makalah matematika 2

7/23/2019 Makalah Matematika 2

http://slidepdf.com/reader/full/makalah-matematika-2 1/25

MAKALAH MATEMATIKA

Diajukan untuk memenuhi salah satu tugas Mata Kuliah Matematika

Disusun oleh :

WULAN SARI

NIM : 1251.0.15

KELAS 1B

FAKULTAS TARBIYYAH PROGRAM PGSD/PGMI-S1

INSTITUT AGAMA ISLAM LATIFAH MUBAROKIYYAH

PONDOK PESANTREN SURYALAYA

2012



BAB I

PENDAHULUAN

A. Lata B!"a#a$%

Dalam kehidupan manusia tidak terlepas dari hitung-menghitung. Di

segala macam sosialisasinya pastilah manusia menggunakan hal tersebut.

Dalam dunia pendidikan, hal tersebut dinamakan ilmu hitung atau yang lebih

populer dengan sebutan matematika yang identik dengan hitung-hitungan.Ilmu hitung adalah ilmu pasti yang tidak dapat diterka jawabannya

hanya menggunakan angan-angan atau pendapat, semua harus berdasarkan

pada dalil dan rumus. Oleh karena itulah matematika dinamakan ilmu eksat

atau ilmu pasti. Karena matematika berhubungan dengan hal yang pasti saja.ampir semua manusia yang pernah belajar mengenal ilmu ini

karena diseluruh dunia ilmu ini dipelajari. Dalam perkuliahan kali ini, kami

mahasiswa mendapat tugas untuk membuat makalah tentang materi

pembelajaran matematika, maka judul ini kami pilih guna memenuhi tugas

tersebut.

B. R&'&(a$ Ma(a"a)

!. "pa pengertian dan sejarah matematika#

$. %agaimana karakteristik matematika #&. %agaimana hakikat pembelajaran matematikan di sekolah #'. %agaimana penyajian pembelajaran matematika di sekolah #

*. T&+&a$ P!',a)a(a$

Makalah matematika ini secara khusus disusun untuk memenuhi salah

satu tugas Mata Kuliah Matematika. (amun selain daripada itu makalah ini

disusun untuk :!. Mengetahui pengertian dan sejarah matematika.$. Mengetahui karakteristik matematika.

&. Memahami hakikat pembelajaran matematikan di sekolah.



'. Memahami penyajian pembelajaran matematika di sekolah.



BAB II

HAKIKAT MATEMATIKA

A. P!$%!ta$ Mat!'at#a

)ecara etimologi berasal dari bahasa *unani Kuno ++/

0máthēma1, yang berarti pengkajian, pembelajaran, ilmu, yang ruang

lingkupnya menyempit, dan arti teknisnya menjadi 2pengkajian matematika2,

bahkan demikian juga pada 3aman kuno. Kata si4atnya adalah +/+/56789

0mathēmatikós1, berkaitan dengan pengkajian, atau tekun belajar , yang lebih

jauhnya berarti matematis. )ecara khusus, +/+/567 5;<= 0mathēmatik

tékhnē 1, di dalam bahasa >atin ars mathematica, berarti seni matematika.Matematika 0dari bahasa *unani: μαθηματικά - mathēmatiká1 adalah

studi besaran, struktur , ruang, relasi, perubahan, dan beraneka topik pola,

bentuk , dan entitas. )edangkan dalam Kamus %esar %ahasa Indonesia

0K%%I1, matematika dide4inisikan sebagai ilmu tentang bilangan, hubungan

antara bilangan, dan prosedur operasional yang digunakan dalam

penyelesaian masalah mengenai bilangan. 0asan "lwi, $??$:@$&1Menurut S&'a$ 0$??':$A1 secara umum de4inisi matematika

dapat dideskripsikan sebagai berikut, di antaranya:!. Matematika sebagai struktur yang terorganisir.$. Matematika sebagai alat 0tool1.&. Matematika sebagai pola pikir dedukti4.'. Matematika sebagai cara bernalar 0the way o4 thinking1.B. Matematika sebagai bahasa arti4isial.C. Matematika sebagai seni yang kreati4.

adi matematika adalah ilmu yang terorganisir sebagai alat berpikir

dedukti4 dan cara bernalar untuk memahami bahasa arti4isial dan sebagai seni

http://id.wikipedia.org/wiki/Bahasa_Yunani_Kuno

http://id.wikipedia.org/wiki/Bahasa_Latin

http://id.wikipedia.org/wiki/Bahasa_Yunani


http://id.wikipedia.org/wiki/Besaran

http://id.wikipedia.org/wiki/Struktur

http://id.wikipedia.org/wiki/Ruang

http://id.wikipedia.org/wiki/Relasi

http://id.wikipedia.org/wiki/Kalkulus

http://id.wikipedia.org/wiki/Pola



http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Bentuk&action=edit&redlink=1

http://id.wikipedia.org/wiki/Entitas


http://id.wikipedia.org/wiki/Bahasa_Latin










http://id.wikipedia.org/wiki/Bahasa_Yunani_Kuno



kreasti4 yang pembahasannya meliputi studi besaran, struktur , ruang, relasi,

perubahan, dan beraneka topik pola, bentuk , dan entitas.

