1BAB IPENDAHULUAN

A. DeskripsiModul Menerapkan Konsep Program Linear ini terdiri atas empat kompetensi

dasar, yaitu :1. membuat grafik himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear 2 variabel2. menentukan model matematika dari soal cerita (kalimat verbal)3. menentukan nilai optimum dari sistem pertidaksamaan4. menerapkan garis selidik untuk menentukan nilai optimum

B. PrasyaratKemampuan awal yang perlu dipelajari untuk mempelajari Modul ini adalah

siswa telah mempelajari dan menguasai Konsep Bilangan Real, Konsep Persamaan danPertidaksamaan.

C. Tujuan AkhirSetelah mempelajari Konsep Program Linear ini diharapkan siswa dapat :

1. menyelesaikan sistem pertidaksamaan linear 2 variabel2. menggambar grafik himpunan penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan linear3. menentukan nilai optimum suatu sistem pertidaksamaan4. menentukan nilai optimum suatu permasalahaan dengan garis selidik5. menerapkan konsep program linear untuk menyelesaikan permasalahan sehari-hari

D. GlosariumISTILAH KETERANGAN

Program linier Program linear adalah suatu metode untuk mencari nilaimaksimum atau minimum dari bentuk linear pada daerahyang dibatasi oleh grafik-grafik fungsi linear

Pertidaksamaan linier Kalimat terbuka yang dihubungan dengan tanda ketidaksamaandan mengadung variabel berpangkat satu

Model matematika Suatu cara untuk memandang suatu permasalahan atau suatupersoalan dengan menggunakan sistem pertidaksamaanMatematika

Fungsi kendala Batasan-batasan yang harus dipenuhi oleh variabel yangterdapat dalam fungsi obyektif

Fungsi obyektif Fungsi yang akan dicari nialai optimumnyaTitik optimum Suatu titik dimana fungsi obyektif bernilai optimumGaris selidik Garis lurus yang diperoleh dari persamaan fungsi obyektif

.

2E. Ceck Kemampuan

No Pertanyaan Ya Tidak1 Dapatkah anda menjelaskan pengertian program linear ?2 Dapatkah anda menggambar grafik himpunan penyelesaian

pertidaksamaan linear?3 Dapatkah anda menggambar grafik himpunan penyelesaian system

pertidaksamaan linear dengan dua variabel?4 Dapatkah anda menjelaskan pengertian model matematika?5 Dapatkah Anda menterjemahkan persoalan kehidupan sehari-hari

kedalam model matematika ?6 Dapatkah anda membuat fungsi obyektif dari suatu masalah

program linear?

7Dapatkah Anda menentukan titik optimum dari daerah himpunanpenyelesaian system pertidaksamaan linear?

8 Dapatkah anda menentukan nilai optimum dari fungsi obyektif?9 Dapatkah menjelaskan pengertian garis selidik?

10Dapatkah anda membuat garis selidik menggunakan fungsiobyektif?

11Dapatkah anda menentukan nilai optimum fungsi obyektifmenggunakan garis selidik?

Apabila anda menjawab Tidak pada salah satu pertanyaan di atas maka pelajarilahmateri tersebut pada modul ini. Apabila Anda menjawab Ya pada semua pertanyaan,maka lanjutkanlah dengan mengerjakan tugas, test formatif dan evaluasi yang ada padamodul ini.

3BAB IIPEMBELAJARAN

Kegiatan Belajar 1.Grafik himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dengan dua variableTujuan Kegiatan Belajar 1

Setelah mempelajari Kegiatan Belajar ini diharapkan siswa dapat :1. menjelaskan pengertian program linear.2. menggambar grafik himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear.3. menggambar grafik himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dengan

dua variabel.

A. Pengertian Program LinearProgram linear adalah suatu metode untuk mencari nilai maksimum atau

minimum dari bentuk linear pada daerah yang dibatasi oleh grafik-grafik fungsi linear.Ide program linier pertama kali dikembangkan dalam bidang kemiliteran selama perangdunia kedua, kemudian dikembangkan di dalam bidang pemerintahan, manajeman,komersial dan perdagangan.

Dalam dunia bisnis ada prinsip ekonomi yang selalu menjadi acuan untukmengambil keputusan, yaitu menggunakan sumber daya seminimal mungkin untukmendapatkan hasil semaksimal mungkin. Perhatikan dua contoh kasus berikut:contoh 1.1:Seorang pemborong memproduksi dua jenis bentuk pagar :- Pagar jenis I seharga Rp 30.000/m2- Pagar jenis II seharga Rp 45.000/m2Tiap m2 pagar jenis I memerlukan 4 m besi pipa dan 6 m besi beton, sedangkan tiap m2pagar jenis II memerlukan 8 m besi pipa dan 4 m besi beton. Jika persediaan yang ada640 m besi pipa dan 480 m besi beton. Permasalahannya adalah berapa banyak masing-masing jenis pagar harus dibuat untuk mendapatkan hasil penjualan yang maksimal?contoh 1.2:Seorang peternak akan membuat campuran pakan ternak yang terdiri atas jagung gilingdan konsentrat pabrik dengan memperhitungkan kebutuhan protein 18% dan energimetabolisme 2800Kkal/Kg. Jika diketahui:- jagung dan konsentrat pabrik masing-masing mengandung protein 9% dan 23% serta

mengandung energi 3300 Kkal/kg dan 2500 KKal/kg.- harga jagung Rp 1.500/Kg dan harga konsentrat Rp 3.000/kg.Permasalahnnya adalah berapa persen jagung dan konsntrat yang digunakan dalamcampuran pakan agar harganya semurah mungkin?

Sebelum mempelajari hal tersebut lebih lanjut, maka terlebih dahulu akan dibahasberbagai cara untuk menentukan daerah himpunan penyelesaian dari sistempertidaksamaan linear.

