laporan penelitian menghitung percepatan

7/23/2019 Laporan Penelitian Menghitung Percepatan

1/16

Laporan Penelitian

Menghitung Percepatan Gravitasi dengan Menggunakan

Bandul Matematis dengan Metode Kuadrat Terkecil

Laporan penelitian ini diajukan sebagai

tugas akhir Pengolahan Data

Oleh

Raden Muhammad Hadi

1106608

UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA

FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN

ALAM

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

2012


2/16

Abstrak

Oleh Raden Muhammad Hadi

Telah dilakukan eksperimen Menghitung Percepatan Gravitasi Menggunakan Bandul Matematisdengan Metode Kuadrat Terkecil yang dilaksanakan pada bulan November 2012 sampai dengan

Januari 2013. Tujuan dari percobaan ini adalah untuk mengamati ayunan bandul matematis,

menentukan periode sebagai variabel terikat, dan percepatan gravitasi bumi. Dari hasil

eksperimen diperoleh bahwa percepatan gravitasi bumi sebesar

atau (dalam 2 angka penting).

Kata kunci : Bandul matematis, metode kuadrat terkecil, gerak harmonis sederhana dan

percepatan gravitasi


3/16

I. Pendahuluan

1.1Tujuan

1. Mengamati ayunan bandul matematis

2. Menentukan periode sebagai variabel terikat

3. Menentukan percepatan gravitasi bumi

1.2Landasan Teori

1.2.1 Percepatan Gravitasi

Percepatan gravitasi suatu obyek yang berada pada permukaan laut dikatakan

ekivalen dengan 1 g, yang didefinisikan memiliki nilai 9,80665 m/s2. Percepatan di

tempat lain seharusnya dikoreksi dari nilai ini sesuai dengan ketinggian dan juga

pengaruh benda-benda bermassa besar di sekitarnya. Umumnya digunakan nilai 9,81

m/s2untuk mudahnya.

Nilai percepatan gravitasi diperoleh dari perumusan umum gaya gravitasi antara dua

benda (obyek danbumi), yaitu

di mana

G adalahkonstanta gravitasi

M adalahmassa bumi

m dalah mass obyek

r adalah jarak antaratitik pusat massabumi dengan titik pusat massa obyek

Nilai g dapat diukur dengan berbagai metoda. Bentuk-bentuk paling sederhana

misalnya dengan menggunakan pegas atau bandul yang diketahui konstanta-

konstantanya. Dengan melakukan pengukuran dapat ditentukan nilai percepatan

gravitasi di suatu tempat, yang umumnya berbeda dengan tempat lain.
http://id.wikipedia.org/wiki/Permukaan_lauthttp://id.wikipedia.org/wiki/Gaya_gravitasihttp://id.wikipedia.org/wiki/Obyekhttp://id.wikipedia.org/wiki/Bumihttp://id.wikipedia.org/wiki/Konstanta_gravitasihttp://id.wikipedia.org/wiki/Massa_bumihttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Titik_pusat_massa&action=edit&redlink=1http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Titik_pusat_massa&action=edit&redlink=1http://id.wikipedia.org/wiki/Massa_bumihttp://id.wikipedia.org/wiki/Konstanta_gravitasihttp://id.wikipedia.org/wiki/Bumihttp://id.wikipedia.org/wiki/Obyekhttp://id.wikipedia.org/wiki/Gaya_gravitasihttp://id.wikipedia.org/wiki/Permukaan_laut


4/16

Dalam bidang fisika bumi dikenal pula metoda gravitasi yaitu suatu metoda

pengukuran perbedaan percepatan gravitasi suatu tempat untuk memperkirakan

kandungan tanah yang berada di bawah titik pengukuran. Dengan cara ini dapat

diduga (bersama-sama dengan pemanfaatan metoda fisika bumi lainnya) struktur dan

juga unsur-unsur pembentuk lapisan tanah yang tersusun atas elemen yang memiliki

rapat massa yang berbeda-beda.