B. S!+aa) Mat!'at#a

Kata EmatematikaF bahasa *unani Kuno μάθημα máthēma!" yang

berarti pengkajian, pembelajaran, ilmu,juga mathematikos yang diartikan

sebagai Esuka belajar ilmu matematikaF telah banyak dikenal orang pada masa

pra sejarah. %anyak ditemukan berbagai tulisan matematika di berbagai

wilayah yang merupakan sisa peninggalan 3aman prasejarah, di antaranya :

!. Matematika %abilonia tahun !G?? )M, ditemukan oleh Hlimpton$. Matematika Moskow di Jusia tahun !GB? )M&. Matematika Jhind di Mesir tahun !CB? )M'. )ulbha sutra matematika India tahun A?? )M.

Matematika tumbuh dan berkembang karena proses berpikir. Oleh

karena itu logika merupakan dasar untuk terbentuknya matematika. >ogikaadalah bayi matematika, sebaliknya matematika adalah masa dewasa logika.

Hada awal perkembangan matematika di Indonesia setelah penjajahan %elanda

dan epang, digunakan istilah EIlmu HastiF untuk matematika. Dalam

penyelenggaraan di sekolah digunakan berbagai istilah cabang matematika

seperti :

!. llmu Lkur,$. "ljabar,&. rigonometri,'. Noniometri.B. )tereometri,C. llmu Lkur >ukis

)ejarah matematika termasuk bagian dari matematika. )ejarah

matematika tidak saja ada karena keberadaannya merupakan suatu





















keniscayaan, tetapi ia juga penting karena dapat memberi pengaruh kepada

perkembangan matematika dan pembelajaran matematika. Matematika yang

diciptakan oleh manusia terdahulu, memberi ilham bagi paradigm

pembelajaran yang bersi4at konstruktiistik sebagai bentuk implikasi sejarah

matematika dalam pembelajaran.

)iswa-siswi diperbolehkan menggunakan usahanya sendiri dalam

menyelesaikan masalah matematika. %ahkan, siswa dan siswi diberi

kebebasan dalam menggunakan bahasa dan lambangnya sendiri. Haradigma

semacam ini menjadi suatu kecenderungan dalam pembelajaran matematika

realistik atau konstruktiis. Herkembangan matematka dalam diri indiidu

#nt#gen$! mungkin saja yang sama dengan perkembangan matematika itu

sendiri ph$t#gen$!%

*. Ta)aa$ Da"a' Mat!'at#a

Disiplin utama dalam matematika didasarkan pada kebutuhan

perhitungan dalam perdagangan, pengukuran tanah, dan pemprediksian

peristiwa dalam astronomi. Ketiga kebutuhan ini secara umum berkaitan

dengan ketiga pembagian umum bidang matematika: struktur, ruang, dan

perubahan.

!. Helajaran tentang struktur dirnulai dengan bilangan. Hertama dan yang

sangat umum adalah bilangan natural dan bilangan bulat berikut operasi

arimetikanya, yang dijabarkan dalam aljabar dasar. )i4at bilangan bulat

yang lebih mendalam dipelajari dalam teori bilangan.



$. llmu tentang ruang berawal dari geometri, yaitu geometri Puclid dan

trigonometri dari ruang tiga dimensi 0yang juga dapat diterapkan ke

dimensi lainnya1, kemudian belakangan juga digeneralisasi ke geometri

(oneuclid yang memainkan peran sentral dalam teori relatiitas umum.

%idang ilmu modern tentang ge#metri di&erensial dan geometri aljabar

menggeneralisasikan geometri ke beberapa arah: geometri di4erensial

menekankan pada konsep 4ungsi, buntelan, deriati4, sm##thness, dan

arah. )ementara itu, dalam geometri aljabar, objek-objek geometris

digambarkan dalam bentuk sekumpulan persamaan polinomial.&. Mengerti dan mendeskripsikan perubahan pada kuantitas yang dapat

dihitung adalah suatu yang biasa dalam ilmu pengetahuan alam, dan

kalkulus dibangun sebagai alat untuk tujauan tersebut. Konsep utama yang

digunakan untuk menjelaskan perubahan ariabel adalah 4ungsi. %anyak

permasalahan yang berujung secara alamiah kepada hubungan antara

kuantitas dan laju perubahannya, dan metoda untuk memecahkan masalah

ini adalah topik dari persamaan di44erensial.'. Lntuk merepresentasikan kuantitas yang terus menerus digunakanlah

bilangan riil. Di sisi lain, studi mendetail dari si4at-si4atnya dan si4at 4ungsi

nilai riil dikenal sebagai analisis riil. "gar dapat menjelaskan danmenyelidiki dasar matematika, bidang pasti, logika matematika, dan teori

model dikembangkan. %idang-bidang penting dalam matematika terapan

ialah statistik, yang menggunakan teori probabilitas sebagai alat dan

memberikan deskripsi itu, analisis dan perkiraan 4enomena dan digunakan

dalam seluruh ilmu. "nalisis bilangan menyelidiki teori yang secara tepat



guna memecahkan bermacam masalah matematika secara bilangan pada

komputer dan mengambil kekeliruan menyeluruh ke dalam laporan.