4B. Grafik Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan LinearPertidaksamaan linear adalah kalimat terbuka yang dihubungan dengan tanda

ketidaksamaan dan mengadung variabel berpangkat satu. Bentuk umum pertidaksamaanlinear adalah:

(i) ax + by > c(ii) ax + by < c(iii) ax + by c(iv) ax + by c

dengan x dan y variabel, a, b, dan c konstanta.Kedudukan titik-titik sebagai daerah penyelesaian pertidaksamaan linear pada

bidang Kartesius adalah:1. Kedudukan titik yang memenuhi persamaan ax + by = c2. Kedudukan titik yang memenuhi pertidaksamaan ax + by > c3. Kedudukan titik yang memenuhi pertidaksamaan ax + by < cdengan garis ax + by = c merupakan garis pembatas antara daerah yang memenuhidengan daerah yang tidak memenuhi.

Langkah-langkah untuk menggambar grafik penyelesain pertidaksamaan linear:1. Nyatakan pertidaksamaan linear sebagai persamaan linear dalam bentuk ax + by = c

(garis pembatas)2. Tentukan titik potong garis ax + by = c dengan sumbu X dan sumbu Y3. Tarik garis lurus yang menghubungan kedua titik potong tersebut. Jika

pertidaksamaan dihubungkan dengan tanda atau , garis dilukis tidak putus-putus,sedangkan Jika pertidaksamaan dihubungkan dengan tanda > atau < , garis dilukisputus-putus

4. Tentukan sebarang titik (x1, y1), masukkan ke pertidaksamaan. Jika pertidaksamaanbernilai benar, maka daerah tersebut merupakan daerah penyelesaian, sebaliknya jikabernilai pertidaksamaan bernilai salah, maka daerah tersebut bukan merupakan daerahpenyelesaian.

5. Arsirlah daerah yang memenuhi, sehingga daerah himpunan penyelesaiannya adalahdaerah yang diarsir atau arsirlah daerah yang tidak memenuhi, sehingga daerahhimpunan penyelesaiannya adalah daerah yang bersih.

Contoh 1.3. Gambarlah grafik himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear: 3x + 2y 12Jawab:Langkah (1): tentukan garis pembatas 3x + 2y = 12Langkah (2): tentukan titik potong terhadap sumbu x dan sumbu y

Titik potong sumbu x adalah ketika y = 0,sehingga diperoleh: 3x + 2(0) = 12

3x + 0 = 12

53x = 12x = 4

titik potong terhadap sumbu x adalah (4,0)Titik potong sumbu y adalah ketika x = 0,sehingga diperoleh: 3(0) + 2y = 12

0 + 2y = 122y = 12y = 6

titik potong terhadap sumbu x adalah (0,6)Langkah (3): hubungkan kedua titik potong tersebut dengan garis lurusLangkah (4): ambil sebarang titik, misalnya (0,0), masukkan ke pertidaksamaan:

3(0) + 2(0) 12 (tidak memenuhi), berarti daerah dimana titik (0,0)terletak bukan merupakan daerah penyelesaian.

Langkah (5): Arsirlah daerah yang memenuhi.

C. Grafik Himpunan Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan Linear dengan DuaVariabelSistem pertidaksamaan linear dua variabel adalah gabungan dari dua atau lebih

pertidaksamaan linear dengan dua variabel.Contoh 1.4 : gambarlah grafik yang memenuhi sistem pertidaksamaan linear:

x + y 15x + 2y 20x 0 ; y 0 x,y R

Jawab : Buatlah tabel titik potong dengan sumbu koordinat :

x + y = 15x 0 15y 15 0

x + 2y = 20x 0 15y 15 0

6Gambar grafiknya:

Latihan 1.1. Gambarlah grafik-grafik di bawah ini !

a. 2x + 3y = 12 d. y ? 6 g. 2x 3y ? 6b. 3x + 4y ? 12 e. x ? 2 h. 3x + 2y ? 12c. 3x 4y ? 12 f. x 2y = 6 i. 1 ? y ? 3

2. Gambarlah daerah penyelesaian dari sitem pertidaksamaan di bawah ini !a. 2x + y ? 4 ; 2x y ? 8 ; x ? 0 ; y ? 0b. 3x y ? - 6 ; x + 2y ? - 2 ; x + 2y ? 6 ; x ? 0 ; y ? 0c. x + 2y ? 10 ; x 2y ? 20 ; x ? 0 ; y ? 0d. 6x + 3y ? 12 ; 3x + 2y ? 12 ; x ? 0 ; y ? 0e. 2x 4y ? 8 ; - x + 2y ? 6 ; x ? 0 ; y ? 0

3. Tentukan sistem pertidaksamaan linear yang daerah penyelesaiannya diarsir dibawah ini !

(a) (b)

y

x(20,0)(0,10)

0

(0,15)

(15,0)

(10,5)

4

2x

04

2- 2

4(1,3)

7(c) (d)

(e)

x

y

(2,2)

(1,3) (5,3)

(6,4)

(3,5)

(3,0)(1,1)

(0,2)(5,1)

(2,5)

x

y

8Kegiatan Belajar 2:Model MatematikaTujuan Kegiatan Belajar 2

Setelah mempelajari Kegiatan Belajar ini diharapkan agar siswa dapat :1. menjelaskan pengertian model matematika.2. mengubah soal verbal ke dalam bentuk model matematika (menyusun system

pertidaksamaan linear)

A. Pengertian Model MatematikaModel Matematika adalah suatu cara untuk memandang suatu permasalahan atau

suatu persoalan dengan menggunakan sistem pertidaksamaan Matematika. Masalahmasalah yang akan diselesaikan dengan kaidah program linear biasanya memenuhibeberapa syarat untuk dipenuhi oleh variable-variabelnya.