1.2.2 Bandul Matematis

Bandul matematis adalah sebuah bandul dengan panjangLdan massa mdan membuat

GHS dengan sudut kecil (


5/16

Jika sebuah benda kecil dan berat kita gantungkan pada sebuah tali penggantung

(ringan dan tidak mulur) dan berayun dengan sudut simpangan kecil maka susunan

ini disebut bandul matematis. Periode dari bandul matematis dapat ditentukan dengan

rumus

Dimana : T = periode ayunan (detik)

L = panjang tali (cm)

g = percepatan gravitasi bumi (cm/dt2)

1.2.3 Periode

Periode (T) adalah waktu untuk satu siklus lengkap pada suatu osilasi, gerak

gelombang atau proses berulang teratur yang lain. Merupakan kebalikan dari

frekwensi dan dihubungkan dengan frekwensi angular:

Dimana merupakan kecepatan sudut.

1.2.4 Gerak Harmonik Sederhana

Gerak harmonik sederhana didefinisikan sebagai sembarang gerak yang grafiknya

merupakan gelombang sinus. Contoh, bandul sederhana atau sumber bunyi dan

berbagai gerak yang dapat digolongkan gerak gelombang sederhana. Gerak harmonik

sederhana dapat diamati, jika sistem bergerak dari titik pusat, yang disebabkan oleh

gaya yang sebanding dengan perpindahan dari posisinya ini. Persamaan dari gerak

untuk berbagai sistem dapat dituliskan sebagai berikut:


6/16

Dimana adalah suatu konstanta. Selama gerak tak terjadi perubahan energi kinetik

dan potensial, jumlah kedua energi itu tetap (bila tak ada redaman).

Periode (T) dinyatakan oleh:

Dimana f adalah frekwensi dan sebagai pulsatans.

1.2.5

Metode Kuadrat Terkecil

Metode kuadrat terkecil, yang lebih dikenal dengan nama Least-Squares Method,

adalah salah satu metode pendekatan yang paling penting dalam dunia keteknikan

untuk regresi ataupun pembentukan persamaan dari titik-titik data diskretnya (dalam

pemodelan), dan analisis kesalahan pengukuran (dalam validasi model).

Metode kuadrat terkecil termasuk dalam keluarga metode-metode pendekatan

kesalahan terdistribusi (distributed error approximation methods), berdasarkan

karakteristik kerjanya yang melakukan pengurangan kesalahan menyeluruh (global

error) yang terukur berdasarkan interval pendekatan keseluruhan (whole

approximation interval) sesuai denganorder pendekatan yang meningkat. Metode ini

berbeda denganmetode-metode asimptotis, khususnya yang dikembangkan melalui

pendekatan melalui deret Taylor, karena metode asimptotis memiliki karakteristik

kerja yang memperkecil sesatan pada beberapa titik tertentu, sesuai dengan order

pendekatan yang meningkat.

1.2.5.1 Proyeksi Ortogonal Dipandang Sebagai Aproksimasi

JikaPadalah sebuah titik di dalam ruang berdimensi 3 biasa dan Wadalah

sebuah bidang yang melewati titik asal ruang tersebut, maka titik Qpada

W yang jaraknya terdekat dengan P dapat diperoleh dengan


7/16

memproyeksikan P secara tegak lurus terhadap W. Sehingga, jika u =

panjang OP, jarak antaraPdan W diberikan oleh

||u projwu||(6)

Dengan kata lain, di antara semua vektor wpada W, vektor w = projw u

meminimalkan jarak ||u w||

Untuk setiap vektor wpada W yang bukan projWu.

1.2.5.2 Menentukan Garis Lurus Terbaik y = mx + n dengan Metode

Kuadrat Terkecil

Dengan metode kuadrat terkecil, kita tidak perlu menggambarkan grafik,

melainkan hanya menghitung m, n, m, dan n dari data-data xi dan yi

yang diperoleh dari percobaan.

