tugas hidrodfe

7/23/2019 tugas hidrodfe

http://slidepdf.com/reader/full/tugas-hidrodfe 1/31

BAB I

KONSEP DAN PRINSIP DASAR

1.1. Konsep dasar dari Hidrodinamika

1.1.1 Definisi dari Partikel fluida dasar

Ilmu tentang adanya teori fluida mekanis didasari oleh sebuah konsep dari

sebuah massa dasar atau partikel dari fluida. Partikel ini tidak berbentuk atau sulit

untuk digambarkan bentuknya. Partikel ini juga mungkin sebagai sebuah corpus

alienum, sebuah badan asing didalam mekanik dari sebuah rangkaian. Ini juga sebagai

sebuah pengantar untuk lebih memahami istilah dalam arti fisika dari persamaan-

persamaan differensial yang mengatur gerakan arus.

Seperti halnya dengan konsep dasar teori mekanik dari unsur padat yang

didasari oleh yang disebut sebuah “material point”, basis dari teori fluida mekanik

disandarkan pada fungsi mekanik dari massa dasar dari fluida. Seperti sebuah massa

dasar dari fluida yang biasanya bersama-sama dengan material poin di dalam

kinematik dari sebuah tubuh padat, apakah diasumsikan sangat kecil atau cukup kecil

yang semua bagian-bagian dari elemen dapat diartikan memiliki velositas yang sama

translasi dan mempunyai densitas yang sama p. Partikel fluida dasar ini

diasumsikan menjadi homogen atau homogeneous, isotropic dan berkesinambungan

atau continous dalam pengertian maeroscopic. Pola molecular dan sebuah molekuler

dan pergerakan-pergerakan !ro"nian yang disertai partikel, adalah sebuah subjek

yang dihadapkan dengan teori kinetik fluida, tidak akan dapat diambil sebagai

hitungan.

1.1.2 Pendekatan teoritis.

#ukum mekanis dari sebuah sistem benda padat $sebuah pringan yang

berputar sebagi contohnya% di dapatkan dengan cara menggabungkan hukum mekanik

pada sebuah “material point” dengan daerah atau area atau besaran dari system di

ba"ah pertimbangan. Sama dengan hukum fluida mekanik yang digunakan dalam

praktek permesinan yang didapat dengan cara menggabungkan secara tepat atau

mendekati hukum yang mengatur sifat dari sebuah partikel fluida sepanjang sebuah

garis seluruh dari sebuah daerah atau area atau sebuah volume. &arenanya mungkin

ilmu tentang hidrodinamik akan dibagi kedalam dua bagian.

'



a. !agian Pertama

!agian Pertama terdiri dari persamaan-persamaan defensial umum yang

mengatur gerak dari sebuah fluida partikel dasar.

(luida mungkin akan di assumsikan sempurna)ideal $tanpa gaya friksi% atau

nyata. *alam kasus selanjutnya mungkin aliran mungkin juga akan menjadi laminar

atau turbulen.

. !agian &edua+angkah ke dua melibatkan metode deferensial matematik yang di gunakan

untuk menyatukan persamaan-persamaan diferensial dasar. Secara prakteknya

hubungan-hubungan secara umum seperti yang telah kita ketahui dengan sangat baik

tentang persamaan !ernoulli, mungkin bila kita simpulkan begitu. Pemecahan-

pemecahan yang harus benar dalam beberapa kasus kusus dapat juga di carai dengan

menggabungkan secara langsung.

1.2 Streamlines! Pat"lines, Stream #ues dan $ilaments

Pada titik $ x, y, z) dalam sisitem koordinat artesian. Sumbu /, 0, 1

tegak lurus antara satu dengan yang lain $lihat gambar '-'%. Ingat suatu unsur kecil

dalam segitiga dari fluida dengan satu titik sebagai sebuah sudut. 2aris tepi dari

elemen ini adalah dx, dy, dz. olume dari elemen ini adalah dx, dy, dz dan berat dari

elemen ini adalah 3 dx dy dy atau pg dx, dy, dz 3 adalah berat khusus dan g adalah

akselerasi yang berkaitan dengan gravitasi.

4ekanan saat di titik adalah sebuah scalar k"antitas yang sepenuhnya di

tetapkan oleh magnitudo. 4ekanan selalu tegak lurus dari permukaan $lihat gambar

bagian 5-6.'%.gaya yang bersesuaian adalah sebuah vector k"antitas, yang mana

ditetapkan oleh magnitude dan arah. 7agnitudo dari tekanan p adalah jarak koordinat

dari dan "aktu i 8 p = f (x,z,y,t) arah nya normal ke area yang mana tekananya

digunakan.

9



2ambar '-'. notasi dalam koordinat kartesian

2radien dari p $grdien p atau ∇ p% yang terhubung dengan jarak, yang juga

termasuk sebagai vector.kuantitas. komponen : komponen dari gradien p sepanjang 6

sumbu koordinat /, 0, 1 . merupakan turunan dari p yang menuju pada x, y, z

bila diurutkan, ∂ p/ ∂ ;, ∂ p/ ∂ y, ∂ p/ ∂ z.

&ecepatan dari partikel fluida pada saat adalah . komponen : komponen

dari sepanjang tiga sumbu koordinat kartesian /, 0, 1 adalah u, v dan w

secara. <ika i, j, k adalah unit vector sepanjang sumbu /, 0, 1 , kemudian =iu + jv + k w, sehingga system acuan adalah persegi empat, magnitude dari kecepatan

dilambangkan denga huruf = [ ]9>'

999 wvu ++ . adalah sebuah skalar kuntitas dan

"alaupun sudah sepenuhnya dihasilkan oleh mganitudo, seperti tekanan yang

dilambangkan dengan hurh p. adalah vector kuantitas dan komponen :

komponennya adalah u, v dan w yang berfungsi sebagai jarak koordinat dari dan

"aktu t, mereka dapat dituliskan dalam bentuk $ x, y, z, t).

Streamlines dan Pat"lines

Streamlines adalah suatu garis yang digambarkan dalam suatu fluida dimana

selalu membuat sudut tangensial setiap titiknya pada arah dengan kecepatan tertentu.

pabila kecepatan partikel pada suatu titik tertentu tidak tergantung dari pada

posisinya dan juga "aktu, maka streamlines tersebut akan berubah dari keadaan

sesaatnya. pabila kecepatan pada setiap titik tidak tergantung "aktu maka bentuk

aliran akan sama setiap "aktu dan pergerakannya disebut steady. Setiap pergerakan

6



fluida dikatakan steady apabila superposisi dari sistem mempunyai kecepatan konstan.