Untuk menyusun suatu model matematika diperlukan pemahaman tentangimplikasi dari suatu pernyataan yang memenuhi syarat-syarat tertentu, misalnya:

Pernyataan Pertidaksamaan Dinotasikan

x tidak kurang dari 10 x = 10atau x > 10 x 10

x tidak lebih dari 12 x = 12 atau x < 12 x 12

B. Menyusun Model MatematikaContoh 2.1: Buatlah model matematika dari masalah verbal berikut:

Pengusaha perumahan akan membangun dua macam tipe rumah. Untuk tipe 21 luastanah yang diperlukan 60 m2 dan tipe 36 luas tanah 90 m2. Jika banyaknya rumah yangakan dibangun tidak lebih dari 800 unit dan luas tanah yang tersedia adalah 54.000 m2Jawab :

Misalkan : Tipe 21 = xTipe 36 = y

Maka permasalahan di atas dapat dituangkan dalam rabel sebagai berikut :Tipe 21 Tipe 36 Batasan

Luas tanah 60 90 54.000Jml rumah 1 1 800

Maka terjadi hubungan :Kebutuhan luas tanah : 60 x + 90y 54.000 2x + 3y 1800Jumlah rumah : x + y 800 x + y 800

9Karena x dan y menyatakan banyaknya rumah, maka harus berlaku (x,y)Cacahdan (x,y) 0. Jadi model matematikanya adalah : 2x + 3y 1800 ; x + y 800 ;x 0 ; y 0 dan (x,y)Cacah.

Contoh 2.2.Dalam campuran pakan unggas membutuhkan sekurang-kurangnya 16% protein, 2400Kkal/kg Energi metabolisme (EM) dan 9% lemak. Pakan jenis A mengandung 6%protein, 3200 EM dan 6% lemak, sedangkan pakan jenis B mengandung 20% protein,1600 Kkal/kg EM dan 18% lemak. Buatlah model matematika dari permasalahantersebut.Jawab: Misalkan : Pakan jenis A = x

Pakan jenis B = yMaka permasalahan di atas dapat dituangkan dalam tabel sebagai berikut :

Kebutuhan Pakan jenis A Pakan jenis B BatasanProtein 8 20 16EM 3200 1900 2400Lemak 6 18 9

Maka terjadi hubungan :Kebutuhan protein : 8x + 20y 16 2x + 5y 4Kebutuhan EM : 3200x + 1600y 2400 4x + 2y 3Kebutuhan lemak : 6x + 18y 9 x + 3y 3Karena x dan y menyatakan persentase penggunaan bahan pakan, maka harusberlaku (x,y)Cacah dan (x,y) 0. Jadi model matematikanya adalah :4x + 2y 3, 4x + 2y 3, x + 3y 3, x 0 ; y 0 dan (x,y)Cacah.

Latihan 2.Pilihlah jawaban yang paling tepat!1. Seorang penjual buah-buahan yang menggunakan gerobak mempunyai modal Rp

1.000.000. Ia telah membeli jeruk dengan harga Rp 4.000 per kg dan pisang Rp 1.600per kg. Jika banyak jeruk yang dibeli x kg, banyak pisang y kg sedangkan muatangerobak tidak dapat melebihi 400 kg maka sistem pertidaksamaan di atas adalah ...a. 5x + 4y 2500 ; x + y 400 ; x 0 ; y 0 d. 5x + 2y 1250 ; x + y 400 ; x 0 ; y 0b. 5x + 4y 1250 ; x + y 400 ; x 0 ; y 0 e. 5x + y 750 ; x + y 400 ; x 0 ; y 0c. 5x + 2y 2500 ; x + y 400 ; x 0 ; y 0

2. Suatu jenis roti membutuhkan 150 gr tepung dan 25 gr mentega, roti jenis yang lainmembutuhkan 75 gr tepung dan 50 gr mentega. Kita ingin membuat dua jenis rotisebanyak-banyaknya. Jika tersedia tepung 2,5 kg dan mentega 1,25 kg.Pertidaksamaan yang memenuhi adalah

10

a. x 0 ; y 0 ; 6x + y 100 ; 3x + 2y 150b. x 0 ; y 0 ; 6x + 3y 100 ; x + 2y 50c. x 0 ; y 0 ; 6x + y 150 ; 3x +2y 100d. x 0 ; y 0 ; 6x + y 100 ; 2x + 3y 50e. x 0 ; y 0 ; 6x + y 150 ; 3x +2y 50

3. Ditentukan luas daerah parkir 480 m2 luas rata-rata permobil 6 m2 dan bus 24 m2. Jikadaerah parkir itu tidak dapat memuat lebih dari 30 kendaraan, dengan banyak mobil xdan banyak bus y maka model matematika yang memenuhi a. x 0 ; y 0 ; 4x y 30 ; x + y 80b. x 0 ; y 0 ; 4x +y 80 ; x + y 30c. x 0 ; y 0 ; x + 4y 80 ; x + y 30d. x 0 ; y 0 ; 4x y 80 ; x + y 30e. x 0 ; y 0 ; x + 4y 80 ; x + y 30

4. Rokok A harganya Rp 800 perbungkus dan rokok B harganya Rp 400 perbungkus.Seorang pedagang rokok mempunyai modal Rp 1.200.000 dan tidak mampumenampung 2.000 bungkus rokok. Jika rokok A = x dan rokok B = y maka modelmatematika yang memenuhi adalah a. x 0 ; y 0 ; 2x + y 3000 ; x + y 2000b. x 0 ; y 0 ; 2x + y 3000 ; x y 2000c. x 0 ; y 0 ; 2x + y 3000 ; 2x 3y 2000d. x 0 ; y 0 ; x + 2y 3000 ; x + y 2000e. x 0 ; y 0 ; x + 2y 3000 ; x y 2000

5. Biang pengharum unsur A dan B sebuah minyak wangi disadap dari dua bahan x dany, setiap kg x mengandung 30 gram unsur A dan 20 gr unsur B, setiap kg ymengandung 40 gr unsur A dan 10 gr unsur B. Diinginkan untuk memenuhikebutuhan minyak wangi yang mengandung paling sedikit 1.200 gr unsur A danpaling sedikit 400 gr unsur B, model matematikanya adalah a. x 0 ; y 0 ; 3x + 4y 120 ; 2x + y 40b. x 0 ; y 0 ; 4x + 3y 40 ; 2x + y 120c. x 0 ; y 0 ; 3x + 4y 120 ; x + 2y 40d. x 0 ; y 0 ; 4x + 3y 120 ; 2x + y 40e. x 0 ; y 0 ; 3x + 4y 40 ; x + 2y 120

