x logika matematika

7/24/2019 x Logika Matematika

1/15

LOGIKA MATEMATIKA

Literattur : Logika Matematika Elementer (Yaya S. Kusumah)

Lingkup Materi:

1. Pendahuluan

2. Pernyataan dan perasinya

a. Pengertian Pernyataan

!. "ilai Ke!enaran

#. perasi $ner (Monar)

d. perasi %iner (%inari)

e. &a!el Ke!enaran Pernyataan

'. &autologi Kontradiksi dan Kontingeng. Pernyataanpernyataan Ekui*alen

h. Kon*ers +n*ers dan Kontrapositi'

i. ,plikasi Logika dalam -aingan Listrik

. ,rgumen dan Metode /eduksi

a. Pengertian ,rgumen

!. +n'erensi +nduksi dan /eduksi

#. Pem!uktian 0aliditas ,rgumen

d. ,turan Penarikan Kesimpulan Penukaran Pem!uktian Kondisional

Pem!uktian tak Langsung Pem!uktian &autologi

e. Pem!uktian +n*aliditas ,rgumen

. Kuantor dan &eori Kuanti'ikasi

a. ungsi Proposisi

!. Kuantor $mum dan Khusus

#. "egasi Pernyataan %erkuantor

d. Empat Pernyataan dalam Logika &radisional

e. Pernyataan yang Mengandung 3elasi

'. Pem!uktian 0aliditas ,rgumen %erkuantor

g. Keke#ualian pada ,turan +n*erensi

h. Pem!uktian +n*aliditas ,rgumen %erkuantor

4. Syllogisme

a. Susunan dan Modus Syllogisme

!. 0aliditas Syllogisme

#. Metode /iagram 0enn


2/15

PENDAHULUAN

Pengertian Logika:Se#ara etimologis, logika berasal dari kata logos5 (Yunani) : kata, ucapan, pikiran

secara utuh, atau ilmu pengetahuan.

Se#ara umum (dalam arti luas), logika merupakan sebuah metode dan prinsip-

prinsip yang dapat memisahkan secara tegas antara penalaran yang benar dan

penalaranyang salah.

Penalaranmerupakan penarikan kesimpulan dalam sebuah argumen. Dengan kata

lain penalaran dapat diartikan sebagai cara berfikir yang merupakan panjelasan

dalam upaya memperlihatkan hubungan antara dua hal atau lebih, berdasarkan

sifat-sifat atau hukum-hukum tertentu yang sudah diakui kebenarannya dengan

langkah-langkah tertentu yang berakhir dengan sebuah kesimpulan.

Pelopor6Perintis Logika: ,ristoteles (7 8 22 SM)

Dalam berpendapat selalu melibatkan perasaan, prasangka, serta menarik

kesimpulan yang tidak berdasar. kibatnya: membenarkan sesuatu karena kita

suka, pengambilan keputusan yang keliru (seperti benar padahal salah).

&u9uan mempela9ari logikaagar kita memiliki cara birfikir yang tepat, akurat,

rasional, objektif, dan mampu berfikir kritis. !ecara praktis, tujuan mempelajari

logika yaitu dapat membantu kita menjadi lebih efektif dalam mengenal dan

menghindari kesalahan dalam penalaran.


3/15

PERNYATAAN DAN OPERASINYA

A. Pengertian Pernyataan

"ernyataan adalah kalimat matematika tertutup yang sudha pasti benar

atau salah tetapi keduanya tidak pada saat yang bersamaan. #otasi pada suatu

pernyataan biasanya menggunakan hurup kecil misalnyap r ...

$ontohpernyataan yaitu:

p : himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan.

% : & ' &*

r : & ' +

s : '/0 1, untuk ' R

$ontoh !ukan pernyataan yaitu:

2. pakah setiap bilangan prima merupakan bilangan ganjil3

/. /' 4 5 +

*. "ergi dari sini6

7. #ilai 8ebenaran

8ebenaran atau kesalahan sebuah pernyataan dinamakan nilai ke!enarandari

pernyataan tersebut.

#ilai kebenaran dari suatu pernyataan p dinotasikan dengan (p).

9ika !enarmaka nilai kebenarannya 7.

9ikasalahmaka nilai kebenarannya !.

$ontoh:

p : himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan.