&urva yang menggambarkan pergerakan suatu partikel fluida disebut path line. ?ntuk

aliran steady path line sejajar dengan streamlines.

*isplacement elemen ds dari partikel fluida dapat didefinisikan dengan

persamaan vector ds = v dt, dimana valid baik untuk besaran maupun arahnya, dan

ditulis@

dt wdz

dt vdy

dt udx

===

Pada "aktu to , persamaan d; = u dt, dy = v dt dan dA = " dt menjadi

%,,,$%,,,$%,,,$ ooo t z y xwdz

t z y xvdy

t z y xudx == , ini adalah definisi matematis dari

streamline. ?ntuk 9-* ditulisv

dy

u

dx= atau v d; : u dy = B.

2ambar'.6.'.Streamlines.

dt t z y xw

dz

t z y xv

dy

t z y xu

dx

ooo

===%,,,$%,,,$%,,,$

adalah bentuk matematis dari

pathline.

Stream #ues dan $ilaments.

pabila digambarkan kumpulan dari garis streamline maka akan didapatkan apa

yang disebut dengan stream tube. Stream filament adalah stream tube yang

mempunyai penampang melintang dengan dimensi tidak terbatas. pabila aliran

C

ector

kecepatan

Streamlines

y

;O

dy

d;

ds

%



fluida pergerakannya tergantung pada "aktu maka konfigurasi dari stream tubes dan

filament berubah setiap saat.

Sebuah fluida dengan stream filament bergerak pada aliran steady, maka luas

penampang melintang dari filament relative kecil, sehingga dianggap kecepatan

partikelnya sama setiap saat pada luasan tersebut, dimana tegak lurus terhadap arah

kecepatannya. +ihat D', D9 adalah kecepatan dari luasan melintang σ', σ9 .

2ambar '.C.'. Stream filament.

pabila fluida incompressible maka influ; = efflu;, sehingga D' σ'= D9 σ9 .

*engan kata lain bah"a konservasi massa atau persamaan kontinyuitas $eDuation of

continuity%, menyatakan bah"a massa fluida influ; dalam suatu volume fluida selalu

sama dengan efflu;.

1.& Aliran Stad' dan (nstead'

?ntuk aliran steady di tentukan oleh k"antitas "aktu, garis arus, streaklines dan

partkel alur yang serupa. Ealaupun untuk yang unsteady atau "aktu aliran, garis

sangat berbeda dan dengan jelas dimengerti dari generasi mereka sendiri perlu untuk

di terjemahkan hasilnya telah diberikan dalam penelitian. Sebagai contoh jika sebuah

benda di celupkan kedalam aliran fluida, pola dari kayu celupan akan kelihatn seperti

di bengkokan, jka lokasi pada posisi netral saat terapung sudah di ketahui, sebuah alur

partikel dapat diselidiki 8 akhirnya jka sebuah sebuah benang dlam jumlah yang bayak

yang dikatkan pada sebuah tubuh ecara tidak sengaja arah dari benang ini di hasilkan

sebuah pola sebuah garis alur. Semua metode ini biasanya di gunakan saat

mempelajari gerak fluida.

2aris arus, alur, garis bengkok dan tabung arus adalaha jenis aliran unsteady,

yang aliranya berubah menurut "aktu. liran turbulen selalu menjadi aliran unsteady8

"alaupun ininakan kelihatan didalamnya bah"a arti gerak yangberhubungan dengan

5

D' D

9σ

'σ

9



"aktu dari aliran turbulen mungkin termasuk sebagai unseady. &emudian garis arus,

alur dan garis bengkok dari dari arti gerak adalah sama $lihat bab F %. 2ambar '-G dan

'-F menggambarkan definisi dari beberapa kasus dari gerak unsteady.

gambar '-G periode gravitasi di dalam air

gambar '-F asap mengambang di udara

*alam bebrapa kasus dari gerak unsteady $sebuah badan bergerak dengan

kecepatan konstan dalam sebuah fluida tetap, sebuah gelombang steady

menggeambarkan seperti sebuah gelombang pereodik atau gelombang solitry% ini

mungkin untuk di pindahkan sebuah gerak unsteady menjadi sebuah gerak yang

steady ke sebuah sistemkoordinat yang digerakan dengan sebuah tubuh atau

gelombang kecepatan. Susunan dari pola steady yang diperoleh dengan mengurangi

kecepatan badan pada kecepatan dari fluida. Susunan ini di sebut sebagai transformasi

2alilean $2alilean transformation%. 2aris arus steady dapat dapat di tentukan dengan

pengamatan pergerakan yang berjalan dengan badan atau gelombang

1.) 7etode Pembelajaran

Pergerakan dari sebuah fluida dapat di pelajari dengan menggunakan metodelagrange ataupun dengan metode Huler.

G



1.).1 *etode +a,ran,e

7etode +agrange mungkin digunakan untuk menja"ab pertanyaan@ apa yang

terjadi diberikan efek sebuah partikel fluida yang bergerak sepanjang alur 7etode ini

terdiri dari partikel fluida sepanjang yang menjalar dan memberikan garis dari alur,

kecepatan, dan tekanan dalam terminology dari posisi aslinya dari sebuah partikel dan

"aktu berlalu sehingga kedudukan partikel pada posisi aslinya. dalam kasus ini fluida

di mampatkan, densitas dan terperatur yang juga di berikan dalam terminology dari

posisi aslinya dan berlalunya "aktu.

<ika posisi inisial dari dari sebuah partikel dengan satuan "aktu t B . adalah ;

B , y B , A B , sebuah system persamaan lagrange memberikan posisi x, y, z saat t

sebagai @

X = ! ' $ x B , y B , z B , t t B %

" =! # (x B , y B , z B , t B $ t B )

% = ! & (x B , y B , x B , t B $ t B %

*i dalam latihan netode ini kadang di gunakan dalam hidrodinamik.

&oordinat +agrange "alaupun kadang sering digunakan dalam teori relativitas pada

gelombang gravitasi pereodik. &omponen &ecepatan dan akselerasi kecepatan pada

titik $ x B , y B , z B ) kemudian di hasilkan oleh sebuah deferensasi parsial sederhana

yang berhubungan dengan "aktu, seperti bah"a,

t

xu

∂

∂=

BBB ,, z y x

t

yv

∂∂=

BBB ,, z y x

t

z w

∂

∂=BBB ,, z y x

sama dengan komponen akselerasi dimana ∂ 9 x/ ∂ t # , ∂ 9 y/ ∂ t # , ∂ 9 z/ ∂ t #.