6. Seorang penjual buah-buahan yang menggunakan gerobak mempunyai modal Rp1.000.000. Ia telah membeli jeruk dengan harga Rp 4.000 per kg dan pisang Rp 1.600

11

per kg. Jika banyak jeruk yang dibeli x kg, banyak pisang y kg sedangkan muatangerobak tidak dapat melebihi 400 kg maka sistem pertidaksamaan di atas adalah ...a. 5x + 4y 2500 ; x + y 400 ; x 0 ; y 0 d. 5x + 2y 1250 ; x + y 400 ; x 0 ; y 0b. 5x + 4y 1250 ; x + y 400 ; x 0 ; y 0 e. 5x + y 750 ; x + y 400 ; x 0 ; y 0c. 5x + 2y 2500 ; x + y 400 ; x 0 ; y 0

Tulislah model matematika dari permasalahan di bawah ini !1. Produk A membutuhkan 30 kg bahan mentah dan 18 jam waktu kerja. Produk B

membutuhkan 20 kg bahan mentah dan 24 jam waktu kerja. Jika tersedia 75 kg bahanmentah dan waktu kerja yang tersedia 72 jam .

2. Seorang agen sepeda ingin membeli 20 sepeda untuk persediaan. Ia ingin membelisepeda biasa dengan harga Rp 300.000 sebuah dan sepeda balap dengan harga Rp400.000 sebuah. Ia merencanakan tidak akan mengeluarkan uang lebih dari Rp8.400.000.

3. Luas daerah parkir 360 m2, luas rata-rata untuk parkir sebuah mobil adalah 6 m2 danuntuk bus 29 m2 serta daerah parkir itu tidak dapat memuat lebih dari 30 kendaraan.

4. Sebuah pesawat udara mempunyai tempat duduk tidak lebih dari 50 penumpang.Setiap penumpang kelas utama boleh membawa bagasi 50 kg, sedang untuk kelasekonomi 20 kg. Pesawat itu hanya dapat membawa bagasi 1.500 kg.

5. Sebuah perusahaan angkutan harus mengangkat minimal 60 peti dalam satu minggu,tersedia 4 truk kecil dan 2 truk besar. Satu truk kecil dapat memuat 6 peti dan satutruk besar dapat memuat 10 peti.

12

Kegiatan Belajar 3:Nilai Optimum Fungsi ObyektifTujuan Kegiatan Belajar 3

Setelah mempelajari Kegiatan Belajar ini diharapkan agar siswa dapat :1. menentukan fungsi obyektif dan fungsi kendala2. menentukan titik optimum dari daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan linear3. menentukan nilai optimum dari fungsi obyektif

A. Fungsi obyektif dan fungsi kendalaFungsi obyektif atau fungsi tujuan adalah fungsi yang akan dicari nialai

optimumnya, sedangkan fungsi kendala adalah batasan-batasan yang harus dipenuhi olehvariabel yang terdapat dalam fungsi obyektif. Sesuai permasalahannya, ada dua macamnilai optimum dalam program linear, yaitu maksimisasi (Maximize) dan minimisasi(Minimize).

1. Masalah maksimisasi:Bentuk umum:Maksimumkan fungsi tujuan: z = px + qydengan batasan : a1x + b1y c1

a2x + b2y c2M M

anx + bny cnx 0, y 0 (non-negatifitas)

2. Masalah minimisasi:Minimumkan fungsi tujuan: z = px + qydengan batasan : a1x + b1y c1

a2x + b2y c2M M

anx + bny cnx 0, y 0 (non-negatifitas)

B. Titik Optimum dan Nilai OptimumTitik optimum adalah suatu titik dimana fungsi obyektif bernilai optimum. Titik

optimum terletak pada salah satu titik ekstrim (titik sudut) daerah penyelesaian. Nilaioptimum ditentukan dengan cara memasukan nilai variabel (x dan y) yang merupakanpenyelesaian yang layak ke fungsi obyektif.

13

Langkah-langkah penentuan nilai optimum :

1. mengubah soal verbal ke dalam bentuk model matematika

2. menggambar grafik

3. menentukan daerah penyelesaiannya

4. menentukan nilai optimum dari fungsi obyektif

Contoh 3.1. Tentukan fungsi obyektif, fungsi kendala dan nilai optimum dari masalahprogram linear berikut:Seorang pengrajin patung akan membuat patung Dewi Sri dan patung Ganesha. Sebuahpatung Dewi Sri membutuhkan 2 gram emas dan 2 gram perak untuk lapisan luarnya.Sedangkan sebuah patung Ganesha membutuhkan 3 gram emas dan 1 gram perak untuklapisan luarnya. Persediaan emas dan perak pengrajin masing-masing 12 gram dan 8gram.Jika patung Dewi Sri akan dijual dengan harga Rp 5.000.000 perbuah dan untuk patungGanesha Rp 4.500.000 perbuah, berapa banyak masing-masing jenis patung yang harusdibuat agar pengrajin memperoleh pendapatan sebanyak-banyaknya?Jawab:Misalkan : patung Dewi Sri = x

patung Ganesha = y

maka permasalahan di atas dapat dituangkan dalam tabel sebagai berikut :Kebutuhan patung Dewi Sri patung Ganesha Batasan

Emas 2 3 12Perak 2 1 8

sehingga terjadi hubungan :Kebutuhan emas : 2x + 3y 12Kebutuhan perak : 2x + y 8

Model :Maksimumkan fungsi obyektif: z = 5.000.000x + 4.500.000ydengan batasan : 2x + 3y 12

2x + y 8x 0, y 0

gambar daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan di atas dengan bantuan tabel berikut :

14

2x + 3y = 12 2x + y = 8x 0 6 0 4y 4 0 8 0

Titik-titik ekstrim daerah penyelesaiannya adalah: {(0,0), (0,4), (4,0), (3,2)}Masukkan nilai variabel x dan y pada titik ekstrim ke fungsi obyektif:

(x,y) z = 5.000.000x + 4.500.000y

(0,0) 0

(0,4) 18.000.000

(4,0) 20.000.000

(3,2) 24.000.000Dari tabel dapat disimpulkan bahwa nilai optimum 24.000.000 diperoleh pada titikoptimum (3,2). Artinya pendapatan maksimum sebesar Rp 24.000.000 akan diperolehpengrajin jika membuat 3 buah patung Dewi Sri dan 2 buah patung Ganesha.