D. S!+aa) P!#!',a$%a$ Mat!'at#a

1. P!',!"a+aa$ a$% R!a"(t#/K$(t&#t(

Hemahaman pembagian sebagai distribusi sesungguhnya tidak

membutuhkan EceramahF dari guru, karena siswa memiliki potensi untuk

2menemukan2 konsep tersebut. >alu daripada langsung menyuguhkan

lambang 4ormal semacam &C : &, guru dapat menggunakan soalyang

kontekstual, seperti di bawah ini :

iga anak akan membagi &C permen sama rata. %erapa permen yang akan

diperoleh oleh tiap-tiap anak# )iswa-siswi mungkin akan menemukan

salah satu dari model atau prosedur penyelesaian berikut ini.

a. Membagi dengan dasar geometris, yaitu dengan membagi susunan

permen menjadi tiga daerah bagian yang sama. b. Mendistribusi satu demi satu. Mungkin dengan menyilang permen

yang telah didistribusi ke salah satu anak.c. Mengelompokkan tigatiga. Mungkin dengan pertimbangan setiap kali

permen didistribusi, akan terdistribusi ke tiga orang anak.

Model atau strategi penyelesaian tersebut di atas secara implisit

memuat ide tentang pengurangan berulang repeated subracti#n! maupun

bagi adil &air sharing!" bahkan ide tentang kebalikan perkalian in'ers #&

multiplicati#n!. ugas guru adalah mem4asilitasi siswa-siswi sampai pada

ide-ide tersebut sebelum benar-benar menyatakannya sebagai kalimat

matematika 4ormal 0penggunaan simboldan konsepprinsip matematika1.



2. S!+aa) B"a$%a$ N!%at3 a$ B"a$%a$ P(t3 *$a K&$

Di Qina, penggunaan bilangan positi4 ditandai dengan batang 0atau

gambar batang1 merah, sedangkan bilangan negati4 ditandai dengan batang

hitam. Mungkin ini telah dikenal ribuan tahun yang lalu, dan kita dapat

melihatnya pada ian3hong )uanshu 0antara tahun $?C )M -$$? M1. "pa

yang digunakan oleh orang Qina Kuno tersebut dapat digunakan dalam

pembelajaran

untuk menunjukkan bilangan bulat 0bulat positi4, nol, dan bulat

negati41. lllustrasi dari Qina kuno dapat digunakan untuk menunjukkan

si4at negatie sebagai hutang dan positi4 sebagai piutang 0atau

mempunya1.

4. Bata$% Na! a"a' P!',!"a+aa$ At&a$ P!#a"a$

ohn (apiler 0!BB? - !C!@1 dalam bukunya Jabdologiae yang

diterbitkan tahun !C!@ menyuguhkan sebuah alat melakukan perkalian

yang disebut %atang (apiler dan menjadi terkenal pada 3amannya. "lat

tersebut menggunakan prinsip perkalian desimal yang telah dikenal di"rab

melalui apa yang disebut lattice diagram.

)ebuah batang (apiler terdiri atas !? kotak, dengan kotak teratasmenunjukkan sebuah bilangan dasar 0digit1 dan kotak selanjutnya berturut-

turut merupakan hasil perkalian bilangan dasar tersebut dengan bilangan t

hingga G dengan bagian satuan diletakkan diposisi tengah diagonal dan

bagian puluhan diletakkan di bagian atas diagonal.



BAB III

KARAKTERISTIK MATEMATIKA

Ralau tidak dapat suatu pengertian tentang matematika yang tunggal dan

disepakati oleh semua tokoh atau pakar matematika namun dapat terlihat adanya

ciri-ciri khusus atau karakteristik yang merangkum pengertian matematika secara

umum. %eberapa karakteristik itu adalah:!. Memiliki objek abstrak $. %ertumpu pada kesepakatan&. %erpola pikir dedukti4 '. Memiliki simbol yang kosong dari artiB. Memperhatikan semesta pembicaraanC. Konsisten dalam sistemnya.

