan bahwa %p=∧p6 ∧… ∧pn&→4 adalah tautologi

IMPLI$ASI LOGIS/PENARI$AN$ESIMPULAN



Argumen alid 0ontoh3 Misalkan diberikan pernyataan

p3 .aka belajar

43 .aka bermain tenis

r3 .aka lulus Matematika Diskrit Misalkan dideRnisikan premis

p=3 5ika .aka belajar maka ia lulus Mat Diskrit

p63 5ika .aka tidak bermain tenis maka ia belajar

p#3 .aka tidak lulus diskrit

:uktikan apakah argumen berikut alid %p=∧p6 ∧p#&→4 Dengan kata lain jika p=* p6* dan p# adalah "akta* apakah

4 juga "akta?




ntuk membuktikan maka dapat diberikan notasiberikut

p=3 p→r p63 F4→p p#3Fr Argumen di atas dapat ditulis ulang

%%p→r&∧% F4→p& ∧%Fr&& →4 Apakah argumen dia tas alid* lihat di tabel kebenaran


Dari tabelkebenarandiperoleh bahwa

pernyataanimplikasi adalah Tautologi* yangselalu bernilaibenar@ Denganbegite argumen di

atas adalah alid@



MisalkanDiberikan premis p=3p* p63 %p∧r&→s* dankesimpulan 43r→s

Tunjukkan bahwa argumen %p=∧p6&→4adalah alid




5ika p dan 4 sebarang pernyataan sehinggap→4 adalah tautologi maka dikatakan

5p se'ara (ogik "engi"p(ikasi"enye-a-kan1 %6 atau dinotasikan p⇒4

sedangkan p→4 disebut i"p(ikasi (ogis Selanjutnya notasi p ⇒ 4 mengindikasikan

p→4 bukan tautologi atau p→4 bukanlah

implikasi logis




Misalkan diberikan argumen

Dengan tabel kebenaran sudah dapatditunjukkan bahwa argumen tsb alid@

Dapatkah dicek dengan cara lain?:agaimna jika argumen melibatkan lebihdari # pernytaan primiti"?

1unakan Aturan penarikan esimpulan222

ATURAN PENARI$AN$ESIMPULAN



Modus 'onen◦ Dalam bentuk implikasi logis

◦ Atau dalam bentuk tabular

◦ Tanda ∴ bisa dibaca Gjadi G atau Goleh karena itu atau4 adalah kesimpulan dari premis p dan p→4

◦ 0ontoh3

.aka :elajar

5ika .aka :elajar maka .aka lulus Diskrit

◦ 5adi .aka lulus Diskrit


ATURAN PENARI$AN



SillogismeDalam bentuk implikasi logis

Atau

0ontoh3

5ika .aka rajin maka ia belajar

5ika .aka belajar maka ia lulus Diskrit 5adi* jika .aka rajin maka ia lulus diskrit


ATURAN PENARI$AN



:erikan kesimpulan agar argumen berikutalid


.ita membuat kue 5ika .ita membuat kue maka ia tidak berlatihpiano 5ika ia tidak berlatih piano maka ayahnya tidakmembelikannya sepeda

ATURAN PENARI$AN



Modus Tollens◦ !otasi implikasi logis

◦ Atau

◦ 0ontoh 3

◦

5ika .aka belajar maka ia lulus Diskrit◦ .aka tidak lulus Diskrit

◦ +leh karena itu .aka tidak belajar


ATURAN PENARI$AN



Tunjukkan bahwa argumen berikut alid


ATURAN PENARI$AN



:uktikan argumen berikut alid



Selidiki aliditas argumen berikut3



TUGAS



'erhatikan kalimat3◦ 76 adalah bilangan genap

alimat di atas apakah pernytaan? alimat di atas disebut kalimat terbuka :agaimna supaya menjadi pernyataan?

◦ Mengganti dengan nilai tertentu

◦

Menggunakan A!T+.3 Semua * atau beberapa %Ada & yang memenuhi …@ alimat terbuka 76 adalah bilangan genap dapat dituliskan dalam

bentuk "ungsi p%& p%&3 76 adalah bilangan genap Sehingga p%I&3 I 7 6 adalah bilangan genap p%<&3 …@

arena ada nilai yang menyebabkan benar dan sebagian salah makadiapat dituliskan

:eberapa * p%& %beberapa memenuhi p%& -> bernilai :enar :agaimana dengan ntuk semua * p%& -> bernilai …

7UANTIFIER/$UANTOR



kuantor3◦ uantor istensial 3 ∃ p%&* dibaca Gbeberapa

memnuhi p%&* Gterdapat yang memenuhi p%&

◦ uantor niersal ∀ p%&* dibaca Gntuk semua

Euntuk setiap memenuhi p%& 0ontoh3 Diberikan

ntuk bilangan real* mana di antara pernytaanberikut yang benar3

7UANTIFIER

NEGASI ,ari Pernyataan



NEGASI ,ari Pernyataan+erk#antor

Negasi ,ari Pernytaan +er



Misalkan p%& 3 6 >= * 4%&3 6--98$ Tentukan nilai kebenaran dan negasi dari

pernyataan◦ ∀ p%&*

F%∀ p%&&≅∃ Fp%&

◦ ∃ 4%&

F%∃ 4%&& ≅ ∀ F4%&

Negasi ,ari Pernytaan +er0k#anti8er




Misalkan◦ p%&3 adalah persegi panjang

◦ 4%&3 adalah persegi

Tentukan kebenaran dari

◦ ∀%p%&→4%&& %=&◦ ∀%4%&→p%&& %6&

◦ ∀%Fp%&→F4%&& %#&

◦ ∀%F4%&→Fp%&& %<&

Tentukan negasi dari bentuk = dan # Manakah di antara bentuk %=*6*#*<& yang

implikasi logis?




Selidiki apakah berikut ini implikasi logis?

Apakah berlaku sebaliknya?

7UANTIFIER





I"p(ikasi (ogis Pernytaan +er



Apakah pernytaan berikut ini tautologi?

5adi3

I"p(ikasi (ogis Pernytaan +er0k#anti8er



Apakah pernytaan berikut ini tautologi?∀%p%& ∧ 4%&& → P∀ p%& ∧ ∀ 4%&Q

P∀ p%& ∧ ∀ 4%&Q → ∀%p%& ∧ 4%&& Sehingga keduanya merupakan imlikasi

logis

∀%p%& ∧ 4%&& ⇒P∀ p%& ∧ ∀ 4%&Q

P∀ p%& ∧ ∀ 4%&Q ⇒ ∀%p%& ∧ 4%&&

atau dapat dituliskan∀%p%& ∧ 4%&& ⇔P∀ p%& ∧ ∀ 4%&Q

Tanda ⇔ juga menunjukkan ekuialensi G≅



Tanda ⇔ dapat digantikan dengan tanda G≅

bab i matematika diskrit: dasar-dasar logika

Documents