F



2ambar '-J

1.).2 *etode Euler

7etode Huler mungkin juga di gunakan untuk menja"ab pertanyaan@ apa yang

yang terjadi pada saat sebuah titik dalam sebuah jarak diduduki oleh fluida yang

sedang bergerak dalam hal ini paling banyak menggunakan bentuk frekuensi dari

permasalah pertemuan dalam hidrodinamik. 7etode ini memberikan, sebuah titik

$ x,y, z), kecepatan $u, v, w) dan tekanan p $dan dalam kasus kemampatan fluida,

densitas dan temperatur% sebagai fungsi dari "aktu t . Sehingga

= ($ x, y, z, t %

&emudian

u = f ' (x, y, z, t)

v = f # (x, y, z, t)

w = f & (x, y, z, t)

dan

p = ! ' (x, y, z, t)

Sistem persamaan Huler di ketahui dengan deferensasi total dari u, v, dan w

tertuju pada t dan secara berurutan dari komponen tekanan. *alam contoh : contoh

berikut dari system koordinat Huler di gunakan.

7ari langsung kita ingat sebuah system koordinat euler dimana gerak

gelombang dua dimensi yang di "akili komponen percepatan@

= f ' (x, y, z, t) = %cos$

9

mxkt ke )

dt

dx mz −=

J



* = f & (x, z, t) = %sin$9

mxkt ke )

dt

dz mz −−=

Persamaan garis di dapat dari persamaan defernsial@

%,,$%,,$ t z xw

dz

t z xu

dx=

7enjadi

%sin$%9)$%cos$%9)$ BB mxkt e ) k

dz

mxkt e ) k

dxmz mz −−

=−

jika t diambil sebagai B, persamaan ini menjadi

dz = tan (mx)dx= tan mx dx

Penggabungan dari persamaan ini adalah

emA

cos ms = konstan*ari bermacam : macam nilai konstan garis alur bentuk pola secara umum di

gambarkan dalam gambar '-F. lur $atau partikel orbit% di gambarkan dalam

persamaan deferensial@

dt t z xw

dz

z y xu

dx==

%,,$%,,$

dimana t adalah sebuah variable. 7ungkin ini dapat diasumsikan bah"a x dan A

bebeda sedikit dari beberapa nilai xB dan z . persamaan diferensial pada perkiraan

pertama menjadi@

dx = k9

) emzocos (kt $ mx )dt

sehingga @

x $ x ' =9

) emzo sin (kt mx )

( z z ' ) diketahui dengan menggunakan prosedur yang sama $kt $ mxm )

z $ z ' = 9

)

cos(kt mx )

untuk menghapus t , persamaan $ x $ x' ) dan $ z $ z ' ) dan di tambahkan hasilnya ,

sehingga @

$ x $ x' )# + $ z $ z ' )

# = [ ]9B

9

mz e

)

ini adalah persamaan dari radius linmgkaran $#)9% emzo , ini kelihatan bah"a alur

adalah berputar dan radius cenderung menuju ke nilai nol 1B - - BB. ini juga akan

kelihatan bah"a teori gelombang linear adalah seperti pada perkiraan yang pertama,

K



satu menjadi ;'≅ ;B, A'

≅ AB $bagian 'G : '%, dan ;B AB dapat artikan sebagai lokasi

dari partikel fluida saat berhenti.

1.- Persamaan Dasar.'.5.'. Prinsip dari &ontinuitas.

Prinsip kontinuitas menggambarkan drai konsevasi Aat, fluida dalam

memberikan ruang tidak dapat di ciptakan dan tidak dapat dihancurkan. *alam kasusu

dalam fluida sejemis yang tidak dapat di tempa, prinsip kkontinuitas di gambarkan

dengan konservasi dari volume. &ecualidalam kasus yang spesial dimana parsial

nampak kosong.

Prinsip kontinuitas memberikan sebuah hubungan antaa , densitas p dan

koordinat ruang dan "aktu. <ika p adalah konstan $dalam kasus ini adalah sebuah

fluida imkopreible atau tidak dapat di tempa% , Ini menghubungkan antara komponene

dai dan koordinat ruang, dimana x, y, z . persamaan kontunitas ini kemudian

menjadi.

B=∂∂

+∂∂

+∂∂

z

w

y

v

x

u

telah di demonstrasikan dalam bagian 6-9.

Ini akan kelihatan bah"a mungkin ditemukan dalam beberapa kasus dari aliran di

ba"ah tekanan, bebas dari nilai absolut dari p, dari prinsip kontinuitas sendiri, tetapi p

akan selalu menjadi fungsi dari kecuali saat pada permukaan.

'.5.9. Prinsip 7omentum

Prinsip momentum mengungkapkan hubungan antara 2aya yang bekerja (

pada sebuah unit volume dari densitas p dan kemudian gaya Inersia d(p%dt drai unit

volume ini bagian dari gerak. 2aya Inersia berhubungan dengan penerimaan alami

dari tubuh untik menerima kembali perubahan dalam gerak. #okum perama Le"ton

mengatakan baah"a “Setiap tubuh menggerakan negara ini dari tidur atau gerak

berseragam dengan sebuah garis lurus kecuali dipaksa dengan menggunakan gaya

Hkasternal untuk menggerakan negara tersebut.” Sehingga kta tahu gaya Le"ton

berhubungan dngan isi dari hokum kedua @ “rata : rata perubahan momentum adalah

proporsinal untuk gaya : gaya yang bekrja dan berada di dalam arah dimana gaya

tersebut bekerja” ( = d(m)/dt.

'B



(luida mekanik dalam persamaan ini mengambil bentukl particular yang mana

di ambil dari hitungan faktanya bah"a partikel fluida mungkinnn telah tersusun.

Persamaan ini akan di pelajari secara menditail. ?ntuk sebuah fluida

incompersible$atau fluida yang tidak dapat di tempa penggabungan persamaan

momentum dengan memberikan jarak kerja persamaan dan energy, mengungkapkan

sebuah bentuk dari perlindungan dari prinsip enrgy.

<ika di ungkapakan dengan mneggunakan u, v, " kemudian gaya Le"ton

yang kedua di ungkapakan sepanjang tiga koordianat sumbu. 7aka ini akan

mengahsilkan tiga persamaan@

! x = pdt

du ! y= p

dt

du ! z = p

dt

dw

*i mana p di asumsikan konstan dan ! x ! y ! z yang komponen : komponenya terletak

sepanjang tiga koordinat sumbu,

'.5.6. Persamaan State

<ika kita mengingat sebuah fluida incompressible, dua pernyataan yang lain

diperlukan dalam dalam artian untuk mengungkapakan dua prinsip di atas. Itu adalah

persamaan stae dan persamaan tersebut mengungkapkap tentang Hnergi.

