tugas 2 kelompok a model matematika

7/22/2019 Tugas 2 Kelompok a Model Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/tugas-2-kelompok-a-model-matematika 1/14

9. OSILATOR DUA BENDA (A TWO – MASS OSCILLATOR)

Jika di antara dua benda yang bebas bergerak dipasang. Dan misalkan kedua massa benda

tersebut disimbol m1 dan m2, dimana pegas penghubung memiliki panjang yang belum

terenggang l, dan konstanta pegas adalah k. Sistem tersebut hanya dapat berpindah secara

horizontal. (Seperti pada gambar 9-1)

Gambar 9.1

Gaya yang terjadi pada masing-masing benda sama dengan massa kali percepatannya. Untuk

mengetahui percepatannya, harus diketahui posisi masing-masing benda, jika x1 dan x2 adalah

jarak masing-masing benda dari titik asal.

Gambar 9.2

Meskipun jarak yang tak terenggang dari pegas adalah l, tidak berarti bahwa x2 – x1 = l , pegas

bisa saja merenggang ataupun merapat,. Dengan menggunkan hukum Newton, jika F1 adalah

adalah gaya yang terjadi pada m1 dan F2 adalah gaya yang terjadi pada m2 maka

Gaya yang terjadi pada masing-masing benda adalah aplikasi dari Hukum Hooke . Gaya

berbanding lurus dengan perenggangan pegas dan tidak berbanding lurus dengan panjang pegas.

Panjang perengangan pegas adalah panjang pegas (x2 – x1) dikurangi l . Besar gaya adalah

konstanta pegas (k) dikali panjang perenganggan pegas.



Arah dari gaya sangat penting. Misalkan pegas merenggang (x2 – x1 – l > 0), maka benda m1

terdorong ke arah kanan. Arah gaya tersebut adalah positif x1, Gaya yang terjadi pada benda 1

adalah k(x2 – x1 – l ) sehingga :

(9.1)

Meskipun besar gaya di benda m2 sama, tetapi gaya pegas berlawanan arah, sehingga:

(9.2)

Kedua persamaan tersebut bisa disederhanakan dengan menambahkan F1 dan F2, sehingga:

F1 + F2 = 0

(9.3)

(9.4)

Pusat massa dari system bukan percepatan tetapi perpindahan di

kecepatan konstan(ditentukan berdasarkan kondisi awal). Gaya yang bekerja hanya bergantung

pada panjang peregangan pegas ( . Dengan membagi persamaan (9.1) dengan m1

dan persamaan (9.2) dengan m2. Sehingga:

Misalkan z adalah perenganggan dari pegas

z =



maka

Dapat dilihat bahwa pereganggan pegas adalah gerak harmonik sedehana dengan frekuensi sudut

adalah

10. GESEKAN

Benda berosilasi di sekitar titik kesetimbangan akan terus mengecil sampai berhenti.

Model Matematika untuk suatu sistem pegas adalah

Amplitudo dari osilasi dapat berkurang karena terdapat gaya yang dapat melawan (resistive) ,

yaitu gaya yang melawan gerakan. Gambar 3 menunjukkan, jika pegas berpindah ke kanan,



maka ada gaya yang diberikan ke kiri. Gambar 4 menunjukkan bahwa pegas bergeser ke kiri,

jika ada gaya yang diberikan kekanan.

Gambar 3

Gambar 4

Gaya ini tejadi karena adanya gesekan antara benda dan sekeliling udara. Saat kecepatan positif

(dx/dt > 0 ), maka gaya gesekan (Ff ) harus negatif (Ff < 0). Saat kecepatan negatif, maka gaya

gesekan harus positif.

dimana c adalah konstanta positif dikenal sebagai koefisien Gesekan. Hubungan antara gaya ini

dan kecepatan disebut gaya redam linear.

Persamaan differensial yang menjelaskan system massa pegas dengan gaya redam linear adalah:

equivalen dengan:



Berdasarkan pengamatan bahwa sekali benda berpindah, gaya gesekan bersifat melawan tetapi

memiliki besar yang konstan yang tak bergantung pada kecepatan, Hasil pengamatan ini dapat

dimodelkan menjadi:

bergantung pada kekasaran dari permukaan dan berat benda.

11. SISTEM OSILASI TEREDAM

…… (1)

Sistem masa pegas dengan gesekan

Persamaan karakteristik dengan memisalkan = eλt

adalah sebagai berikut:

λt

λt

λt (2)

λt)

λt (3)

Subtitusi persamaan (2), (3) dan pada persamaan (1) sehingga diperoleh:



m ( λ²e λt

) + c ( λe λt

) + k (e λt ) = 0 : e

λt

m λ² + c λ + k = 0

Solusi persamaan karakteristik :

λ ₁.₂ = √

12. OSILASI DENGAN REDAMAN YANG KECIL

λ ₁.₂ = √

λ ₁.₂ = …… karena , maka

λ ₁.₂ =

λ

₁.

₂ =

…… jelas bahwa

λ ₁.₂ =

Misalkan

, maka diperoleh:

λ ₁.₂ =

Sehingga solusi umum dari adalah:



*+

* +

*₁₂+

Solusi umum :

Dengan

Kurva Solusi :

jika

maka,



13. OSILASI DENGAN REDAMAN YANG BESAR DAN KRITIS

Jika , maka sistem masa pegas mengalami redaman yang besar

akan menghasilkan solusi umum :

₂ ₂

Karena , r ₁ dan r ₂ adalah dua akar karakteristik yang berbeda, yaitu :

₁ dan ₂

Solusi Umum:

₂ ₂

Jika gaya gesekan cukup besar , maka benda mundur ke posisi setimbang dengan cepat, dan

tidak berosilasi, seperti pada gambar (a) dan (b) atau melewati posisi setimbang satu kali

sebelum kembali menuju keposisi setimbang (gambar c)

Jika disebut redaman kritis



Persamaan (1) akan menghasilkan 2 akar real yang sama, yaitu:

₁ dan ₂

Jadi solusi umum :

Karena solusi berbentuk dan karena t di eksponensial lebih kuat daripada t di

At+B sehingga kurva solusinya tidak jauh berbeda dalam kasus overdamped .