A. M!'"# O,+!# A,(ta#

Dalam matematika objek dasar yang dipelajari adalah abstrak dan

sering disebut objek mental. Objek-objek itu merupakan objek pikiran. Objek

dasar itu meliputi 4akta, konsep, operasi ataupun relasi dan prinsip. Dari objek

itulah dapat disusun suatu pola dan struktur matematika.Sakta merupakan konensi-konensi yang diungkapkan dengan

simbol tertentu. )imbol bilangan E&F secara umum sudah dipahami sebagai

bilangan EtigaF. ika disajikan angka E&F orang sudah dengan sendirinya

menangkap maksudnya yaitu TtigaF. )ebaliknya kalau seseorang mengucapkan

kata EtigaF dengan sendirinya dapat disimbolkan dengan E&F. Sakta lain dapat

terdiri atas rangkaian simbol, misalnya E&U'F yang dipahami tiga ditambah

empat. Demikian juga E&VB W !BF adalah 4akta yang dipahami sebagai Etiga

kali lima adalah lima belasF. Sakta yang lebih komplek adalah

E&VBWBUBUBW!BF. Dalam geometri juga terdapat simbol-simbol tertentu yang



merupakan konensi, misalnya EF yang bermakna EsejajarF, EOF yang

bermakna lingkaran dan sebagainya. Dalam aljabar dikenal 0a,b1 sebagai

pasangan berurutan dan dalam kalkulus sebagai interal buka.Konsep adalah idea abstrak yang dapat digunakan untuk

menggolongkan sekumpulan objek. "pakah objek tertentu merupakan contoh

konsep ataukah bukan EsegitigaF adalah nama suatu konsep abstrak. Dengan

konsep itu sekumpulanobjek dapat digolongkan sebagai contoh segitiga

ataukah bukan contoh E%ilangan "sliF adalah nama suatu konsep yang lebih

komplek karena bilangan asli terdiri atas banyak konsep sederhana yaitu

bilangan EsatuF, EduaF, EtigaF dan seterusnya. Dalam matematika terdapat

konsep yang amat penting yaitu E4ungsiF, EariabelF dan EkonstantaF. Konsep

tersebut seperti halnya dengan bilangan terdapat disemua cabang matematika.

%anyak konsep lain dalam matematika yang si4atnya lebih kompleks misalnya

EmatriksF, EektorF, EgroupF dan Truang matriksFKonsep berhubungan erat dengan de4inisi. De4inisi adalah ungkapan

yang membatasi suatu konsep. Dengan adanya de4inisi orang dapat membuat

ilustrasi atau gambar atau lambang dari konsep yang dide4inisikan. )ehingga

menjadi jelas apa yang dimaksud konsep tertentu. Konsep trapesium misalnya

bila diungkapkan dalam de4inisi Etrapesium adalah segiempat yang tepatsepasang sisinya sejajar1F akan menjadi jelas maksudnya. Konsep trapesium

dapat dikemukakan dengan de4insi lain, misalnya Esegiempat yang terjadi jika

sebuah segitiga dipotong oleh sebuah garis yang sejajar salah satu sisinya

adalah trapesium1F. Kedua de4inisi trapesium di atas memiliki isi kata atau

makna kata yang berbeda.



Kedua de4inisi itu dikatakan EintensiF yang berbeda tetapi memiliki

TekstensiF yang sama. Kesamaan ekstensi itu dapat diuji dengan pertanyaan

Eadalah trapesium meurut de4inisi pertama yang tidak termasuk dalam

trapesium menurut de4inisi kedua dan sebaliknya#. Pkstensi suatu de4inisi juga

berarti Ehimpunan yang tertangkap oleh de4inisi ituF.De4inisi pertama digolongkan dalam de4inisi analitis, yaitu de4inisi

yang menyebutkan genus proksimum 0genus terdekat1 dan de4erensia spesi4ika

0pembeda khusus1. )ebagai contoh E%elah ketupat adalah jajargenjang

yang...F, genus proksimumnya yaitu EjajargenjangF sedangkan de4erensia

spesi4iknya adalah keterangan yang berada dibelakang kata EyangF.)edangkan de4inisi kedua digolongkan de4inisi genetik, yaitu de4inisi

yang menyebutkan bagaimana konsep itu terbentuk atau terjadi. )ebagai

contoh trapesium adalah segiemapat yang terjadi bila sebuah segitiga dipotong

oleh sebuah garis yang sejajar salah satu sisinya. enis de4inisi ketiga adalah

de4inisi dengan rumus, yaitu misalkan 0!1 aUbWaU0-b1, 0$1 nXWn0n-!1X ,?XW!Operasi adalah pengerjaan hitung, pengerjaan aljabar dan pengerjaan

matematika yang lain. )ebagai contoh misalnya EpenjumlahanF. EperkalianF.