Persamaan state menungkapkan hubungan yang selalu di antara tekanan ,

densitas p dan temperatur sempurna - . untuk sebuah gas ideal persamaan ini

mempunyai bentuk ideal

'= pg.-

patau '=

.-

p

ϖ

dimana M adalah gas konstan universal $M = 56.6 ft)B M pada udara% dan ϖ adalah

berat kusus.

*alam kasus yang lebih umum dari sebuah gas sempurna, ini mungkin akan

berbentuk p/pg- = ' + f ' (-) p + f #(-) p# + dimana f ' dan f # adalah

sebagai fungsi absolut hanya pada temperatur 4. dalam sebuah "adah fluida

incompresibel, persamaan dari state adalah sederhana p = konstan. 4erperatur

kemudian dapat diperlakukan sebagai variable bebas mempunyai sebuah pengaruh

yang signifikan pada koofisien viskositas $percepatan%.

''



'.5.C Prinsip &onservasi Hnergy

persamaan berikut ini mengungkapakan konservasi dari jumlah energi $interna

enrgy dan energi mekanik% ini adalah hokum pertama dari hukum thermodinamik.

Persamaan berikut diambil dari hukum ini pada particular dari sebuah aliran

adibiatik dimana tidak ada panas yang ditambahkan atau dihilanhkan dari fluida masa.

Ini berati@ p/p# = konstan, dimana k adalah adiabatic kontan diartikan sebagai rasio

dari panas kusus saat tekanan konstan p pada panas kusus pada saat volume konstan

v.

*alam "adah aliran isothermal saat temperatur konstan yang mungkin di

butuhkan dalam menghilangkan atau menambah panas dari atau ke fluida masa p/p =

konstan.

leh karena sebagai masalah hidrodinamik sendiri akan di bahas dalam buku

ini, tiadak perlu lagi untuk membahas lebih banyak lagi tentang perssamaan state

danpersamaan total energy. *ensitas $kepadatan% p akan diketahui dan konstan dan

temperatur 4 akan menjadi sebuah variable tanpa terpengaruh dari per"ujudan di

ba"ah konservasi. Ealaupun ini membuktikan bah"a pengusiran energy oleh velocity

$percepatan % mungkin menimbulkan kenaikan temperatur yang merubah bentuk

karekteristik dari fluida. Secara umum efek dari hidrodinamik dan dalam particular,

koofisien dari kecepatan µ yang kita kenal dengan konstan.

BAB 2

'9



ERAK E+E*EN $+(IDA! A+IRAN RO#ASI DAN IRO#ASIONA+

2.1. Pen,enalan Peredaan /enis 0 /enis erak

*alam terminologi matematika, gerak dari elemen fluida yang berjalan

sepanjang alur mereka sendiri sesuai dengan posisi dari tiap jenis gerak utama yang

berbeda. rti dalam istilah fisika dari gerak ini yang diberikan pertama kali dengan

pertimbangan masalah yang sederhana dari elemen fluida dua demensi, dimana semua

kecepatannya adalah paralel pada sumbu / dan hanya tergantung dari y $ seperti

sebuah alur laminer antara dua pesa"at paralel%.

Sesuai elemen bujur sangkar !* yang sangat kecil sekali dari area dx dy

pada saat "aktu t dan elemen yang sama ketika "aktu t N dt @ 0' 1'2 ' 3' $ gbr 9-' %.

4am5ar #' analisa dasar gerakan partikel fluida yang 5er5eda

&ecepatan dari 0 dan 3 adalah u, dan kecepatan dari 1 dan 2 adalah

µ N du = u N $∂ u/ ∂ y) dy karena 01 = dy dan u dalam kasus ini adalah hanya

berfungsi sebagai y saja.*alam hal ini sangat mungkin jika pergi !* ke 0' 1'2 ' 3' dengan

mengikuti langkah : langkah berikut@

'. 2erak translasi yang diberi tanda '99' 32 1 0 8 kecepatan translasinya adalah u.

#. 2erak rotasional yang berbelok diagonal berturut - turut 9'2 0 dan 9' 1 3 ke

6'2 0 dan 6'

1 3 ,

&. *eformasi yang di pindah dari 2 & ke 2 ' dan 1& 1'.

'6



<ika dalam batas dt cenderung bernilai nol, 9'2 2 cenderung bernilai nol. <ika sudut

6'9 2 2 2 akan bernilai C5 ketika dx = dy. &arenanya @

9

%)$

9

9'

69

dydt yu2 2

2 2

∂∂==

&ecepatan dari rotasi anguler adalah @

dydt

2 2

dt

d

2 0

2 2

dt

d

radius

segment

dt

d

dt

dr

9

69

99

69 =≈

=

memperkenalkan nilai dari 692 2 telah diketahui sebelumnya , telah diketahui bah"a

rata-rata dari rotasi anguler adalah @

y

u

dt

dr

∂∂

=9

'

dengan cara yang sama, rata : rata dari deformasi akan di temukan dan akan sama

dengan @

y

u

2 0

2 2

t ∂∂

=

∂∂

9

'

6'

'6

dalam kasus : kasus yang umum, ada tiga konstituen utama dari partikel gerak dan

deformasi mereka adalah @

'. &omponen kecepatan $u, v, w)@ translasi

9. <enis dari komponen kecepatan dalam arah mereka sendiri di sebut@ dilatasi.

6. <enis dari komponen kecepatan yang meninjau arah normal terhadap arah mereka

sendiri@ rotasi dan deformasi angular.

4iga konstituen ini berturut : turut akan kita bahas dalam bagian di ba"ah ini.

2.2. erak Perpinda"an #ranslasi

7enurut partikel pada titik $ x,z,y% saat "aktu t titiknya adalah sebuah sudut

dari sebuah elemen segi empat kecil, sisinya paralel pada tiga sumbu 6X, 6", 6%

perhatikan $gambar 9-9%. &etika sebuah partikel berpindah : pindah kemudian sisi

dari elemen segi empat berjejer paralel pada sebuah sumbu, dan membentuk sebuah

bentangan konstan, ini hanya gerak perpindahan. #al ini berarti tidak ada jarak yang

bergantung dari komponen kecepatan. Perpindahan dapat terjadi sepanjang garis lurusatau garis bengkok $ kurva %.