Contoh 3.2. Tentukan fungsi obyektif, fungsi kendala dan nilai optimum dari masalahprogram linear berikut:Seorang nutrisionis rumah sakit akan membuat menu makanan yang mengandungsekurang-kurangnya 72 gram lemak, 48 gram protein, 100 gram karbohidrat dan 300miligram Natrium. Tiap 100 gram bahan makanan A mengandung 6 gram lemak, 8 gramprotein, 10 gram karbohidrat dan 20 miligram Natrium, sedangkan bahan makanan Bmengandung 12 gram lemak, 4 gram protein, 5 gram karbohidrat dan 100 miligram

1 2 3 4 6

1234

8

y

x

Titik potong garis 2x + 3y = 12dengan garis 2x + y = 8,yaitu titik (3,2)

15

Natrium. Jika diketahui harga per pak (100 gram) bahan makanan A adalah Rp 2.500dan bahan makan B adalah Rp 3.000, hitunglah berapa banyak penggunaan bahanmakanan A dan B agar biaya menu makan semurah mungkin.Jawab :Misalkan : Bahan makanan A = x

Bahan makanan B = y

maka permasalahan di atas dapat dituangkan dalam tabel sebagai berikut :Kebutuhan Bahan makanan A Bahan makanan B Batasan

Lemak 6 12 72Protein 8 4 48Karbohidrat 10 5 100Natrium 20 100 300

sehingga terjadi hubungan :Kebutuhan Lemak : 6x + 12y 72 x + 2y 12Kebutuhan Protein : 8x + 4y 48 2x + y 12Kebutuhan Karbohidrat : 50x + 5y 100 10x + y 20Kebutuhan Natrium : 20x + 100y 300 x + 5y 15

Model :Minimumkan fungsi obyektif: z = 2500x + 3000ydengan batasan : x + 2y 12

2x + y 1210x + y 20x + 5y 15x 0, y 0

gambar daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan di atas dengan bantuan tabel berikut :

x + 2y = 12 2x + y =12 10x + y =20 x + 5y = 15x 0 12 0 6 0 2 0 15y 6 0 12 0 20 0 3 0

16

Titik-titik ekstrim daerah penyelesaiannya adalah: {(0,20), (1,10), (4,4), (10,1),(15,0)}Masukkan nilai variabel x dan y pada titik ekstrim ke fungsi obyektif:

(x,y) z = 2500x + 3000y

(0,20) 60.000

(1,10) 32.500

(4,4) 22.000

(10,1) 28.000

(15,0) 37.500

Dari tabel dapat disimpulkan bahwa nilai optimum 22.000 diperoleh pada titik optimum(4,4). Artinya dengan menggunakan bahan makanan A dan B masing-masing sebanyak 4pak mengakibatkan biaya paling murah, yaitu Rp 22.000.

Latihan 3.1. Tentukan nilai minimum fungsi z = 3x + 2y yang memenuhi : 2x + y 20, 4x + 3y

48, x 0, y 0.2. Tentukan nilai maksimum fungsi z = 5x + 2y dari model matematika berikut :

3x + 2y 36.000, x + 2y 20.000, x ; y 03. Tentukan nilai maksimum dan minimum q = 6x + 10y pada himpunan penyelesaian

sistem pertidaksamaan x + y 6 ; x + 2y 10 ; x 2 dan y 0

17

4. Tentukan nilai maksimum dan minimum q = 16x 2y + 40 pada himpunanpenyelesaian sistem pertidaksamaan 6x + 8y 48 ; 0 y 4 dan 0 x 7 !

5. Sebuah perusahaan motor ingin memproduksi dua tipe motor, NSR 500 dan CBR600. Tipe NSR 500 memerlukan waktu 8 jam untuk desain konstruksi dan 2 jamfinalisasi, sedangkan jenis CBR 600 memerlukan waktu 12 jam desain konstruksi dan2 jam finalisasi. Waktu maksimal yang tersedia untuk membuat tipe NSR 500 danCBR 600 adalah 216 jam dan 48 jam. Jika harga jual satu bauh NSR 500 adalah Rp200.000.000 dan satu buah CBR 600 adalah Rp 240.000.000. Tentukan tipe motoryang harus dibaut agar mendapatkan hasil penjualan sebesar-besarnya.

6. Sebuah pabrik sepatu di Bandung membuat dua jenis sepatu yaitu kulit dan karet.Keuntungan dari sepatu kulit Rp 4.000 per pasang dan dari sepatu karet Rp 3.000 perpasang. Sepatu kulit memerlukan 6 jam pengolahan, 4 jam pemasangan dan 5 jampengepakan. Sepatu karet memerlukan 3 jam pengolahan, 6 jam pemasangan dan 5jam pengepakan. Jika tersedia 54 jam untuk pengolahan, 48 jam untuk pemasangandan 50 jam untuk pengepakan. Hitunglah keuntungan maksimum yang diperolehpabrik tersebut!

7. Pengusaha perumahan akan membangun dua macam tipe rumah. Untuk tipe 21 luastanah yang diperlukan 60 m2 dan tipe 36 luas tanah 90 m2. Banyaknya rumah yangakan dibangun tidak lebih dari 800 unit dan luas tanah yang tersedia adalah 54.000m2. Tentukan banyak rumah tipe 21 dan tipe 36 yang bisa dibuat untuk mendapatkanhasil penjualan maksimum, jika diketahui harga masing-masing tipe rumah adalahRp 18.000.000 dan Rp 35.000.000.