EgabunganF. EirisanF. Lnsur-unsur yang dioperasikan juga abstrak. Hada

dasarnya operasi dalam matematika adalah suatu relasi khusus karena operasi

adalah aturan untuk memperoleh elemen tungga dari satu atau lebih elemen

yang diketahui.)emesta dari elemen-elemen yang diketahui maupun dari elemen yang

diperoleh dapat sama tetapi dapat juga berbeda. Plemen tunggal yang

diperoleh disebut sebagai hasil operasi sedangaka satu atau lebih elemen yang

diketahui disebut elemen yang dipoerasikan. Dalam matematika dikenal dalam



berbagai macam operasi yaitu operasi unair, operasi biner, operasi terner dan

sebagainya. ergantung dari banyak elemen yang dioperasikan. Henjumlahan

adalah operasi biner karena elemen yang dioperasikan ada dua. etapi

Etambah limaF adalah operasi unair karena elemen yang dioperasikan hanya

satu. Dalam himpunan operasi gabungan adalah operasi biner tetapi

komplemen adalah operasi unair. )eringkali operasi juga disebut EskillF bila

yang ditekankan adalah keterampilannya.

Hrinsip adalah objek matematika yang kompleks. Hrinsip dapat terdiri

dari beberapa 4akta, beberapa konsep yang dikaitkan oleh suatu relasi ataupun

operasi. )ecara sederhana dapatlah dikatakan bahwa prinsip adalah hubungan

antara berbagai objek dasar matematika. Hrinsip dapat berupa aksioma,

teorema, si4at, dan sebagainya.

B. B!t&'& Paa K!(!a#ata$

)eperti halnya dalam kehidupan keseharian kita, termasuk kehidupan

berbangsa dan bernegara, terdapat banyak kesepakatan yang mengikat semua

anggota masyarakat. Dalam matematika kesepakatan merupakan suatu

tumpuan yang amat penting. Kesepakatan yang mendasar adalah "ksioma dan

konsep primiti4. "ksioma diperlukan untuk menghindarkan berputar-putarnyaargumentasi dalam pembuktian. )edangkan konsep primiti4 diperlukan untuk

menghindarkan berputar-putar dalam mende4inisikan."ksioma juga disebut Hostulat ataupun pernyataan pangkal 0yang

tidak perlu dibuktikan1. )edangkan konsep primiti4 yang juga disebut sebagai

unde4ined terms ataupun pengertian pangkal tidak perlu dide4inisikan.

%eberapa aksioma dapat membentuk suatu sistem aksioma yang selanjutnya



dapat membetuk suatu sistem aksioma yang selanjutnya dapat menurunkan

berbagai teorema. Dalam aksioma tentu terdapat konsep primiti4 tertentu dari

satu atau lebih konsep primiti4 dan dapat dibentuk konsep baru melalui

pende4inisian.

*. B!"a P# D!&#t3

Dalam matematika sebagai EilmuF hanya diterima pola pikir dedukti4.

Hola pikir dedukti4 secara sederhana dapat dikatakan pemikiran Eyang

berpangkal dari hal yang bersi4at umum diterapkan atau diarahkan pada hal

yang bersi4at khususF. Hola pikir dedukti4 ini dapat terwujud dalam bentuk

yang amat sederhana tetapi juga dapat terbentuk dalam wujud yang tidak

sederhana.)eorang siswa )D sudah mengerti makna konsep EpersegiF yang

diajarkan gurunya. )uatu hari siswa tersebut melihat berbagai macam bentuk

pigura yang terdapat pada suatu pameran lukisan. )aat itu dia menunjukkan

pigura yang berbentuk persegi dan yang bukan persegi, ini berarti siswa

tersebut telah menerapkan pemahaman umum tentang persegi ke dalam situasi

khusus tentang pigura-pigura tersebut. adi siswa itu pada waktu menunjuk

pigura persegi telah menggunakan pola pikir dedukti4 yang tergolong

sederhana.%anyak teorema dalam matematika yang EditemukanF melalui

pengamatan-pengamatan khusus, misalnya eorema Hythagoras. %ila hasil

pengamatan tersebut dimasukan dalam struktur matematika terentu maka

teorema yang ditemukan harus dibuktikan secara dedukti4 dengan

menggunakan teorema dan de4inisi terdahulu yang telah diterima.

D. M!'"# S'," a$% K($% a At



Dalam matematika terdapat banyak sekali simbol yang digunakan baik

berupa huru4 ataupun bukan huru4. Jangkaian simbol-simbol dalam

matematika dapat membentuk suatu model matematika dapat berupa

persamaan, pertidaksamaan, bangun eometrik tertentu dan sebagainya. uru4-

huru4 yang digunakan dalam model persamaan misalnya VUyW3 belum tentu

bermakna atau berarti bilangan, demikian juga tanda EUF belum tentu operasi

tambah untuk dua bilangan. Makna huru4 dan tanda itu tergantung dari

permasalahan yang mengakibatkan terbentuknya model itu. adi secara umum

bentuk dan tanda dalam model VUyW3 masih kosong dari arti, terserah pada

yang meman4aatkan model itu. Kosongnya arti simbol mauun tanda dalam

model-model matematika itu justru memungkinkan EinteralF matematika ke

dalam bebagai pengetahuan. Kosongnya arti memungkinkan matematika

memasuki medan garapan dari ilmu bahasa 0linguistik1.