'C



4am5ar ## gerak perpinda7an ( translatori )

<ika x, y, dan z adalah koordinat dari 0 saat "aktu t. &emudian ; N ∆ ;,

y N ∆ y dan A N ∆ A adalah koordinat pada saat "aktu t N ∆ t. Perpindahan gerak

yang digambarkan oleh persamaan sebagai berikut@

∆ ; = u ∆ t dx = u dt

∆ y = v ∆ t atau dy = v dt

∆ A = "∆ t dA = " dt

liran dari partikel memanjang secara paralel dan lurus sepanjang garis arus

dengan kecepatan konstan $ jadi disebut arus seragam)uniform % adalah hanya masalah

perpindahan gerak $fig 9-6%.

4am5ar #& conto7 gerak perpinda7an 8 aliran uniform

Perubahan ini sedikit membingungkan di lihat dari gambar dan persamaan dan

yang telah di sampaikan, akhirnya dengan hasil yang sama. &arenanya dalam

pembahasan selanjutnya, perpindahan gerak akan di gambarkan sebagai gerak dalam

sebuah sudut.

2.&. Deformasi

9.6.'. *ilatasional atau +inear *eformation

'5



&ecepatan dari tepi garis tegak lurus terhadap vektor $atau terhadap garis

arus% yang tidak sama $gambar 9-C%. Partikel menjadi lebih panjang dan lebih kecil.

*alam hal ini dilatasional atau deformasi linear telah terlapisi pada sebuah

perpindahan yang telah disediakan oleh sudut di antara sisinya dan tidak boleh di

ubah.

2ambar 9-C deformasi dilatasional partikel fluida dalam aliran konvergen

Sekarang menurut partikel dua demensi 0123 yang kecepatannya dalam arah

x dari garis tepi 01 adalah u, dan kecepatan dari 23 adala u N du = u + ( ∂ u/ ∂ x)dx,

sehingga 03 = dx ( gambar 9-5%. *engan cara yang sama, kecepatan dari 03 dalam

arah y adalah v, dan kecepatan dari 12 adalah @v + ( ∂ v/ ∂ y) dy. Perlu dicatat bah"a

derivatif dari u dengan y atau v dengan x adalah tidak sesuai dan derivatif dari

kecepatan $∂ u)∂ x) dx dan $∂ v/ ∂ y%dy. Setelah sebuah "aktu dt, ! menjadi

''2 1 , bentang !! ' menjadi sama dengan perubahannya dan "aktu, dimana !! ' =

$( ∂ v/ ∂ y)dy dt.$velositas $( ∂ v/ ∂ y)dy adalah negatif dalam "adah fig. 9-5%. *

menjadi '' 32 sama dengan ** ' adalah sama dengan ** ' = $( ∂ u/ ∂ x)dx dt.

elositas dari deformasi dilasional adalah per unit dari jangkauan @

y

v

dy

dy yv

x

u

dx

dx xu

∂∂=∂∂

∂∂=∂∂ %)$%)$

jumlah ∂ u/ ∂ +∂ v)∂ y adalah total rata rata dari deformasi dilasional, rata :

rata perubahan per unit dari sebuah area. rea !H! ' dan *' ' H* harus sama

dalam fluida inkrompresibel. Perubahan mereka memberikan tekanan atau perluasan

dalam hal ini adalah kompresibel fluida.

'G



2ambar 9-5 komponen dari deformasi dilatasional

2ambar 9-G deformasi geser dalam lengkungan

Sekarang kita lihat, sebagai contoh dalam hal ini telah digambarkan dalam fig

9-F, dimana velositas dari ! adalah u dan velositas dai * adalah u +5 du = u + (

∂ u/ ∂ y)dy, kemudian jarak antara d $** ' % setelah "aktu dt $∂ u/ ∂ y)dy dt .

velositas angular adalah

y

u

dy

dy yu

∂∂

=∂∂ %)$

catatan bah"a kontras untuk kasus deformasi dilational, derifasi dari u dengan y dan x

adalah di tahan disini. *erivasi dari velositas $ ∂ u/ ∂ y%dy tidak dapat tergantung

pada "aktu tertentu.

'F



2ambar 9-F anguler atau deformasi geser

2.). Rotasi

9.C.' *efinisi dalam 7atematika

?ntuk gerak dua demensi, telah di tunjukan oleh velositas angular pada

deformasi adalah ∂ u/ ∂ y dan ∂ v/ ∂ x .Motasi dari sebuah partikel sudah cukup

untuk membedakan komponen ini. 4entu saja, jika ∂ u/y = ∂ v/ ∂ , ada deformasi

yang tanpa rotasi dan kedua sektornya tidak berotasi $gambar 9-F%. 4etapi jika ∂ v/ ∂

y ≠ ∂ v/ ∂ , kedua sektor berkesempatan merubah arah, dan kedua-duanya rotasi dan

angular deformasi, atau hanya rotasi.$gambar 9-J%

.

gam5ar #9 rotasi dan deformasi

Perbedaan $∂ u/ ∂ y) $ ( ∂ v/ ∂ x) ditemukan dari rata : rata dari rotasi, oleh

karena itu sebuah gerak dua dimensi irotasional di tulis dalam rumus matematika

dengan $∂ u/ ∂ y) $ ( ∂ v/ ∂ x) = .

*eformasi angular dapat di sesuaikan dengan rotasi ketika $ ∂ u/ ∂ y) $ ( ∂ v/

∂ x) = dan ketika $∂ u/ ∂ y) $ ( ∂ v/ ∂ x) ≠ dan secara teori, rotasi dapat ada

tanpa deformasi ketika $∂ u/ ∂ y) $ ( ∂ v/ ∂ x) ≠ dan $∂ u/ ∂ y) $ ( ∂ v/ ∂ x) = .

'J



Sebuah gaya vortek, seperti yang telah perlihatkan dalam gambar 9-K, seperti kasus :

kasus yang lain di mana partikel berotasi tanpa deformasi. Sehingga kini dapat lebih

mengetahui seperti kasus khusus dalam hidrostatik dimana gaya sentrifugal di

tambahkan dengan gaya gravitasi, melainkan sebuah arus rotasional ideal.

2ambar 9-K 2aya vorte; $ = &M %, rotasi tanpa deformasi

9.C.9 *efinisi (ungsi &ecepatan Potensial

&ecepatan potensial di gambarkan sebagai nilai tunggal fungsi dari φ seperti

bah"a µ = - $ ∂ φ )∂ y) dan i = $∂ φ )∂ y) $atau alternatifnya u= $∂ φ )∂ y)).