8. Penduduk suatu perumahan yang terdiri atas 180 orang dewasa dan 240 anak-anakakan mengadakan wisata dengan bis. Jika bis tipe A dapat memuat 20 orang dewasadan 40 orang anak, dan bis tipe B dapatr memuat 30 orang dewasa dan 30 orang anak.Jika harga sewa bis masing tipe adalah Rp 900.000 dan Rp 1.200.000, tentukanjumlah bis yang harus disewa untuk masing-masing tipe agar biaya sewanya semurahmungkin.

9. Seorang pemilik toko sepatu ingin mengisi tokonya dengan sepatu laki-laki palingsedikit 100 pasang dan sepatu wanita paling sedikit 150 pasang. Toko tersebut dapatmemuat 400 pasang sepatu. Keuntungan setiap pasang sepatu laki-laki adalah Rp1.000 dan setiap pasang sepatu wanita adalah Rp 500. Jika banyak sepatu laki-lakitidak boleh melebihi 150 pasang, tentukan keuntungan sebesar-besarnya yang didapatpemilik sepatu tersebut !

10. Sebuah kantin sekolah menyediakan menu mie goreng dan nasi goreng tidak lebihdari 60 porsi perhari. Banyak porsi mie goreng sedikitnya 10 porsi dan paling banyak50 porsi. Harga mie goreng Rp 1.500 perporsi dan nasi goreng Rp 1.000 perporsi.Berapa banyak masing-masing tipe menu yang harus dibuat agar mendapatkan hasilpenjualan yang maksimal ?

18

Kegiatan Belajar 4Garis SelidikTujuan Kegiatan Belajar 4Setelah mempelajari Kegiatan Belajar ini diharapkan agar siswa dapat :1. menjelaskan pengertian garis selidik

2. membuat garis selidik menggunakan fungsi obyektif

3. menentukan nilai optimum dengan garis selidik

A. Pengertian Garis Selidik

Garis selidik adalah garis lurus yang diperoleh dari persamaan fungsi obyektifgaris. Garis selidik diperkirakan berpotongan dengan garis lain yang mendekati nilaioptimum. Bentuk umum garis selidik adalah :

px + qy = k , p > 0, q > 0 dan k RB. Penerapan Garis Selidik untuk Menentukan Nilai Optimum

Langkah-langkah penggunaan garis selidik untuk menentukan nilai optimumadalah sebagai berikut:

1. Gambar daerah penyelesaian dari permasalahan yang diketahui

2. Buat persamaan garis selidik awal px + qy = k, dengan k = pq, kemudian gambargaris tersebut dengan titik potong pada sumbu x pada titik (q,0) dan titik potong padasumbu y pada titik (0,p).

3. Buat garis-garis selidik lain yang sejajar dengan garis selidik awal melalui titik-titkekstrim (titik sudut) daerah penyelesaian.

4. Tentukan titik optimum dengan ketentuan:

Titik maksimum adalah titik ekstrim yang dilalui oleh garis selidik yang palingkanan

Titik minimum adalah titik ekstrim yang dilalui oleh garis selidik yang paling kiri.

5. Tentukan nilai optimum dengan memasukkan nilai variabel x dan y pada titik optimumke fungsi obyektif.

Contoh 4.1:

Seorang pemborong memproduksi dua jenis bentuk pagar :- Pagar jenis I seharga Rp 30.000/m2- Pagar jenis II seharga Rp 45.000/m2Tiap m2 pagar jenis I memerlukan 4 m besi pipa dan 6 m besi beton, sedangkan tiap m2

pagar jenis II memerlukan 8 m besi pipa dan 4 m besi beton. Jika persediaan yang ada640 m besi pipa dan 480 m besi beton. Tentukan berapa meter persegi masing-masing

19

pagar dapat dibuat agar pemborong memperoleh hasil penjualan sebanyak-banyaknyadan berapa hasil penjualan tersebut!

Jawab :

Misalkan : pagar jenis I = xpagar jenis II = y

maka permasalahan di atas dapat dituangkan dalam tabel sebagai berikut :Kebutuhan pagar jenis I pagar jenis II Batasan

Pipa 4 8 640Beton 6 4 480

sehingga terjadi hubungan :Kebutuhan emas : 4x + 8y 640 x + 2y 160Kebutuhan perak : 6x + 4y 480 3x + 2y 240

Model :Maksimumkan fungsi obyektif: z = 30.000x + 45.000ydengan batasan : x + 2y 160

3x + 2y 240x 0, y 0

gambar daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan di atas dengan bantuan tabel berikut :

x + 2y =160 3x + 2y = 240x 0 160 0 80y 80 0 120 0

Buat persamaan garis selidik awal 30x + 45y = 1350 yang memotong sumbu x pada titik(45,0) dan memotong sumbu y pada titik (0,30), kemudian gambar garis selidik awaltersebut.

Gambar garis selidik lainnya sejajar garis selidik awal melalui titik-titik ekstrim padadaerah penyelesaian.

20

Dari gambar terlihat bahwa garis selidik yang paling kanan adalah garis selidik yangmelalui titik potong antara garis x + 2y =160 dengan garis 3x + 2y = 240, yaitu titik(40,60).

Jadi titik optimumnya adalah (40,60) artinya hasil penjualan maksimum jika pemborongmembuat 40 m2 pagar jenis I dan 60 m2 pagar jenis II, yaitu:40(Rp 30.000) + 60(Rp 45.000) = Rp 3.900.000.

Contoh 4.2:

Suatu perusahaan tambang batubara memiliki dua lokasi penambangan. Lokasi I setiaphari menghasilkan 1 ton batubara kualitas A, 3 ton kualitas B dan 5 ton kualitas C. LokasiII menghasilkan setiap hari menghasilkan 2 ton batubara untuk masing-masing kualitas.Dalam waktu kurang dari dua bulan perusahaan harus memenuhi pesanan 80 ton batubarakualitas A, 160 ton kualitas B dan 200 ton kualitas C. Jika diketahui biaya penambangandi lokasi I adalah Rp 2.000.000/hari dan di lokasi II adalah Rp 1.500.000, tentukanjumlah hari penambangan di lokasi I dan lokasi II agar pesanan dapat terpenuhi denganbiaya semurah mungkin!