14. GERAK AYUNAN

Dengan ayunan dimaksudkan suatu benda yang terikat pada sebuah tali dimana ujung lain dari

tali terikat pada suatu titik tetap dan gerak harmonis benda tersebut biasa disebut gerak ayunan.

Seperti halnya pada sistem per-massa gerak ayunan juga berdasarkan hukum Newton kedua

tentang gerak. Dalam kegiatan belajar ini akan dibahas penyusunan model matematika pada

gerak ayunan.

a. Gerak Ayunan Linear

Sebuah ayunan dengan panjang , disajikan pada gambar merupakan sebuah tali

dengan panjang , satu ujungnya terikat pada sebuah titik tetap sehingga tali tersebut dapat

bergerak secara bebas terhadap titik tetap tersebut. Sedangkan pada ujung yang lain terikat

sebuah benda/massa dengan massa . Dengan demikian benda/massa tersebut akan

bergerak pada ruang berdimensi dua. Misalkan gerakan benda/massa tersebut menurut

sebuah lingkaran dengan jari-jari , seperrti terlihat oada gambar14-2.



Hukum Newton kedua tentang gerak yang diterapkan pada benda/massa dengan massa

tersebut berbentuk

Dengan menyatakan vektor letak dari benda (vektor dari titik asli ke titik benda). (pada

dimensi 3 kordinat-kordinat persegi panjang, percepatan diberikan

sebagai berikut.

Karena adalah vektor satuan yang mana tidak hanya memiliki nilai tetapi juga

memiliki arah) dan adalah gaya yang bekerja pada benda tersebut. Pada sistem koordinat

polar, dengan titik pangkal diambil titik tetap dari tali, vektor letak disajikan sebagai

Dengan adalah vektor satuan arah jari- jari, sedang sudut arah θ diambil terhadap garis

vertikal, sehingga ayunan dalam keadaan setimbang/diam berarti . Mengingat konstan, panjang tali, maka :

Berdasarkan sudut arah θ, vektor satuan dapat disajikan sebagai

Dengan , vektor satuan pada sistem koordinat Cartesian, seperti pada gambar berikut



Merupakan vektor satuan tegak lurus dengan arah sesuai arah pertambahan θ, berdasarkan

gambar di atas diperoleh

Seharusnya yang dihitung adalah vektor percepatan , tapi yan

g harus diketahui terlebih dulu adalah vektor kecepatan :

Karena adalah sebuah konstan untuk sebuah gerak ayunan, , maka persamaan di

atas menjadi

Untuk persamaan 14.3a

{ }



Persamaan dapat ditulis

Perhatikan bahwa

{ }

{ }

Komponen angular dari percepatan adalah . Hal tersebut hanya akan ada jika sudutnya

adalah percepatan. Jika konstan, komponen radial dari percepatan adalah - yang

selalu mengarah ke pusat. Itu disebut percepatan centripetal.

Untuk beberapa gaya ketika sebuah benda dipaksa bergerak melingkar, Hukum Newton

mengartikan

Dari hokum Newton kedua diketahui bahwa



Maka diperoleh :

[ ]

(

)

Untuk sebuah gerak ayunan, berarti gaya yang bekerja pada benda lain adalah gaya gravitasi yang mana seharusnya diartikan ke bentuk koordinat polar. Dari definisi dan ,

Persamaan

Jadi gaya gravitasi . disamping gaya gravitasi pada benda juga bekerja gaya tarik oleh tali ayunan, katakan

sebesar

dengan arah jari-jari, sehingga dapat dituliskan

. Dengan demikian gaya

yang bekerja pada benda dalam gerak ayunan adalah

Setiap komponen pada persamaan vektor gaya adalah hasil persamaan diffrensial biasa :

Massa m dapat dihilangkan dari kedua sisi pada persamaan 14.7a. Jadi gerakan dari ayunan

tidak bergantung pada besaran maas m yang diikat pada ayunan. Hanya perubahan atau perbedaan panjang L (atau g) yang menimbulkan gerakan. Sehingga persamaan dapat

disederhanakan seperti berikut

Gerak ayunan dibangun dari sebuah persamaan diffrensial non linier, persamaan 14.8 dan

oleh karena itu disebut persamaan non liniear gerak ayunan. Gaya pemulihan



tidak bergantung secara liniear pada . Masalah nonlinear biasanya lebih sulit untuk

dipecahkan daripada yang linear.

Bentuk lebih sederhana (bentuk persamaan diffrensial linier) merupakan bentuk

pendekakatan diperoleh dengan membatasi

cukup kecil sehingga dapat diambil

pendekatan

Secara geometri fungsi dan hampir identik untuk kecil ( diliniearisasikan dari sin pada sekitar titk asal,

Dengan menggunakan perkiraan tersebut, persamaan diffrential menjadi :

Disebut persamaan gerak ayunan linier. Selain itu dapat juga dibuat persamaan harmonis

sederhana. Gerak ayunan osilasi dengan frekuensi satu putaran (melingkar)

Dan peride T = 2π sepanjang yang kecil.

tugas 2 kelompok a model matematika

Documents