(p) : 7

% : & ' &*

(%) : !

r : & ' +

(r) : !

s : '/0 1, untuk ' R

(s) : 7

$. perasi ;ner (


4/15

% : & ' &*

=% : & ' @ &*r : & ' +

=r : & ' + 0

s : '/0 1, untuk ' R

=s : '/ 1, untuk ' R

D. perasi 7iner (7inari)

perasi biner adalah operasi yang berkenaan dengan dua unsur. ?erdapat

macam yang termasuk operasi biner dalam logika, yaitu operasi kon9ungsi

operasi dis9ungsi operasi implikasi dan operasi !iimplikasi.

2. perasi 8onjungsi


5/15

#ilai kebenaran operasi disjungsi:

Di!"ngi e#$"i%: "ernyataan p % merupakan pernyataan yang benar,jika salah satu benar dan salah dalam keadaan yang lainnya.

Di!"ngi in#$"i%: "ernyataan p % merupakan pernyataan yang benar,

jika salah satu atau kedua-duanya benar dan salah dalam keadaan yang

lainnya.

?abel kebenaran operasi disjungsi:

P q p q p q p q

7

7

!

!

7

!

7

!

!

7

7

!

7

7

!

!

7

!

7

!

7

7

7

!Disjungsi kslusif Disjungsi Enklusif

$ontoh:

p: & merupakan bialnagn ganjil

%: & merupakan bilangan prima

p %: & merupakan bilangan ganjil atau prima

( p %) !

p: & merupakan bialnagn ganjil

%: & merupakan bilangan prima

p %: & merupakan bilangan ganjil atau prima

( p %) 7

*. perasi Emplikasi

"ernyataan yang mengandung jika p maka % disebut pernyataan implikasi

(kondisional). "ernyataan Cjika p maka %B dinotasikan Cp %B atau Cp

%B. " dinamakan anteseden dan % dinamakan konsekuen.

#ilai kebenaran operasi implikasi:

"ernyataan p % merupakan pernyataan yang benar, kecuali jika p

pernyataan benar dan % pernyataan salah.

?abel kebenaran operasi implikasi:

P q p q

7

7

!

!

7

!

7

!

7

!

7

7

$ontoh:


6/15

p %: 9ika persamaan kuadrat a'/4 b' 4 c 1 mempunyai akar-akar real,

maka b/F ac 0 1

. perasi 7iimplikasi"ernyataan yang mengandung Cjika dan hanya jikaB disebut pernyataan

biimplikasi (bikondisional). "ernyataan Cp jika dan hanya jika %B

dinotasikan Cp %B.

#ilai kebenaran operasi bimplikasi:

"ernyataan p % merupakan pernyataan yang benar, jika pernyataan p

dan % memiliki nilai kebenaran yang sama dan salah dalam keadaan yang

lainnya.

?abel kebenaran operasi biimplikasi:

P q pq

7

7

!

!

7

!

7

!

7

!

!

7

$ontoh:

p %: Dua buah garis saling berpotongan tegak lurus jika dan hanya jika

kedua garis itu saling membentuk sudut 11.

S&a$'%uatlah ta!el ke!enaran dari masingmasing pernyataan !erikut:

1.

2. (p r)

. = r

. ?autologi, 8ontradiksi, dan 8ontingen

"ernyataan yang semua nilai kebenaran 7 (7enar) dinamakan tautologi.

"ernyataan yang semua nilai kebenaran ! (!alah) dinamakan kontradiksi.

"ernyataan yang nilai kebenarannya merupakan kumpulan dari nilai 7 dan !,

di luar tautologi dan kontradiksi dinamakan kontingen.

G. "ernyataan kuiHalen

Dua buah pernyataan dinyatakan ekuiHalen satu sama lain, bila nilai kebenaran

kedua pernyataan sama. "ernyataan p ekuiHalen dengan pernyataan %

dinotasikan p %.

9adi definisi di atas dapat di tulis I(p) (%)J (p %)

K. 8onHers, EnHers, dan 8ontrapositif

>. plikasi Logika dalam 9aringan Listrik


7/15

"ada jaringan listrik ada dua macam hubungan yaitu hubungan seri dan

hubungan pararel.

!top kontak dinotasikan dengan p, %, r, ..., dan arus listrik inyatakan dengantanda panah.