Jawab:

Misalkan : Lokasi I = xLokasi II = y

maka permasalahan di atas dapat dituangkan dalam tabel sebagai berikut :Kualitas Lokasi I Lokasi II Batasan

A 1 2 80B 3 2 160C 5 2 200

Click

to bu

y NOW

!PD

F-XCHANGE

www.docu-track

.com C

lick t

o buy

NOW

!PD

F-XCHANGE

www.docu-track

.com

21

sehingga terjadi hubungan :Kualitas A : x + 2y 80Kualitas B : 3x + 2y 160Kualitas C : 5x + 2y 200

Model :Minimumkan fungsi obyektif: z = 2.000.000x + 1.500.000ydengan batasan : x + 2y 80

3x + 2y 1605x + 2y 200x 0, y 0

gambar daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan di atas dengan bantuan tabel berikut :

x + 2y = 80 3x + 2y 160 5x + 2y =200x 0 80 0 53.3 0 40y 40 0 80 0 100 0

Buat persamaan garis selidik awal 20x + 15y = 300 yang memotong sumbu x pada titik(15,0) dan memotong sumbu y pada titik (0,20), kemudian gambar garis selidik awaltersebut.

Gambar garis selidik lainnya sejajar garis selidik awal melalui titik-tik ekstrim pada derahpenyelesaian.

22

Dari gambar terlihat bahwa garis selidik yang paling kanan adalah garis selidik yangmelalui titik potong antara garis x + 2y = 80 dengan garis 3x + 2y 160, yaitu titik(40,20).Jadi titik optimumnya adalah (40,20) artinya biaya produksi minimum jika perusahaanmengoperasikan lokasi selama 40 hari dan lokasi II selama 20 hari , yaitu:

40(Rp 2.000.000) + 20(Rp 1.500.000) = Rp 110.000.000.

Latihan 4.

Gunakan garis selidik untuk menyelesaikan masalah program linear berikut.

1. Tentukan nilai maksimum 4x + 2y pada daerah himpunan penyelesaian : x 8 ; y 6 ; x + 4y 8 untuk x,y R.

2. tentukan nilai maksimum dan minimum 2x y pada pertidaksamaan : x + y 4 ; x +y 6 ; x 4 ; y x + 4 untuk x dan y R.

3. Seorang alumni SMK mendapat pesanan merakit sepeda dan sepeda motor. Karenajumlah pekerja terbatas, alumni SMK hanya dapat merakit sepeda 120 unit tiap bulandan sepeda motor paling sedikit 10 unit dan paling banyak 60 unit. Pendapatan daritiap unit sepeda sebesar Rp. 40.000,00 dan tiap unit sepeda motor Rp. 268.000,00.Berapa pendapatan maksimum tiap bulan kalau kapasitas produksi dua jenis 160 unit.

4. Peserta study tour SMK Negeri Blambangan ke Bali terdiri dari 60 orang. Merekaakan menginap di Hotel Sumringah yang mempunyai dua tipe kamar, yaitu tipeA dan tipe B. Tipe A dapat ditempati seorang dan tipe B dapat ditempati 3 orang.Pemilik hotel menghendaki rombongan itu harus menyewa paling sedikit 25 kamar.Berapa tipe A dan tipe B harus disewa supaya semua tertampung dengan biayahotel semurah-murahnya bila sewa untuk tipe A Rp 20.000 dan untuk tipe B Rp15.000 ?

5. Setiap kg makanan ayam cap kunci emas mengandung 10 unit antibiotik A dan 3unit antibiotik B, sementara 1 kg makanan ayam cap koin emas mengandung 5unit antibiotik A dan 12 unit antibiotik B. Setiap hari 5 ekor ayam membutuhkansekurang-kurangnya 60 unit antibiotik A dan 48 unit antibiotik B. Jumlah makanancap kunci emas dan cap koin emas untuk 5 ekor setiap hari minimal 10 kg. Jikaharga per kg cap kunci emas Rp 1.000 dan cap koin emas untuk 5 ekor ayamsetiap hari Rp 1.200. Agar pengeluaran biaya sekecil mungkin dan tentukan besarbiaya tersebut !

6. Semua jenis roti membutuhkan 150 gr tepung dan 50 gr mentega. Untuk roti jenislain membutuhkan 75 gr tepung dan 75 gr mentega. Kita ingin membuat sebanyak-banyaknya dari dua jenis roti itu. Jika tersedia tepung 2,25 kg dan mentega 1,5 kg,

23

berapa banyak roti masing-masing jenis yang dibuat agar diperoleh penyelesaiansebaik-baiknya ?

7. Perusahaan ARDI menghasilkan dua jenis barang : barang A dan barang B. Untukmenghasilkan barang jenis A seharga Rp 50.000 diperlukan 20 kg bahan baku dan 36jam kerja, sedangkan untuk menghasilkan barang Bdiperlukan bahan baku 30 kgdan 18 jam kerja. Tersedia bahan baku 480 kg dan jam kerja 360 jam. Jika barang Adijual dengan laba Rp 10.000 perbuah dan barang B Rp 15.000 per buah, tentukanbanyaknya masing-masing jenis barang yang harus dibuat agar diperoleh labamaksimum ?

8. Pedagang kaki lima menjajakan barang dagangannya berupa pakaian tidur lebihdari 400 buah dengan modal Rp 225.000. Jika setiap pakaian A harganya Rp 750 danpakaian B harganya Rp 500 dengan laba masing-masing Rp 250 dan Rp 100.Tentukan besarnya laba maksimum.