:ika fungsi u dan v adalah berkelanjutan $continous%, fungsi ini akan sangatmemuaskan dengan kondisi irotasional., dimana dua dimensi adalah $ ∂ u)∂ y) - $∂

u)∂ x) = B. &etika ungkapan untuk u dan v adalah di gantikan ke dalam kondisi

untuk irotasional hasilnya adalah @

x y∂∂

∂ φ 9

- y x∂∂

∂ φ 9

= B

Lilai dari kecepatan adalah dalam fungsi terminologi potensial kecepatan

dari φ adalah @

= gradien φ = y

: x

i∂∂+

∂∂ φ φ

*imana I dan j adalah unit dari vektor sepanjang sumbu ; dan y. magnitudo dari

velositas menjadi @

9)'99

∂∂

+

∂∂

= y x

, φ φ

'K



9.C.6 4eori Memak Pada rus Irotasional

Ini berguna unuk mempelajari karakteristik dari sebuah arus irotasional. ?ntuk

tujuan ini, di berikan contoh sebelumnya Odari sebuah arus tanpa friksi dalam sebuah

lengkungan, atau dari gerak vortek bebas yang di gambarkan dengan persamaan M =

&, yang telah di analisa sebelumnya. $lihat gambar 9-'B%

gambar 9-'B masalah pergantian tempat yang sanat kecil dalam aliran irotasional

Sesuai dengan segi empat elemen fluida !* antara dua arus digambarkan

dengan jarak mereka dari M ' dan M 9 sehingga M ' = M 9 N dM. dM menjadi sangat

kecil sekali.

Sesudah sebuah interval "aktu dt, !* menjadi ' ! ' ' * ' dan sisi

dari ! berotasi menjadi ' !' oleh cakupan yang sangat kecil r sehingga

r 16

11r

'

'

tan ≈≈ 16 .

;dt '

9

≈

dan

06 .

;dt

06

00r r

'

'

'

'

tan ≈≈≈

persamaan terakhir ini menjadi @

'9

'' . . 16 06 −=− 16

06

.

.'

'

'

=

9B



atau 6<1 = dan 6<0 = #. &etika nilainya disubstitusikan kedalam persamaan

untuk r hasilnya adalah @ r = ( ; dt/ ' # ). &arena dM kecil, M 9 M ' dan persamaan

dapat ditulis sebagai r = ( ; dt/ '# ). &arena sin Q' kecil, sin > ' ≈ > '. *an > ' =

( 00</' ) = ( ; dt/'

#

), &arenanya r = > ' .Sisi berputar menjadi 0<2 melalui sudut > '. &arena dua sisi 01 dan 02

berputar dengan jumlah yang sama > ' , tapi dalam arah yang berbeda, garis bagi 0X

meninggalkan paralel menuju garis bagi 0<X< . rientasi dari garis median tidak

meninggalkan perubahan, yang kondisinya untuk menjadi gerakan irotasional.

&edua sudut rotasi dari bidang batas dan sudut deformasi anguler mempunyai

nilai batas untuk batas perpindahan dari elemen. !agaimanapun juga, dalam gerakan

irotasional, sudut rotasi yang kecil sekali merupakan permintaan yang lebih tinggi dari

pada sudut deformasi.

2.-. (n,kapan matematika untuk mendefinisikan ,erakan partikel fluida.

2.-.1. 2erakan *ua *imensi.

7empertimbangkan elemen flida 0123 pada saat t $ gbr. 9-'G%. &omponen

kecepatan u dan v adalah fungsi dari x dan y yaitu du = ( ?u/?x % N $ ?u/?y %dy dan

dv = $ ?u/?x% dx N $ ?v/?y %dy. Pada "aktu t ruang koordinat 0 adalah x, y dan 3

adalah x + dx,y + dy.

2ambar 9-'G sistem koordinat dua dimensi

&oordinat 0 dan 3 pada saat t + dt diberikan pada persamaan 9-'

9'



++

dt v y

dt u x 0

>

( )

( )

+++

+++

dt dvvdy y

dt duudx x 3>

∂∂

+∂∂

+++

∂∂

+∂∂

+++

dt dy y

vdx

x

vvdt dy y

dt dy y

udx

x

uudt dx x

3>

7enambahkan dan mengurangkan R $ v); % dy dt ke koordinat ; dan

R $ u); % dx dt ke koordinat y menjadi bentuk koordinat 3< yang ditunjukkan pada

persamaan 9-9. rti fisika dari term menjadi nyata dengan pertimbangan paragrap

sebelumnya.

∂∂−

∂∂−

∂∂+

∂∂+

∂∂+++

∂∂

−∂∂

−

∂∂

+∂∂

+∂∂

+++

dt dx y

u

x

vdt dx

x

v

y

udt dy

y

vdt vdy

dt dy y

u

x

vdt dy

x

v

y

udt dx

x

udt udx x

3

9

'

9

' y

9

'

9

'

>

2.-.2. 2erakan 4iga *imensi @ *efinisi dari orticity

Sama dengan masalah dua dimensional, koordinat dari titik 3< $ x + dx, y + dy,

z + dz % dari elemen fluida tiga dimensi setelah "aktu dt menjadi persamaan 9-6.

dt dz z

udy

y

udx

x

udt udx x

∂∂

+∂∂

+∂∂

+++

99

6ordin

at

inisial

translas

i

3ilatasi

atau

deformasi

linier

@aAu

deformasi

anguler

@aAu rotasi

otasi 0nguler

atau

deformasi

geser



dt dz z

vdy

y

vdx

x

vdt vdy y

∂∂

+∂∂

+∂∂

+++

dt dz z

wdy

y

wdx

x

wdt wdz z

∂∂

+∂∂

+∂∂

+++

menambahkan dan mengurangkan

dt dz x

wdt dy

x

v

9

' dan

9

'

∂∂

∂∂

ke baris pertama 8

dt dx

y

udt dz

y

w

9

' dan

9

'

∂

∂

∂

∂

ke baris kedua 8 dan

dt dy z

vdt dx

z

u

9

' dan

9

'

∂∂

∂∂

ke baris ketiga menghasilkan persamaan 9-C

dt dy y

u

x

vdz

x

w

z

udz

x

w

z

udy

y

u

x

vdt dx

x

udt udx x

∂∂−

∂∂−

∂∂−

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂+++

9

'

9

'

9

'

9

'

dt dz z

v

y

wdx

y

u

x

vdx

y

u

x

vdz

z

v

y

wdt dy

y

vdt vdy y

∂∂

−∂∂

−

∂∂

−∂∂

+

∂∂

+∂∂

+

∂∂

+∂∂

+∂∂

+++9

'

9

'

9

'

9

'

dt dx

x

w

z

udy

z

v

y

wdy

z

v

y

wdx

x

w

z

udt dz

z

wdt wdz z

∂

∂−

∂

∂−

∂

∂−

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+++

9

'