Untuk percobaan berulang N kali yang memberikan sekumpulan data xi

danyidapat kita nyatakan

Teorema Aproksimasiasi Terbaik

Jika W adalah sebuah subruang berdimensi terhingga dari ruang

hasilkali dalam V, dan jika uadalah sebuah vektor pada V, maka projW u

adalah aproksimasi terbaik bagi upada W, dalam pengertian bahwa

||u projwu|| < ||u w|| (7)


8/16

Sydihitung dengan persamaan (12), yaitu

Perhatikan penyebut Persamaan (8) sampai (11) persis sama jadi cukup

dihitung 1 kali saja.


9/16

II. Metode

2.1Waktu & Tempat

Rentang waktu penelitian : November, 2012Januari, 2012

Waktu : - (Tidak tentu)

Tempat : Rumah

2.2Alat & Bahan

1. Paku 3 buah

2. Busur

3. Beban plastik

4. Benang

5. Kayu

6. Meteran tukang jahit 150 cm

7. Stopwatch

2.3Cara Kerja

Mengatur peralatan bandul matematis agar stabil atau kokoh, benang diposisikan tepat di

tengah busur (di sudut 90), mengukur panjang benang. Bandul disimpangkan dari pusat

sejauh 10 dari keadaan semula dan bandul dilepaskan agar berosilasi kemudian mencatat

waktu untuk beberapa kali osilasi. Percobaan diulangi dengan panjang benang yang

berbeda.

Perlu diketahui bahwa dalam mencari nilai percepatan gravitasi dapat menggunakan

penurunan rumus dari persamaan (2) dengan cara pelurusan persamaan

dengan memilih peubah tak bebas dan peubah bebas yang tertentu. Misalkan kita

kuadratkan dahulu kedua ruas dalam persamaan (2) hingga menjadi


10/16

Supaya grafik berupa garis lurus, kita ambil sebagaiydanLsebagaix, dan

kemiringan

Karena percobaan berulang, maka untuk menghitung gharus menggunakan persamaan

(14), yaitu

dimana m, nbilangan bulat, pecahan, positif maupun negatif.

Untuk maka

Jadi g akan dihitung dengan persamaan (13) dan dengan Persamaan (15). Untukmencari nilai-nilai tersebut, haruslah sebelumnya menghitung m dan smdengan metode

kuadrat terkecil.


11/16

III. HASIL DAN PEMBAHASAN

3.1Hasil Percobaan

Hasil yang diperoleh dari percobaan bandul matematis

Diperoleh dari percobaan Yang dihitung

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)

Jumlah

Percobaan

(i)(meter)

Waktu/10

getaran

(sekon)(sekon)

1 1,07 21,04 2,104 4,426816 4,736693 1,14 19,596

2 0,92 19,88 1,988 3,952144 3,635972 0,85 15,619

3 0,83 18,66 1,866 3,481956 2,890023 0,69 12,124

4 0,73 17,46 1,746 3,048516 2,225417 0,53 9,2934

5 0,60 17,03 1,703 2,900209 1,740125 0,36 8,4112

6 0,51 14,72 1,472 2,166784 1,10506 0,26 4,6949

7 0,39 13,09 1,309 1,713481 0,668258 0,15 2,9360

8 0,25 10,78 1,078 1,162084 0,290521 0,06 1,3504

Jumlah 5,30 132,66 13,27 22,85 17,29 4,05 74,03

Maksimal 1,07 21,04 2,10 4,43 4,74 1,14 19,60Minimal 0,25 10,78 1,08 1,16 0,29 0,06 1,35

Standar

Deviasi 0,276857364 3,492124814 0,349212 1,118005 1,528981 0,370706 6,3201

Tabel 1. Hasil percobaan bandul matematis


12/16

Gambar 2. Grafik T2terhadapLpada percobaan bandul matematis berbentuk garis lurus.

Adapun perhitungan didasarkan pada tabel diatas.