E. M!'!)at#a$ S!'!(ta P!',aaa$

)ehubungan dengan kosongnya arti dari simbol-simbol dan tanda-

tanda dalam matematika jelas bahwa dalam menggunakan matematika

diperlukan kejelasan dalam lingkup apa simbol itu dipahami. %ila lingkup

pembicaraannya bilangan. Maka simbol-simbol diartikan bilangan. %ila

lingkup pembicaraannya trans4ormasi maka simbol-simbol itu diartikan suatu

trans4ormasi. >ingkup pembicaraan itulah yang disebut semesta pembicaraan.

%enar atau salahnya atau ada tidaknya penyelesaian suatu model matematika

oleh semesta pembicaraannya.Dalam semesta pembicaraan bilangan bulat terdapat model $VWB.

"dakah penyelesainnya# Kalau kita selesaikan tanpa menghiraukan



semestanya akan diperoleh hasil VW$,B. ika diperhatikan semesta

pembicaraannya maka hasil itu bukan jawaban yang dikehendaki. adi

jawaban yang sesuai dengan semestanya adalah Etidak ada jawabannyaF atau

penyelesaiannya tidak ada. )ering juga dikatakan himpunan penyelesaian

adalah Ehimpunan kosongF.Dalam semesta pembicaraan ektor dalam bidang datar terdapat

model a Ub Wc. elas bahwa huru4-huru4 yang digunakan itu tidak diartikan

bilangan, tetapi harus diartikan ektor. )ehingga untuk menentukan

penyelesaiannya diperukan cara yang berbeda dengan bilangan.

F. K$((t!$ Da"a' S(t!'$a

Dalam matematika terdapat banyak sistem. "da sistem yang

mempunyai kaitan satu sama lain tetapi juga ada sistem yang terdapat

dipandang terlepas satu sama lain. Misal dikenal sistem-sistem aljabar, atau

sistem-sistem geometri. )istem aljabar dan sistem geometri tersebut dapat

dipandang terlepas satu sama lain tetapi di dalam sistem aljabar sendiri

terdapat beberapa sistem yang lebih EkecilF yang terkait satu sama lain.Demikian juga dalam sistem geometri, terdapat beberapa sistem

EkecilF yang berkaitan satu sama lain. Dalam aljabar terdapat sistem aksioma

dari ring, sistem aksioma dari 4ield dan sebagainya. Masing-masing sistem

aksioma itu memiliki keterkaitan tertentu. Demikian juga dalam sistem

geometri terdapat sistem geometri netral, sistem geometri Puiclides, sistem

geometri non-Puiclides dan sebagainya. )istem-sistem geometri itu memilki

kaitan tertentu juga.



BAB I6

HAKIKAT MATEMATIKA DI SEKOLAH

A. P!$a+a$ Mat!'at#a S!#"a)

Hembelajaran pada hakekatnya adalah proses interaksi antara peserta

didik dengan lingkungannya, sehingga terjadi perubahan perilaku ke arah yang

lebih baik 0Mulyasa, $??$:!??1. Dalam pembelajaran, tugas guru yang paling

utama adalah mengkondisikan lingkungan agar menunjang terjadinya

perubahan tingkah laku.Hembelajaran matematika menurut Jusse44endi 0!GG&:!?G1 adalah

suatu kegiatan belajar mengajar yang sengaja dilakukan untuk memperoleh

pengetahuan dengan memanipulasi simbol-simbol dalam matematika sehingga

menyebabkan perubahan tingkah laku.Dalam kurikulum $??' disebutkan bahwa pembelajaran matematika

adalah suatu pembelajaran yang bertujuan:!.Melatih cara ber4ikir dan bernalar dalam menarik kesimpulan, misalnya

melalui kegiatan penyelidikan, eksplorasi, eksperimen, menunjukkan

kesamaan, perbedaan, konsistensi dan inkonsistensi$.Mengembangkan aktiitas kreati4 yang melibatkan imajinasi, intuisi, dan

penemuan dengan mengembangkan pemikiran diergen, orisinil, rasa ingintahu, membuat prediksi dan dugaan, serta mencoba-coba

&.Mengembangkan kemampuan memecahkan masalah'.Mengembangkan kemampuan menyampaikan in4ormasi atau

mengkomunikasikan gagasan antara lain melalui pembicaraan lisan,

gra4ik, peta, diagram dalam menjelaskan gagasan

B. P"a P# Mat!'at#a S!#"a)



Hola pikir matematika sebagai ilmu adalah dedukti4. idaklah

demikian halnya dalam matematika sekolah, kalaupun siswa pada akhirnya

tetap diharapkan mampu berpikir dedukti4, namun dalam proses

pembalajarannya dapat digunakan pola pikir indukti4. Hola pikir indukti4 yang

digunakan sebagai bentuk penyesuaian dengan tahap perkembangan

intelektual siswa-siswi. (amun, untuk penyajian matematika di M"

digunakan pola pikir dedukti4.