9

'

9

'

9

'

koefisien deformasi geser akan dijelaskan sebaagai

∂∂+

∂∂=

z

v

y

w f

9

'

∂∂

+∂∂

= x

w

z

u g

9

'

∂∂

+∂∂

= z

v

y

w f

9

'

96



koefisien rotasi akan dijelaskan sebagai

∂∂

−∂∂

= z

v

y

w

9

'ξ

∂∂

−∂∂

= x

w

z

u

9

'η

∂∂

−∂∂

= z

v

y

w

9

'ζ

koordinat dari titik 3< sekarang ditulis dalam persamaan 9-5, dalam hal ini #B, #C, #D

adalah komponen vektor yang mencerminkan vortisiti fluida pada suatu titik.

x + dx + u dt + a dx dt + ( 7 dy + g dz ) dt + ( C dz D dy ) dt

y + dy + v dt + 5 dy dt + ( f dz + 7 dx ) dt + ( D dx $ B dz ) dt

z + dz + w dt + c dz dt + ( g dx + f dy ) dt + (B dy C dx ) dt

Sebuah gerakan irotasional tiga dimensi didefinisikan melalui B = B, C = , dan D = B8

yaitu

y

u

x

v

x

w

z

u

z

v

y

w

∂∂

=∂∂

∂∂

=∂∂

∂∂

=∂∂

, ,

2.-.&. (ungsi &ecepatan Potensial *alam &asus 2erakan 4iga *imensi.

(ungsi kecepatan potensial didefinisikan dalam tiga dimensi melalui

z w

yv

xu

∂∂

=∂∂

=∂∂

= φ φ φ

Ini mungkin dapat ditulis dalam bentuk vetor sebagai = grad φ .

&etika nilai dari kecepatan potensial disubstitusikan dalam persamaan untuk gerak

irotasional, hasilnya adalah @

x y y x x z z x z y y z ∂∂∂

=∂∂

∂∂∂

∂=

∂∂∂

∂∂∂

=∂∂

∂ φ φ φ φ φ φ 999999

9C

;oordinat

awal

translasi 3eformas

i

dilatasion

al

3eformas

i anguler

rotasi



hal ini memperkuat definisi dari φ karena φ selalu sesuai dengan kondisi untuk aliran

irotasional. *engan kata lain, keberadaan dari φ menandakan bah"a aliran tersebut

adalah irotasional.

Persamaan diatas akan tetap dijaga, meskipun kecepatan potensial menjadi negatif,

jadi kecepatan potensial dapat juga didefinisikan oleh = - grad φ .

95



BAB &

A3A 0 A3A 3AN BEKER/A

&.1. a'a Internal dan a'a E4ternal

2aya - gaya yang bekerja pada massa dasar dari fluida terdiri dari gaya Internal dan

2aya H;ternal.

6.'.'. 2aya - 2aya Internal

2aya : gaya internal sebagai hasil dari interaksi pada titik interior menurut

masa dari fluida. 7enurut prinsip persamaan aksi reaksi, keseimbangan gaya internal

pada saat berpasangan dan nilai adalah nol. <umlah tenaga putar juga bernilai nol.

7eskipun demikian kerja dari gaya : gaya internal ini tidak nol. da beberapa alasan

yang sangat penting untuk disebutkan untuk membuktikan keberadaan gaya ini.

Sebagai contoh, terlepasnya tutup pada kepala sebuah pipa adalah sebagai hasil kerja

dari gaya viskositas internal.

6.'.9. 2aya Hksternal

2aya pada garis pemisah pada partikel fluida disebut gaya : gaya permukaan,

dan gaya yang sulalu bekerja pada arah yang sama dengan massanya disebut gaya :

gaya tubuh atau gaya : gaya volume, adalah tidak seimbang. Ini adalah gaya : gaya

eksternal.

6.'.9.'. 2aya - 2aya Permukaan

*ihasilkan dari gaya : gaya yang bekerja pada sisi luar menurut volume.

7ereka disebabkan oleh gaya tarik- menarik antar molekul. 7ereka berkurang dengan

sangat cepat menjauhi garis pemisah pada partikel fluida dan aksi mereka terbatas

oleh lapisan yang sangat tipis. 2aya : gaya permukaan dapat dibagi menjadi $'% gaya

normal - yang berhubungan dengan tekanan8 dan $9%gaya geser : yang berhubungan

dengan viskositas. da dua jenis gaya yang selalu ada bersamaan dengan petikel tapi

mereka selalu diimbangi dengan berpasang- pasangan dan nilai mereka adalah nol,

sebagai catatan pembuka.

9G



6.'.9.9. 2aya- 2aya 4ubuh

Sebagai hasil dari sebuah bagian dari gaya eksternal $seperti gaya gravitasi

atau sebuah gaya magnetic% yang mana bekerja pada tiap : tiap elemen menurut

besarnya dalam sebuah arah yang telah ditentukan. ?ntuk alasan ini mereka disebut

gaya tubuh atau gaya volume, kecuali untuk sebagian besar kasus sebagai contoh

mempelajari pergerakan dari sebuah logam cair pada pompa megnetik, hanya gaya

graitasi yang dapat mempengaruhi pada pergerakan logam cair.

6.'.9.9. 2aya e;ternal yang bekerja yang lain adalah

'. 2aya &apilaritas

2aya ini berkaitan dengan perbedaan atraksi antara dua media yaitu terutama

yang mengalir perlahan pada sebuah poros medium pada sebuah permukaan bebas

dan dalam gelombang gravitasi yang kecil seperti di gerakan oleh angin yang sangat

lembut. Semua itu di sebut gelombang kapilaritas.

9. 2aya 2eostropic

2aya ini di sebabkan oleh akselerasi coriolis yang sangat berhubungan dengan

pergerakan rotasi bumi kadang juga berhubungan body force $gaya tubuh% yang

hampir sama dengan gaya gravitasi, "alaupun begitu ini adalah gaya Inersia yang

sebenarnya.

6.'.9.6. 2aya 2ravitasi

Sama dengan gaya inertia$berat%, besarnya gaya sebanding dengan masa pada

fluida dan untuk akslerasinya disebabkan oleh bagian e;ternal. *alam sebuah

gravitasi besarnya gaya per unit dari besaran adalah pada persamaan sederhana pada

berat fluida @ ϖ = ρ g, dimana g adalah akselerasi yang berkaitang dengan 2ravitasi.

2aya ini berdiri sendiri tidak terpengaruh dengan pergerakan.