Dari kolom (1) diperoleh = 8

Dari kolom (2) diperoleh = 5,30





Berdasarkan nilai yang didapat, akan dihitung terlebih dahulu penyebut dari persamaan

(8) dan (9) yang persis sama, yaitu

Dari persamaan (8) diperoleh


y = 4.012x + 0.198

R = 0.987

0

1

2

3

4

5

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20

AxisTit

le

Axis Title

T

i

= y

i

Ti^2 = Yi

Linear (Ti^2 = Yi)


13/16


Sekarang akan dihitunggdengan persamaan (13) dan dengan persamaan (15)

Berdasarkan aturan pada pengukuran berulang ketidakpastian relatif sekitar 10% berhak

atas 2 angka penting.

Jadi,

3.2Pembahasan

Sebuah bandul dengan panjang L dan massa m dan membuat GHS dengan sudut kecil

(


14/16

karena bandul bergerak dari suatu posisi ke posisi lain lalu kembali dalam posisi semula

dalam satu siklus lengkap yang disebut periode. Periode inilah yang dibutuhkan untuk

mencari nilai percepatan gravitasi berdasarkan persamaan .

Dalam percobaan ini teramati adanya gerak osilasi dari bandul ketika diberi simpangan

pada bandul tersebut. Osilasi ini dipengaruhi oleh besar simpangan yang diberikan pada

bandul. Semakin besar simpangannya semakin besar pula jarak osilasinya dan begitu juga

sebaliknya. Hal ini juga dipengaruhi oleh panjang benang yang menahan pembeban pada

bandul. Semakin panjang benangnya maka semakin besar pula jarak osilasinya dan begitu

juga sebaliknya.

Dengan dikuranginya panjang benang yang menahan pembeban dalam setiap percobaan

pada bandul maka nilai periodenya pun semakin kecil. Hal ini berarti periode berbanding

lurus dengan panjang benang.

Dari hasil pengolahan data menggunakan MS-Excel, diperoleh bahwa percepatan

gravitasi bumi sebesar atau

(dalam 2 angka penting), sedangkan berdasarkan hasil literatur adalah 9,80665 m/s2atau

sekitar 9,81 m/s2.


15/16

IV. KESIMPULAN DAN SARAN

4.1Kesimpulan

Dari eksperimen yang telah dilakukan, teramati adanya pengaruh pengurangan panjang

benang penahan beban terhadap osilasi. Pengurangan pada panjang tali menyebabkan

berubahnya nilai periode bandul yang berbanding lurus dengan panjang tali. Dari

percobaan diperoleh bahwa percepatan gravitasi bumi sebesar

atau .

4.2Saran

Agar diperoleh nilai pendekatan yang lebih baik, maka penulis memberikan saran:

1. Sertakan elemen (menggunakan variabel) yang lebih lengkap;

2. Menggunakan alat eksperimen yang jauh lebih canggih atau memiliki ketelitian lebih

tinggi;

3. Lakukan penelitian dalam situasi yang benar-benar ideal;

4. Dilengkapi dengan simulasi komputer.


16/16

Daftar Pustaka

Dasar, T. L. (2009). Bab I Teori Ketidakpastian. In T. L. Dasar, Teori Ketakpastian(pp. 1-10).

Bandung.

Fornasini, P. (2008). The Uncertainty in Physical Measurements: An Introduction to DataAnalysis in the Physics Laboratory.New York: Springer.

Kanginan, M. (2002).Fisika SMU Jilid 1A.Cimahi: Penerbit Erlangga.

Percepatan Gravitasi. (n.d.). Diperoleh pada 12 2012, dari Wikipedia:

http://id.wikipedia.org/wiki/percepatan_gravitasi

Permana, S. (2010).Laporan Praktikum Eksperimen Fisika II Analisis Bandul Fisis.

Tipler. (1998).Fisika: Untuk Sains dan Teknik.Jakarta: Penerbit Erlangga.

laporan penelitian menghitung percepatan

Documents