ika de4inisi jajaran genjang telah diterapkan di MI untuk

memperkenalkan konsep suatu bangun datar, misalnya persegi, guru dapat

menunjukkan berbagai bangun geometri atau gambar datar kepada

siswanya, kemudian menunjuk bangun yang berbentuk persegi, dengan

mengatakan, Elni namanya persegi.F )elanjutnya menunjuk bangun lain yang

bukan persegi dengan mengatakan, Elni bukan persegi.F (amun selanjutnya dapat juga ditanamkan pola pikir dedukti4 secara

amat sederhana, misalnya siswa MI tersebut diajak ke suatu tempat yang

banyak bangun-bangun geometrinya. %ila kepada siswa itu ditanyakan

manakah yang merupakan persegi, ternyata dia dapat menunjuk dengan

benar, berarti siswa tersebut telah menerapkan pola pikir dedukti4 yang

sederhana. Demikian banyak topik matematika yang penyajiannya perludiawali dengan langkah-langkah indukti4 namun akhirnya tetap diarahkan

agar siswa dapat berpikir secara dedukti4.

*. P"a P# Mat!'at#a S!#"a)

)eperti yang kita ketahui obyek matematika adalah abstrak. )i4at

abstrak obyek matematika tersebut tetap ada pada matematika sekolah. al itu



merupakan salah satu penyebab sulitnya seorang guru mengajarkan

matematika sekolah. seorang guru matematika harus berusaha untuk

mengurangi si4at abstrak dari obyek matematika itu sehingga memudahkan

siswa menangkap pelajaran matematika di sekolah.

Dengan demikian, seorang guru matematika harus mengusahakan agar

4akta, konsep, operesi atau prinsip dalam matematika itu terlihat konkret

sesuai dengan perkembangan penalaran siswanya. Di jenjang sekolah, si4at

kongkret obyek matematika tersebut diusahakan lebih banyak atau lebih besar

dibanding jenjang sekolah yang lebih tinggi. )emakin tinggi jenjang

sekolahnya, semakin besar atau banyak si4at abstraknya. adi pembelajaran

tetap diarahkan kepada pencapaian kemampuan ber4ikir abstrak para siswa.

D. T&+&a$ P!$#a$ Mat!'at#a

ujuan pembelajaran matematika yang dalam tulisan ini menjadi 4okus

pembahasan bertalian dengan nilai-nilai yang terkandung dalam pembelajaran

matematika. Dalam Heraturan Menteri Hendidikan (asional nomor $$ tahun

$??C dikemukakan bahwa mata pelajaran matematika diajarkan di sekolah

bertujuan agar peserta didik memiliki kemampuan sebagai berikut :a. Memahami konsep matematika, menjelaskan keterkaitan antar konsep dan

mengaplikasikan konsep atau algoritma, secara luwes, akurat, e4isien, dan

tepat, dalam oemecahan masalah. b. Menggunakan penalaran pada pola dan si4at, melakukan manipulasi

matematika dalam membuat generalisasi, menyusun bukti, atau

menjelaskan gagasan dan pernyataan matematika.



c. Memecahkan masalah yang meliputi kemampuan memahami masalah,

merancang model matematika, menyelesaikan model dan mena4sirkan

solusi yang diperoleh.d. Mengomunikasikan gagasan dengan simbol, tabel, diagram, atau media

lain untuk memperjelas keadaan atau masalah.e. Memiliki sikap menghargai kegunaan matematika dalam kehidupan, yaitu

memiliki rasa ingin tahu, perhatian, dan minat dalam mempelajari

matematika, serta sikap ulet dan percaya diri dalam pemecahan masalah.

%ila diperhatikan secara cermat terlihat bahwa kelima tujuan yang

dikemukakan di atas memuat nilai-nilai tertentu yang dapat mengarahkan

klasi4ikasi atau penggolongan tujuan pembelajaran matematika di semua

jenjang pendidikan sekolah menjadi 0!1 tujuan bersi4at 4ormal dan 0$1 tujuan

yang bersi4at material. "dapun tujuan yang bersi4at 4ormal lebih menekankan

kepada menata penalaran dan membentuk kepribadian. )edangkan tujuan

yang bersi4at material lebih menekankan kepada kemampuan menerapkan

matematika dan keterampilan matematika. Lntuk meningkatkan kemampuan

memecahkan masalah perlu dikembangkan keterampilan memahami masalah,

membuat model matematika, menyelesaikan masalah, dan mena4sirkan

solusinya.Dalam setiap kesempaian, pembelajaran matematika hendaknya

dimulai dengan pengenalan masalah yang sesuai dengan situasi c#nte(tual

pr#blem!% Dengan mengajukan masalah kontekstual, peserta didik secara

bertahap dibimbing untuk menguasai konsep matematika. Lntuk

meningkatkan kee4ekti4an pembelajaran, sekolah diharapkan menggunakan



teknologi in4ormasi dan komunikasi seperti komputer, alat peraga, atau

media lainnya. )elain itu, perlu ada pembahasan mengenai bagaimana

matematika banyak diterapkan dalam teknologi in4ormasi sebagai

perluasan pengetahuan peserta didik.