&omponen : komponen /, 0, 1 dari gaya 2ravitasi menggambarkan sebuah

bentuk differensial dalam tiga sisitem sumbu /, 0, 1. Sumbu vertical 1

sebagai sumbu positif yang di tarik keatas sepanjang garis normal sepanjang

permukaan bumi. &omponen : komponenya adalah / = 8 0 = dan 1 = - ρ g = -

∂ ) ∂ x( ρ gz.) di dalam bentuk vectormereka adalah : grad $ ρ gz), sehingga / = - ∂ )

∂ x( ρ gz) = O dan 0 = - ∂ ) ∂y( ρ gz) = 0.

9F



6.'.9.C. 2aya 4ekanan $Presure (orce%

2aya tekanan di hasilkan oleh komponen : komponen normal dari gaya

molecular dekat dengan garis batas dari besaran.

6.'.9.C.'. 7agnitudo 4ekanan, 2aya tekanan dan arah. $7agnitudo Presure, Presure

(orce and direction%

7agnitudo tekanan adalah sebuah scalar k"antitas yang berdiri sendiri di

daerah orientasi dimana 2aya di terapkan mungkin ini telah di praktekan dengan

menggunakan segitiga dua demensi dalam sebuah fluida pada saat di baringkan.

Persamaannya yaitu @

p x d y $ p ds sin α = B

p y dx $ p ds cos α = ρ g 9

dxdy

7emperkenalkan dy = ds sin E , ds cos E, dan melupakan istilah yang kedua,

Fg ( dx dy /# ), pertama mendapatkan p = p x , p = p y. Ge7ingga p = p x = p y . &arena E

adalah sudut sembarang , tekanan dilihat sama dalam segala arah.

2ambar 5-' besarnya tekanan tidak tergantung arah

6.'.9.C.9. laju gaya tekanan per unit volume

7enurut sebuah dasar partikel fluida $dx dy dz % $ gbr 5-9 %. 2aya tekan yang

bersebelahan dengan partikel fluida bertindak mela"an sisi !* adalah p $daerah

!*% = p dy dz. 2aya tekanan yang bertindak mela"an sisi lain dengan arah yang

berla"anan dan mungkin ditulis @

-

∂∂

+ dx x

p p $ daerah H(2#% = -

∂∂

+ dx x

p p dy dA

9J



sehingga, perbedaan gaya tekanan yang bekerja dalam arah yang berla"anan

adalah @

pdy dz - ∂∂+ dx x

p p dy dz = dxdydz

x

p

∂∂

dengan cara yang sama, perbedaan gaya tekanan yang bekerja pada arah 6"

dan 6% adalah : $?p/?y) dx dy dz dan : $?p/?z) dx dy dz.

2ambar5-9 perbedaan gaya tekan dalam tiap unit volume

Sehingga laju perubahan gaya tekanan perunit volume diberikan

melalui tiga komponen : $?p/?x), : $?p/?y), dan : $?p/?z), yang dapat ditulis secara

vector @ - grad $ p%.

6.'.9.5. 2erak (luida dan 2radien 4ekanan

2erakan partikel fluida tidak bergantung pada nilai mutlak dari p, tapi hanya

pada gradien dari p. menurut gerakan dalam sebuah saluran. Pergerakannya

bergantung pada perbedaan tingkat tekanan pada bagian hulu $upstream% dan hilir

$do"nstream%.

6.'.9.G. 4ekanan dan 2rasitasi

4otal gaya yang berkaitan dengan gaya tekanan dan gaya gravitasitiap unit

volume adalah @

grad p N grad Fgz = grad $ p N Fgz %

4otal dari dua jumlah linear ini $ p N Fgz % adalah konstan dalam

hidrodinamika sejak p $ pa = Fgz dimana pa adalah tekanan atmosfer konstan

$atmospheric%. #al ini juga dibuktikan dalam suatu potongan melintang dari aliran

9K



seragam sama seperti pada saluran atau sebuah pipa, atau secara umum jika

kelengkungan alur disepelekan atau gerakannya sangat lambat $lihat bagian'B-9.'.'%.

Sehingga jumlah dari $ p N Fgz % sering digantikan dengan istilah tunggal pH@ pH = p +

Fgz. *alam hidrostatika pH = konstan. *imana p/ Fg dikenal sebagai tinggi tekanan,

pT) Ug disebut tinggi peiAometrik.

6.'.9.F. 2aya : 2aya (iskositas $ iscous (orces %

Penjelasan 7atematika untuk 2aya : 2aya (iskositas

4egangan geser dijelaskan karena kekentalan $viscosity% fluida dan disebabkan

oleh perpindahan momentum suatu molekul. 2aya gesek V diasumsikan sesuai dengan

koefisien viskositas W dan lajudeformasi sudut.

2ambar5-6 @ elemen fluida dua dimensi

7enurut sebuah elemen fluida dua dimensi $gbr 5-6%. 2aya gesek pada sisi

! sepanjang dx adalah @ I dx = W $?u/?y)dx. &arena kecepatan saat adalah

$u + $?u/?y ) dy), gaya gesek pada sisi 23 adalah @

∂∂

+ dy y

τ τ dx = J

∂∂

+∂∂

dy y

uu

y dx

= J dydx y

udx

y

u9

9

∂∂

+∂∂

µ

2aya ini bekerja dalam arah yang berla"anan. <ika gaya yang berkaitan

dengan partikel 423 bekerja dalam arah 6X pada sisi 23 pada bidang 0123 akan

bekerja dalam arah yang sama pada sisi 01 bidang 01!K dan melalui reaksi 01!K

akan menyebabkan gaya pada arah 6X pada bidang 0123. <umlah gaya geser yang

terjadi

6B



dxdy y

udxdy

y 9

9

∂∂

=∂∂

µ τ

*ibagi dengan dx dy, gaya gesek tiap unit area adalah @

9

9

y

u

y ∂∂

=∂∂

µ τ

lebih umum lagi, untuk fluida tiga dimensi yang tidak termampatkan,

dimungkinkan untuk diujicobakan bah"a komponen gaya gesek perunit volume

adalah @

u z

u

y

u

x

u 9

9

9

9

9

9

9

µ µ =

∂∂

+∂∂

+∂∂

v z

v

y

v

x

v 9

9

9

9

9

9

9

µ µ =

∂∂

+∂∂

+∂∂

w z

w

y

w

x

w 9

9

9

9

9

9

9

µ µ =

∂∂

+∂∂

+∂∂

mereka secara vector ditulis @

9

9

9

9

9

9

9

µ µ =

∂∂

+∂∂

+∂∂

z y x

tugas hidrodfe

Documents