1. ?u!ungan Seri

Kambar hubungan seri adalah sebagai berikut:

" %

Dengan mendefinisikan b terbuka dan t tertutup, maka kita dapat

menyusun tabel hubungan seri sebagai berikut:

P q Ar"

tt

b

b

tb

t

b

da?idak ada

?idak ada

?idak ada

9ika t diganti dengan 7 dan b diganti dengan !, sedangkan ada arus

diartikan sebagai 7 dan tidak ada arus diartikan sebagai !, maka tabel di

atas sama dengan tabel konjungsi.

2. ?u!ungan Pararel

Kambar hubungan pararel adalah sebagai berikut:

p

%

Dengan mendefinisikan b terbuka dan t tertutup, maka kita dapat

menyusun tabel hubungan seri sebagai berikut:

P q Ar"t

t

b

b

t

b

t

b

da

da

da

?idak ada

9ika t diganti dengan 7 dan b diganti dengan !, sedangkan ada arus

diartikan sebagai 7 dan tidak ada arus diartikan sebagai !, maka tabel di

atas sama dengan tabel disjungsi.

$ontoh: >al / /a dan /b


8/15


9/15

ARGUMEN DAN METODE DEDUKSI

A. Pengertian Arg"(en

rgumen adalah serangkaian pernyataan yang terdiri atas premis dan

konklusi. Dengan kata lain argumen merupakan serangkaian pernyataan-

pernyataan yang mempunyai ungkapan pernyataan penarikan kesimpulan

(in'erensi).

$ontoh (2)

"remis : 9ika hari ini turun hujan, maka tanah dan rerumputan menjadi

basah.

"remis : >ari ini turun hujan

8onklusi : 9adi, tanah dan rerumputan menjadi basah.

$ontoh (/)

"remis : 9ika akhir-akhir ini sering terjadi bencana, maka alam sudah

bosan bersahabat dengan kita.

"remis : lam tidak bosan bersahabat dengan kita

8onklusi : 9adi, akhir-akhir ini tidak sering terjadi bencana.

Enferensi dari argumen di atas dikatakan Halid (syah) kerena premis

memberikan akibat logis terhadap konklusinya.

). In%ereni Ind"#i

Enferensi induksi merupakan inferensi (penarikan kesimpulan) dari premis

menuju konklusi yang hanya berdasarkan atas kemungkinan saja. Dengan

kata lain, penarikan kesimpulan yang dilakukan bisa benar, tetapi juga bisa

salah.

$ontoh:

!emua bebek yang pernah saya lihat Marnanya coklat.

!aya telah melihat begitu banyak bebek.

9adi, semua bebek Marnanya coklat

pabila kita perhatikan sepintas, argumen di atas merupakan sebuah argumen

yang baik. 8arena premis-premisnya memberikan akibat logis terhadap

konklusinya. #amun, penarikan kesimpulan yang dilakukan itu hanya

berdasarkan atas kemungkinan. 9adi, konklusi yang diberikan pada argumen di

atas bisa benar, tetapi juga bisa salah.

*. In%ereni Ded"#i

Enferensi deduksi merupakan inferensi (penarikan kesimpulan) dari premis

menuju konklusiyang tepat, tanpa berdasarkan kemungkinan.


10/15

$ontoh (2)

!emua makhluk hidup akan mati.

?umbuhan adalah makhluk hidup9adi, ?umbuhan akan mati..

gus ada di ?asikmalaya atau di 7andung

gus tidak ada di ?asikmalaya

9adi, gus ada di 7andung

rgumen di atas dinamakan argumen deduktif.

D. "embuktian Naliditas rgumen

2. turan "enarikan 8esimpulan

a.


11/15

b.


12/15


13/15

9aMab:

2) (p %) r "r.

/) p s "r.

*) % t "r.

) p / simp

5) % * simp

) p % ,5 conj

&) r 2,


14/15

) % 2,* D! (terbukti)

g. $onstructiHe Dillema ($D)rgumen $onstructiHe Dillema ($D) secara umum, ditulis dalam

simbol logika sbb:

p %

r s

p r

% s

h. DestructiHe Dillema (DD)

rgumen DestructiHe Dillema (DD) secara umum, ditulis dalam

simbol logika sbb:p %

r s

=% =s

=p =r

i. ddition (dd)

rgumen ddition (dd) secara umum, ditulis dalam simbol logika

sbb:

p

p

%

$ontoh:

!usunlah bukti langsung (formal) Haliditas argumen berikut ini:

2) (a b) c "r.

/) d a "r.

*) d "r.O c

9aMab:

2) (a b) c "r.

/) d a "r.

*) d "r.

) a /,*


15/15

x logika matematika

Documents