E. P"a D!&#33 a$ I$&#t3

)alah satu karakteristik matematika adalah berpola pikir dedukti4.

Dalam pembelajaran matematika pola pikir dedukti4 tersebut tetap penting dan

merupakan salah satu tujuan yang bersi4at 4ormal, yang memberi tekanan

kepada penataan nalar. Meskipun pola pikir dedukti4 itu sangat penting,

namun dalam pembelajaran matematika terutama di jenjang Ml dan Ms.

)impulan itu dapat saja berupa suatu de4inisi ataupun teorema yang

diangkat dari contoh-contoh tersebut. al itu dapat dilihat pada contoh

terdahulu tentang pembentukan jajaran genjang. )uatu teorema 0misal

teorema )$tag#ras1 yang diperoleh dengan cara indukti4 itu bila kondisi kelas

memungkinkan, dapat dibuktikan kebenarannya secara dedukti4. (amun jika

pembuktian tersebut dipandang berat bagi siswa Ms, pola dedukti4 dapat

diperkenalkan melalui penggunaan de4inisi atapun teorema tersebut dalam penyelesaian masalah. Hada jenjang Ms untuk menyajikan topik-topik

tertentu tidak harus menggunakan pola pikir Indukti4. Hengenalan pola pikir

dedukti4 sudah dapat dimulai secara terbatas dan selekti4, sedangkan pada

jenjang sekolah menegah khususnya M", tentunya penggunaan pola pikir

indukti4 dalam penyajian sesuatu topik sudah semakin dikurangi.



F. Mat!'at#a I$3'a"

Hada saat sekarang ini telah dikenal istilah 2Hendidikan Sormal2 dan

Hendidikan non-Sormal2, Makna dari 2Hendidikan 4ormal2 adalah pendidikan

yang dilaksanakan di sekolah, sedangkan makna dari 2pendidikan non-

4ormal2 adalah pendidikan yang dilaksanakan di luar sekolah tetapi masih

jelas strukturnya. Hendidikan kejar paket ", misalnya, dapat digolongkan

sebagai pendidikan non-Sormal. )elain kedua istilah tersebut juga dikenal

istilah 2Hendidikan In4ormal2. Hendidikan in4ormal diartikan pendidikan

yang terlaksana di luar pendidikan 4ormal maupun pendidikan non 4ormal.

Hengetahuan matematika yang diperoleh oleh anak di tingkat

2Joudlotul "th4al2 atau 2%ustanul "th4al2 tidak mengikuti struktur

matematika yang ada di Madrasah lbtidaiyah atau jenis madrasah yang lain.

Hengetahuan matematika yang kini dimaksukkan dalam 2kurikulum2 J".

antara lain adalah 2klasi4ikasi dan seriasi2. Keduanya dapat dicapai

melalui pendidikan in4ormal.



BAB 6

PENUTUP

A. K!('&"a$

Matematika adalah ilmu yang terorganisir sebagai alat berpikir

dedukti4 dan cara bernalar untuk memahami bahasa arti4isial dan sebagai seni

kreasti4 yang pembahasannya meliputi studi besaran, struktur, ruang,

relasi, perubahan, dan beraneka topik pola, bentuk, dan entitas.

Matematika merupakan salah satu mata pelajaran yang dirasakan sulit oleh

banyak siswa. al ini dikarenakan objek matematika yang abstrak, sehingga

siswa sulit memahaminya. Dengan demikian pembelajaran matematika perlu

diusahakan sesuai dengan kemampuan kogniti4 siswa, mengkongkritkan

objek matematika yang abstrak sehingga muda di4ahami siswa."dapun penerapan pembelajaran matematika menurut K)H itu

sebenarnya tidak dibatasi, tergantung sejauh mana guru kreati4 dalam

penyampaiannya saja. ika guru tidak kreati4, maka pembelajaran matematika

tidak lah akan berbeda dengan pembelajaran model dulu.

B. Saa$

"dapun saran yang dapat Henulis berikan yaitu :!. Lntuk para mahasiswa agar dapat lebih memahami tentang ilmu

matematika khususnya untuk pembelajaran di sekolah.$. Lntuk mahasiswa agar lebih mengembangkan teori ilmu matematika yang

didapat dan dikorelasikan dengan proses pembelajaran di sekolah.




















makalah matematika 2

Documents