9. Seorang pedagang telah menerima dua jenis kembang gula dari seorang pengusaha.Dalam tiap jenis memuat coklat, karamel, dan gula dengan perbandingan:

Coklat Karamel Gula

Jenis A (%) 20 20 60

Jenis B (%) 20 60 20

Kedua jenis ini dicampur dan kemudian dimasak lagi untuk dijadikan kembang gulalagi dengan lebel sendiri; dengan perhitungan kembang gula dengan label baru akanlebih laku jika mengandung paling sedikit 4 kg coklat, paling sedikit 6 kg carameldan paling sedikit 6 kg gula. Harga jenis A adalah Rp 100.000,00 per kg dan jenis BRp 150.000,00 per kg. Berapa banyak dari tiap jenis harus dicampur supaya biayaserendah-rendahnya?

10. Seorang penjahit mempunyai bahan 60 m wol dan 40 m katun. Ia akan membuatstelan jas dan rok untuk dijual. Satu stel jas memerlukan 3 m wol dan 1 m katun,sedangkan satu rok memerlukan 2 m wol dan 2 m katun. Berapa stel jas dan rokyang haru ia buat agar mendapat keuntungan sebesar-besarnya jika harga 1 stel jasRp 20.000 dan harga 1 rok Rp 10.000 ?

24

UJI KOMPETENSI

1. Gambarlah daerah penyelesaian yang memenuhi pertidaksamaan 2x + y 4 .

2. Gambarlah daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan : x + y 5, 3x + 5y 15, x 0, y 0.

3. Gambarlah daerah penyelesaian dari model matematika yang ditunjukkan olehsistem pertidaksamaan : x +y 8 ; x + 2y 10 ; x 0 ; y 0

4. Gambarlah daerah penyelesaian dari model matematika yang ditunjukkan olehsistem pertidaksamaan : 3x +2y 36 ; x + 2y 20 ; x 0 ; y 0

5. Tentukan nilai maksimum z = 5x + y yang memenuhi sistem pertidaksamaan :x 0, y 0, x + 2y 12, dan 2x + y 12 .

6. Tentukan nilai maksimum pada fungsi objektif z = 5x + 7y yang memenuhisistem pertidaksamaan : x + y 10, x + 2y 14, x 0, y 0 .

7. Tentukan sistem pertidaksamaan linear yang daerah hasilnya seperti padabidang II gamba di bawah ini.

8. Tentukan nilai maksimum fungsi z = 5x + 6y untuk sitem pertidaksamaan linearyang i daerah hasilnya diarsir pada gambar di bawah ini.

x

y

5

5

3

20

I

II III

IV

V

x

y

6

54

50

25

9. Buatlah model matematika untuk masalah program linear berikut:

Suatu pesawat udara mempunyai tempat duduk tidak lebih dari 48 penumpang.Setiap penumpang kelas utama boleh membawa bagasi 60 kg sedangkan bagikelas ekonomi hanya 20 kg. Pesawat tersebut dapat membawa bagasi 1.440 kg,bila x dan y berturut-turut menyatakan banyak penumpang kelas utama danekonomi.

10. Pemborong bangunan kios pasar mempunyai persediaan kayu bengkire, kamperdan jati, masing-masing sebanyak 90, 80 dan 50 m3. Setiap kios tipe Imenggunakan 2 m3 kayu bengkire, 1 m3 kamper dan 1 m3 jati. Kios tipe IImenggunakan 1 m3 kayu bengkire, 2 m3 kamper dan 1 m3 jati. Tentukan hasilpenjualan kios maksimum yang bias diperoleh, jika harga jual kios masing-masing adalah Rp 12.000.000 dan Rp 10.000.000!

11. Seorang pengusaha ingin menyewakan rumahnya kepada 540 orang mahasiswa.Pengusaha tersebut membangun rumah tidak lebih dari 120 rumah yang terdiridari tipe A (untuk 4 orang ) yang disewakan Rp 90.000/bulan dan tipe B ( untuk6 orang ) disewakan Rp 107.000/bulan. Buatlah model matematikanya !

12. Seorang penjahit ingin membuat 25 baju sebagai persediaan yang terdiri dari 2jenis. Jenis Eksklusif memerlukan bahan 3 meter dan jenis Ekonomi memerlukanbahan 2,5 meter. Bahan yang tersedia 60 meter. Jika jenis Eksklusif dijual denganRp 75.000 dan jenis Hemat dijual dengan Rp 60.000, buatlah modelmatematikanya dan tentukan penyelesaian optimumnya !

13. Luas daerah parkir 600 m2. Luas rata-rata untuk mobil 6 m2 dan untuk bis 20 m2.Ongkos parkir mobil Rp 2.000 dan bis Rp 5.000. Jika daerah tersbut memuattidak lebih dari 40 kendaraan, tentukan jumlah kendaraan masing-masing yangparkir agar diperoleh pendapatan maksimum dengan garis selidik!

14. Seorang pedagang paling sedikit menyewa 25 kendaraan untuk jenis truck dancolt untuk mengangkut 224 karung. Truck dapat mengangkut 14 karung dan colt 8karung. Jika ongkos sewa truck Rp 100.000 dan colt Rp 75.000, dengan garisselidik tentukan banyak kendaraan yang harus disewa agar ongkos minimum!

15. Suatu pabrik farmasi menghasilkan dua macam kapsul obat flu yang diberi namaAntiflu dan Antiflu-Extra. Masing-masing kapsul memuat tiga unsur utamadengan kadar kandungannya tertera tabel berikut.

Unsur Antiflu Antiflu-Extra

Aspirin 2 1

Bikarbonat 5 8

Kodein 1 6

Menurut dokter, seorang yang sakit flu biasa akan sembuh bila dalam 3 haripaling sedikit menelan 12 grain aspirin, 74 grain bikarbonat dan 24 grain kodein.Bila harga Antiflu Rp 200,00 dan Antiflu-Extra Rp 300,00 per kapsul,Dengan garis selidik, tentukan berapa masing-masing kapsul yang harus dibelisupaya cukup untuk menyembuhkan dengan ongkos sekecil mungkin?